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高中数学必修五同步试题


经典例题:半径为 R 的圆外接于△ABC,且 2R(sin A-sin C)=( (1)求角 C; (2)求△ABC 面积的最大值.

2

2

a-b)sinB.

当堂练习: 1.在△ABC 中,已知 a=5, c=10, A=30°, 则∠B= ( ) (A) 105° (B) 60° (C) 15° (D) 105°或 15° 2 在△ABC 中,若 a=2, b=2, c=+,则∠A 的度数是 ( ) (A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75° 3.在△ABC 中,已知三边 a、b、c 满足(a+b+c)·(a+b-c)=3ab, 则∠C=( ) (A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60° 4.边长为 5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和为 ( ) (A) 90° (B) 120° (C) 135° (D) 150° 5.在△ABC 中,∠A=60°, a=, b=4, 那么满足条件的△ABC ( ) (A) 有 一个解 (B) 有两个解 (C) 无解 (D)不能确定 6.在平行四边形 ABCD 中,AC=BD, 那么锐角 A 的最大值为 ( ) (A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75°

7. 在△ABC 中,若

=

=

,则△ABC 的形状是

(

)

(A) 等腰三角形 (B) 等边三角形 (C) 直角三角形 (D) 等腰直角三角形 8.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为( ) (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 由增加的长度决定 9.在△ABC 中,若 a=50,b=25, A=45°则 B= . 10.若平行四边形两条邻边的长度分别是 4cm 和 4cm,它们的夹角是 45°,则这个平行四边 形的两条对角线的长度分别为 . 11. 在 等 腰 三 角 形 ABC 中 , 已 知 sinA ∶ sinB=1 ∶ 2 , 底 边 BC=10 , 则 △ ABC 的 周 长 是 。 12.在△ABC 中,若∠B=30°, AB=2, AC=2, 则△ABC 的面积是 . 2 13.在锐角三角形中,边 a、b 是方程 x -2x+2=0 的两根,角 A、B 满足 2sin(A+B)-=0,求 角 C 的度数,边 c 的长度及△ABC 的面积。

14.在△ABC 中,已知边 c=10, 又知==,求 a、b 及△ABC 的内切圆的半径。

15.已知在四边形 ABCD 中,BC=a,DC=2a,四个角 A、B、C、D 度数的比为 3∶7∶4∶10, 求 AB 的长。

16.在△ABC 中,已知角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,边 c=,且 tanA+tanB=tanA·tanB -,又△ABC 的面积为 S△ABC=,求 a+b 的值。

参考答案:

经典例题:解:(1)∵

∵ 2R(sin A-sin C)=(

2

2

a-b)sinB

∴ 2R[(

) -(

2

) ]=(

2

a-b)·

∴ a -c =

2

2

ab-b2





cosC=

,∴ C=30°

(2)∵ S=

absinC=

·2RsinA·2RsinB·sinC=R sinAsinB

2

=-

[cos(A+B)-cos(A-B)]=

[cos(A-B)+cosC]



[cos(A-B)+



当 cos(A-B)=1 时,S 有最大值





当堂练习: 1.D; 2.A; 3.D; 4.B; 5.C; 6.C; 7.B; 8.A; 9. 60°或 120°; 10. 4cm 和 4cm; 11.50; 12. 2 或; 13、解:由 2sin(A+B)-=0,得 sin(A+B)=, ∵△ABC 为锐角三角形 2 ∴A+B=120°, C=60°, 又∵a、b 是方程 x -2x+2=0 的两根,∴a+b=2, 2 2 2 2 a·b=2, ∴c =a +b -2a·bcosC=(a+b) -3ab=12-6=6, ∴c=, S△ABC=absinC=×2×= . 14.解:由=,=,可得 =,变形为 sinAcosA=sinBcosB

∴sin2A=sin2B, 又∵a≠b, ∴2A=π -2B, ∴A+B=
2 2 2

. ∴△ABC 为直角三角形.

由 a +b =10 和=,解得 a=6, b=8, ∴内切圆的半径为 r===2 15、 解:设四个角 A、B、C、D 的度数分别为 3x、7x、4x、10x,根据四边形的内角和有 3x+7x+4x+10x=360°.解得 x=15° ∴A=45°, B=105°, C=60°, D=150° 连结 BD,得两个三角形△BCD 和△ABD 在△BCD 中,由余弦定理得 2 2 2 2 2 2 BD =BC +DC -2BC·DC·cosC=a +4a -2a·2a·=3a , 2 2 2 ∴BD=a.这时 DC =BD +BC ,可得△BCD 是以 DC 为斜边的直角三角形.∴∠CDB=30°, 于是∠ ADB=120°

在△ABD 中,由正弦定理有 AB=







∴AB 的长为

16、解:由 tanA+tanB=tanA·tanB-可得

=-,即 tan(A+B)=-

∴tan(π -C)= -, ∴-tanC=-, ∴tanC=∵C∈(0, π ), ∴C= 又△ABC 的面积为 S△ABC=,∴absinC= 即 ab×=, ∴ab=6

又由余弦定理可得 c =a +b -2abcosC∴() = a +b -2abcos ∴(a+b) =, ∵a+b>0,
2

2

2

2

2

2

2

∴() = a +b -ab=(a+b) -3ab

2

2

2

2

∴a+b=



,解之 m=2 或 m=

而2和

不满足上式. 故这样的 m 不存在.


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