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三角函数


三角函数值
三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。 它们的本质是任意角 的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。 通常的三角函数是在平面直角坐标 系中定义的,其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中,但并不完 全。 现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复 数系。 由于三角函数的周期性,它并不具有单值函数意义上的反函数。 中文名 三角函数定律 外文名 trigonometric function 提出者 希帕霍斯 提出时间 公元前 2 世纪 应用学科 数学 适用领域范围 数学

目录
1 数值表 2 数学方程式 3 应用

1 数值表编辑
角 α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 o 制 sinα o cosα 1 π /6 π /4 π /3 π /2 2π /3 3π /4 5π /6 π 1/2 √2/2 √3/2 1 0 √3/2 √2/2 1/2 0 3π /2 2π -1 0 0 1

√3/2 √2/2 1/2

-1/2 -√2/2 -√3/2 -1 -√3/3 0

tanα o √3/3 1 √3 ±∞ -√3 -1 sin0=sin0°=0 cos0=cos0°=1 tan0=tan0°=0 sin15=0.650;sin15°=(√6-√2)/4 cos15=-0.759;cos15°=(√6+√2)/4

±∞ 0

tan15=-0.855;tan15°=2-√3 sin30=-0.988;sin30°=1/2 cos30=0.154;cos30°=√3/2 tan30=-6.405;tan30°=√3/3 sin45=0.851;sin45°=√2/2 cos45=0.525;cos45°=sin45°=√2/2 tan45=1.620;tan45°=1 sin60=-0.305;sin60°=√3/2 cos60=-0.952;cos60°=1/2 tan60=0.320;tan60°=√3 sin75=-0.388;sin75°=cos15° cos75=0.922;cos75°=sin15° tan75=-0.421;tan75°=sin75°/cos75° =2+√3 sin90=0.894;sin90°=cos0°=1 cos90=-0.448;cos90°=sin0°=0 tan90=-1.995;tan90°不存在 sin105=-0.971;sin105°=cos15° cos105=-0.241;cos105°=-sin15° tan105=4.028;tan105°=-cot15° sin120=0.581;sin120°=cos30° cos120=0.814;cos120°=-sin30° tan120=0.713;tan120°=-tan60° sin135=0.088;sin135°=sin45° cos135=-0.996;cos135°=-cos45° tan135=-0.0887;tan135°=-tan45° sin150=-0.7149;sin150°=sin30° cos150=-0.699;cos150°=-cos30° tan150=-1.022;tan150°=-tan30° sin165=0.998;sin165°=sin15° cos165=-0.066;cos165°=-cos15° tan165=-15.041;tan165°=-tan15° sin180=-0.801;sin180°=sin0°=0 cos180=-0.598;cos180°=-cos0°=-1 tan180=1.339;tan180°=0 sin195=0.219;sin195°=-sin15° cos195=0.976;cos195°=-cos15° tan195=0.225;tan195°=tan15° sin360=0.959;sin360°=sin0°=0 cos360=-0.284;cos360°=cos0°=1 tan360=-3.380;tan360°=tan0°=0 cos72=[(√5)-1]/4(利用黄金等腰三角形可得出) sin1=0.01745240643728351 sin2=0.03489949670250097 sin3=0.05233595624294383

sin4=0.0697564737441253 sin5=0.08715574274765816 sin6=0.10452846326765346 sin7=0.12186934340514747 sin8=0.13917310096006544 sin9=0.15643446504023087 sin10=0.17364817766693033 sin11=0.1908089953765448 sin12=0.20791169081775931 sin13=0.22495105434386497 sin14=0.24192189559966773 sin15=0.25881904510252074 sin16=0.27563735581699916 sin17=0.2923717047227367 sin18=0.3090169943749474 sin19=0.3255681544571567 sin20=0.3420201433256687 sin21=0.35836794954530027 sin22=0.374606593415912 sin23=0.3907311284892737 sin24=0.40673664307580015 sin25=0.42261826174069944 sin26=0.4383711467890774 sin27=0.45399049973954675 sin28=0.4694715627858908 sin29=0.48480962024633706 sin30=0.49999999999999994 sin31=0.5150380749100542 sin32=0.5299192642332049 sin33=0.544639035015027 sin34=0.5591929034707468 sin35=0.573576436351046 sin36=0.5877852522924731 sin37=0.6018150231520483 sin38=0.6156614753256583 sin39=0.6293203910498375 sin40=0.6427876096865392 sin41=0.6560590289905073 sin42=0.6691306063588582 sin43=0.6819983600624985 sin44=0.6946583704589972 sin45=0.7071067811865475 sin46=0.7193398003386511 sin47=0.7313537016191705 sin48=0.7431448254773941 sin49=0.7547095802227719 sin50=0.766044443118978 sin51=0.7771459614569708 sin52=0.7880107536067219 sin53=0.7986355100472928 sin54=0.8090169943749474 sin55=0.8191520442889918 sin56=0.8290375725550417 sin57=0.8386705679454239 sin58=0.848048096156426 sin59=0.8571673007021122 sin60=0.8660254037844386 sin61=0.8746197071393957 sin62=0.8829475928589269 sin63=0.8910065241883678 sin64=0.898794046299167 sin65=0.9063077870366499 sin66=0.9135454576426009 sin67=0.9205048534524404 sin68=0.9271838545667873 sin69=0.9335804264972017

sin70=0.9396926207859083 sin71=0.9455185755993167 sin72=0.9510565162951535 sin73=0.9563047559630354 sin74=0.9612616959383189 sin75=0.9659258262890683 sin76=0.9702957262759965 sin77=0.9743700647852352 sin78=0.9781476007338057 sin79=0.981627183447664 sin80=0.984807753012208 sin81=0.9876883405951378 sin82=0.9902680687415704 sin83=0.992546151641322 sin84=0.9945218953682733 sin85=0.9961946980917455 sin86=0.9975640502598242 sin87=0.9986295347545738 sin88=0.9993908270190958 sin89=0.9998476951563913 sin90=1 cos1=0.9998476951563913 cos2=0.9993908270190958 cos3=0.9986295347545738 cos4=0.9975640502598242 cos5=0.9961946980917455 cos6=0.9945218953682733 cos7=0.992546151641322 cos8=0.9902680687415704 cos9=0.9876883405951378 cos10=0.984807753012208 cos11=0.981627183447664 cos12=0.9781476007338057 cos13=0.9743700647852352 cos14=0.9702957262759965 cos15=0.9659258262890683 cos16=0.9612616959383189 cos17=0.9563047559630355 cos18=0.9510565162951535 cos19=0.9455185755993168 cos20=0.9396926207859084 cos21=0.9335804264972017 cos22=0.9271838545667874 cos23=0.9205048534524404 cos24=0.9135454576426009 cos25=0.9063077870366499 cos26=0.898794046299167 cos27=0.8910065241883679 cos28=0.882947592858927 cos29=0.8746197071393957 cos30=0.8660254037844387 cos31=0.8571673007021123 cos32=0.848048096156426 cos33=0.838670567945424 cos34=0.8290375725550417 cos35=0.8191520442889918 cos36=0.8090169943749474 cos37=0.7986355100472928 cos38=0.7880107536067219 cos39=0.7771459614569709 cos40=0.766044443118978 cos41=0.754709580222772 cos42=0.7431448254773942 cos43=0.7313537016191705 cos44=0.7193398003386512 cos45=0.7071067811865476

cos46=0.6946583704589974 cos47=0.6819983600624985 cos48=0.6691306063588582 cos49=0.6560590289905074 cos50=0.6427876096865394 cos51=0.6293203910498375 cos52=0.6156614753256583 cos53=0.6018150231520484 cos54=0.5877852522924731 cos55=0.5735764363510462 cos56=0.5591929034707468 cos57=0.5446390350150272 cos58=0.5299192642332049 cos59=0.5150380749100544 cos60=0.5000000000000001 cos61=0.4848096202463371 cos62=0.46947156278589086 cos63=0.4539904997395468 cos64=0.43837114678907746 cos65=0.42261826174069944 cos66=0.4067366430758004 cos67=0.3907311284892737 cos68=0.3746065934159122 cos69=0.35836794954530015 cos70=0.3420201433256688 cos71=0.32556815445715675 cos72=0.30901699437494745 cos73=0.29237170472273677 cos74=0.27563735581699916 cos75=0.25881904510252074 cos76=0.24192189559966767 cos77=0.22495105434386514 cos78=0.20791169081775923 cos79=0.19080899537654491 cos80=0.17364817766693041 cos81=0.15643446504023092 cos82=0.13917310096006546 cos83=0.12186934340514749 cos84=0.10452846326765346 cos85=0.08715574274765836 cos86=0.06975647374412523 cos87=0.052335956242943966 cos88=0.03489949670250108 cos89=0.0174524064372836 cos90=0 tan1=0.017455064928217585 tan2=0.03492076949174773 tan3=0.052407779283041196 tan4=0.06992681194351041 tan5=0.08748866352592401 tan6=0.10510423526567646 tan7=0.1227845609029046 tan8=0.14054083470239145 tan9=0.15838444032453627 tan10=0.17632698070846497 tan11=0.19438030913771848 tan12=0.2125565616700221 tan13=0.2308681911255631 tan14=0.24932800284318068 tan15=0.2679491924311227 tan16=0.2867453857588079 tan17=0.30573068145866033 tan18=0.3249196962329063 tan19=0.34432761328966527 tan20=0.36397023426620234 tan21=0.3838640350354158

tan22=0.4040262258351568 tan23=0.4244748162096047 tan24=0.4452286853085361 tan25=0.4663076581549986 tan26=0.4877325885658614 tan27=0.5095254494944288 tan28=0.5317094316614788 tan29=0.554309051452769 tan30=0.5773502691896257 tan31=0.6008606190275604 tan32=0.6248693519093275 tan33=0.6494075931975104 tan34=0.6745085168424265 tan35=0.7002075382097097 tan36=0.7265425280053609 tan37=0.7535540501027942 tan38=0.7812856265067174 tan39=0.8097840331950072 tan40=0.8390996311772799 tan41=0.8692867378162267 tan42=0.9004040442978399 tan43=0.9325150861376618 tan44=0.9656887748070739 tan45=0.9999999999999999 tan46=1.0355303137905693 tan47=1.0723687100246826 tan48=1.1106125148291927 tan49=1.1503684072210092 tan50=1.19175359259421 tan51=1.234897156535051 tan52=1.2799416321930785 tan53=1.3270448216204098 tan54=1.3763819204711733 tan55=1.4281480067421144 tan56=1.4825609685127403 tan57=1.5398649638145827 tan58=1.6003345290410506 tan59=1.6642794823505173 tan60=1.7320508075688767 tan61=1.8040477552714235 tan62=1.8807264653463318 tan63=1.9626105055051503 tan64=2.050303841579296 tan65=2.1445069205095586 tan66=2.246036773904215 tan67=2.355852365823753 tan68=2.4750868534162946 tan69=2.6050890646938023 tan70=2.7474774194546216 tan71=2.904210877675822 tan72=3.0776835371752526 tan73=3.2708526184841404 tan74=3.4874144438409087 tan75=3.7320508075688776 tan76=4.0107809335358455 tan77=4.331475874284153 tan78=4.704630109478456 tan79=5.144554015970307 tan80=5.671281819617707 tan81=6.313751514675041 tan82=7.115369722384207 tan83=8.144346427974593 tan84=9.514364454222587 tan85=11.43005230276132 tan86=14.300666256711942 tan87=19.08113668772816

tan88=28.636253282915515 tan89=57.289961630759144 tan90=无取值

2 数学方程式编辑
数关系 tanα ?cotα =1 sinα ?cscα =1 cosα ?secα =1 商的关系 tanα =sinα /cosα cotα =cosα /sinα 平方关系 sinα ²+cosα ²=1 1+tanα ²=secα ² 1+cotα &sup2=cscα ² 以下关系,函数名不变,符号看象限. sin(2kπ +α )=sinα cos(2kπ +α )=cosα tan(2kπ +α )=tanα cot(2kπ +α )=cotα sin(π +α )=-sinα cos(π +α )=-cosα tan(π +α )=tanα cot(π +α )=cotα sin(π -α )=sinα cos(π -α )=-cosα tan(π -α )=-tanα cot(π -α )=-cotα sin(2π -α )=-sinα cos(2π -α )=cosα tan(2π -α )=-tanα cot(2π -α )=-cotα 以下关系,奇变偶不变,符号看象限 sin(90°-α )=cosα cos(90°-α )=sinα tan(90°-α )=cotα cot(90°-α )=tanα sin(90°+α )=cosα cos(90°+α )=-sinα tan(90°+α )=-cotα cot(90°+α )=-tanα sin(270°-α )=-cosα cos(270°-α )=-sinα

tan(270°-α )=cotα cot(270°-α )=tanα sin(270°+α )=-cosα cos(270°+α )=sinα tan(270°+α )=-cotα cot(270°+α )=-tanα 积化合差公式 sinα ?cosβ =(1/2)*[sin(α +β )+sin(α -β )] cosα ?sinβ =(1/2)*[sin(α +β )-sin(α -β )] cosα ?cosβ =(1/2)*[cos(α +β )+cos(α -β )] sinα ?sinβ =-(1/2)*[cos(α +β )-cos(α -β )] 和差化积公式 sinα +sinβ =2sin[(α +β )/2]?cos[(α -β )/2] sinα -sinβ =2cos[(α +β )/2]?sin[(α -β )/2] cosα +cosβ =2cos[(α +β )/2]?cos[(α -β )/2] cosα -cosβ =-2sin[(α +β )/2]?sin[(α -β )/2] 三倍角公式 sin3α =3sinα -4sinα ³ cos3α =4cosα ³-3cosα 两角和与差的三角函数关系 sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ sin(α -β )=sinα cosβ -cosα sinβ cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ tan(α +β )=(tanα +tanβ )/(1-tanα ?tanβ ) tan(α -β )=(tanα -tanβ )/(1+tanα ?tanβ ) 正弦二倍角公式 sin2α = 2cosα sinα 推导:sin2A=sin(A+A)=sinAcosA+cosAsinA=2sinAcosA 拓展公式:sin2A=2sinAcosA=2tanAcos2A=2tanA/[1+tan2A] 1+sin2A=(sinA+cosA)^2 余弦二倍角公式 余弦二倍角公式有三组表示形式,三组形式等价: 1.Cos2a=Cos2a-Sin2a=[1-tan2a]/[1+tan2a] 2.Cos2a=1-2Sin2a 3.Cos2a=2Cos2a-1 推导:cos2A=cos(A+A)=cosAcosA-sinAsinA=cos2A-sin2A=2cos2A-1 =1-2sin2A 正切二倍角公式 tan2α =2tanα /[1-tan2α ] 推导:tan2A=tan(A+A)=(tanA+tanA)/(1-tanAtanA)=2tanA/[1-tan2A] 降幂公式 cosA^2=[1+cos2A]/2 sinA^2=[1-cos2A]/2

tanA^2=[1-cos2A]/[1+cos2A] 变式: sin2α =sin^2(α +π /4)-cos^2(α +π /4)=2sin^2(a+π /4)-1=1-2cos^2(α +π / 4); cos2α =2sin(α +π /4)cos(α +π /4) 余弦定理: a^2=b^2+c?-2bc cosA b^2=c^2+a^2-2ca cosB c^2=a^2+b^2-2ab cosC

3 应用编辑
三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中,三角函数也是常用的工具。 它有六种基本函数: 函数名正弦余弦正切余切正割余割 符号 sin cos tan cot sec csc 正弦函数 sin(A)=a/c 余弦函数 cos(A)=b/c 正切函数 tan(A)=a/b 余切函数 cot(A)=b/a 其中 a 为对边,b 为邻边,c 为斜边


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