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几何画板在圆锥曲线的应用


实习报告

几何画板在圆锥曲线作图中的应用
摘要:如今信息技术与数学综合研究已成为热门话题,现代教育计算 的广泛应用正在对数学课程内容,数学教学,数学学习等方面产生深 刻的影响。高中阶段的圆锥曲线抽象难懂,许多学生难以完全理解和 接受,如双曲线的渐近线、圆锥曲线的离心率,一些数形相互结合的 题目, 只能凭借学生的想象力是很难掌握有关图像的性质和图像的



互关系,本文主要应用几何画板直观的展现了圆锥曲线,使得数与行 得到很好的结合,通过创设合适的教学情境,这既能完整准确的传授 知识,也能提高学生的学习兴趣,帮助学生的理解,提高学生对平面 图形的想象思维能力,起到事半功倍的效果。今天我们用几何画板进 行研究性学习,来研究椭圆曲线的知识,几何画板实际上就是把数形 结合进行了深化、规范、准确。出于几何画板具有直观性、准确性、 开放性、操作简单等特点,给学生留下很大的创造空间。 关键词: 几何画板 圆锥曲线 轨迹 应用

一、引言 几何画板是一个通用在数学和物理教学环境,集图像的制作、动 画、测算、文字输入,编辑等为一体,为“几何模板”的构建提供了 一个有效的场所,在高中数学中的圆锥曲线的相关知识,具有一定的 抽象性和复杂性,解决这类问题也常采用“数形结合”的数学思想, 通过构建与之等价的几何模板来得以解决,但在传统的课堂教学中,

仅借助一块黑板,一支粉笔的教学手段,往往准确性不够,为学生对 问题本质的理解和认识带来了障碍, 本文主要运用几何画板的形象直 观性,为圆锥曲线创造一条便捷的通道,它可以解决学生难以绘制的 图形,提供了图形变换的动感,丰富多彩的动画模型,给学生一种耳 目一新的视觉感受,使学生从画面中去寻求到问题解决的方法和依 据,并从画面中去认清问题的本质,另外其丰富的测算功能使得对问 题的观察,实验和归纳成为现实。 二、分类作图: 概念是数学知识中最普遍的形式,是深入学习的基础和前提,圆 锥曲线的概念抽象难懂,对于空间想象能力不足的中学生来说,接受 这样一个复杂的新概念是比较困难的, 大部分教室仍然用传统的教学 方法,例如用黑板粉笔和尺规来进行数学画图,或者直接应用结果, 学生可以接收但是很难理解它的形成过程, 而新的数学课程标准强调 了学习新知识探索的过程, 于是以下就利用几何画板的准确性和直观 性来研究几例典型的圆锥曲线的概念。 1.几何画板实现椭圆 椭圆的第一定义:平面内到两定点 F1 、 F2 的距离的和等于常数
2a(2a ? F1 F2 ) 的动点 P 的轨迹叫做椭圆,其中点 F1 , F2 叫做椭圆的焦

点,两焦点间的距离叫做焦距。 作图过程: 1. 用“画直线”工具作两条直线,使直线 l 为准线,另一条直线 AB 与 直线垂直,选中两条直线,选择“作图—交点” ,作出交点 C ,在

两条直线外,画出两条线段 a 和 c ,使 a ? c ,选择“度量-距离” ,度 量出 a 和 c 的长度,计算出
a2 a2 ? c ,选中 ? c ,选择“变换-距离” , c c a2 ? c .方向为 0 度,得到 c

选中点 C 。选择“变换-平移” ,平移距离

a2 点 F ,使得 CF ? ? c ,点 F 作为椭圆的焦点 c

2. 打开计算器,计算 a ? c ,并选中“变换-标记距离” ,选中点 F ,选择 “变换-平移” , 平移为 a ? c .方向为 180 度, 得到点 A1 , 使 A1 F ? a ? c . 同理,在 CF 的延长线上,取点 A2 ,使得 FA2 ? a ? c ,作 A1 A2 线段, 选择“作图-对象上的点” ,取动点 P ,计算 e ? ,度量 CP 的长, 计算 CP ? ,以点 F 为圆心, CP ? 为半径作圆,此圆与过点 P 且 垂直于 AB 的直线相交于 M 1 , M 2 两点,分别选择 M 1 和点 P (或者点
M 2 和点 P )用“作图-轨迹”功能,画出椭圆.
c a c a c a

2.几何画板实现双曲线 双曲线的第一定义:平面内到两定点 F1 、F2 的距离的差的绝对值等于 常数 2a(2a ? F1 F2 ) 的动点 P 的轨迹叫做双曲线,其中点 F1 、 F2 叫做椭 圆的焦点,两焦点的距离叫做焦距。 作图过程 1.在 x 轴上取两点 F1 , F2 ,使得 OF1 ? OF2 ,用它们作为两个焦点; 2.在图形外做一条线段,使它的长度为 2a(2a ? F1 F2 ) 3.以 F1 为圆心, 2a 为半径作圆,在圆上任取一点 P 4.链接 PF1 ,PF2 ,做 PF1 的中垂线与直线 PF1 交于点 M ,链接 M 和 F2 ; 5.将点 M 定义为“追踪点” ,分别选中点 M 、点 P ,用“作图”菜单 中的“轨迹”功能画出双曲线。 理论根据

点 M 在 PF2 的 中 垂 线 上 , 所 以 MP ? MF2 , 所 以
MF1 ? MF2 ? MF1 ? MP ? F1 P ? 2a ,即点 M 到两个定点 F1 和 F2 的距离的

差等于定长 2a ,点 M 的轨迹是一个双曲线

②方法 2: 1.在平面直角坐标系中取点 F1,F2 ,使 OF1 ? OF2 ,把它们作为焦点, 在 OF1 上任取一点 A1 ,使它作为双曲线的顶点; 2.度量 OF1 , OA1 ,把他们的长分别作为 c ,和 a ,使 a ? c ; 3.计算
a2 a2 ? c ,过点 N 做 ox 轴的 ? c ,在 ox 轴上取一点 N ,使 ON ? c c

垂线为双曲线的准线 4.选中 OX 轴,用 “作图”菜单中的 “对象上的点”的功能, 取动点 P ;

5.计算 e ? 计算 NP 的长,计算 NP ?
c a

c a

c a

6.以点 F2 为圆心, NP ? 为半径作园,此园与过点 P 且垂直于 OX 轴 的直线相交于 M 1,M 2 两点 7.分别选中点 M 和点 P , M 2 和点 P ,用“作图”菜单中的“轨迹”
1

功能,画出双曲线。 理论依据: 点 M 到 F2 的距离是 NP ? ,点 M 到准线 l 的距离 M1 D ? NP ;
1 1

c a

所以

点M 1到F2的距离 c ? ? e ,所以点 M 1 在双曲线上 点M 1到直线l的距离 a

3.几何画板实现抛物线 抛物线的定义:到定点 F 的距离等于到定直线 l (点 F 不在直线 l 上)

的距离的点的轨迹是抛物线。 ①方法一: 1.先画出定点 F 和定直线 l ,按照要求画出直角坐标系; 2.在图形外面画出一条射线 BC ,在射线 BC 上任取一点 M ( M 点为 动点) 3.在 BC 的反方向上取一点 A ,使得 AB ? OF ,作线段 AM 4.以 F 为圆心, AM 为半径画圆 5.先后选定 A 、 M 点,用“变换”菜单中的“标记向量”功能,标 记向量 AM ,选中直接 l ,用“变换”菜单中的“平移”功能,将直线
l 平移

6.平移后的直线与圆相交,定义交点为 P 、 Q ,它们定义为“追踪 点” ,先后选定 P 、 M 两点( Q 、 M )用“作图”菜单中的“轨迹” 功能,得到抛物线的一部分,在射线 BC 上拖动 M 点,则 P 、 Q 两点 的轨迹画出抛物线 理论依据: 点 P 在以 F 为圆心, AM 为半径的圆上。所以 PF ? AM ,又将 准线 l 平移了 AM 的长度,所以 P 点到准线的距离等于 AM

②画法二: 1.先在直角坐标系上画出定点 F 和定制线 l 2.在直线 l 上任取一点 M ( M 为动点) 3.链接 M 、 F 两点做线段 MF 的中垂线 4. 过 M 点做直线 l 的垂线与 MF 的中垂线交与点 P , 将其定义为 追踪点 5.先后选定 M 、 P 两点,用“作图”菜单中的“轨迹”功能, 得到抛物线 6.在直线 l 上拖动 M 点,则 P 点的轨迹是抛物线 理论根据:
PM F

垂直于准线 l . PM 是 P 点到准线的距离, 有 PM 是 P 点到焦点

的距离, P 点在 MF 的中垂线上,所以 PM ? PF

三、结束语 数学是抽象的,但是几何画板辅助教学,可使抽象变的更为形象, “数”与“行”相互转化,并且应用几何画板,可以验证几何结论是 否正确,并能很方便的改变题设条件来观测结论如何变化,对问题进 行探索,发现新命题,新规律。随着几何画板的广泛应用和推广,学 生接受知识的被动地位得以改变, 对提高学生素质和教师教学能力都 有很重要的作用,几何画板在教学中知识起的辅助作用,最重要的还 是知识的传授,但也有很多不完善的地方,几何画板不能通过方程来 直接的画出所需图像。并且它不具备时下流行的软件在文字处理,交 互响应等方面的功能,使我们在使用起来有些不便利,另外,几何画

板的课件是封闭的,多个文件无法合并,文件中所含的按钮无法生成 记录,所以我们需要扬长避短,充分利用它的优点,为我们带来更多 直观和准确的图形,让我们更好的理解更多的知识。 参考文献 [1] 范文贵.利用几何画板开展探究性数学学习的案例分析。 中国电 化教育 [2] 彭学军,高晓玲.几何画板在数学教学中的应用研究。四川教育 学院学报 [3] 姚龙国.谈几何画板辅助数学教与学的优化功能。 中学教研数学 [4] 朱俊杰等,几何画板的课件制作。清华大学出版社


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