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高中数学教案 必修1 第十一讲:函数模型及其应用


博途教育学科教师辅导讲义(一)
学员姓名: 辅导科目:数 课 题 学 年 级:高 一 日期: 时间: 学科教师:刘云丰

第十一讲:函数模型及其应用

授课日期 1、培养学生根据实际问题进行信息综合列出函数解析式; 教学目标 2、会利用函数图象性质对函数解析式进行处理得出数学结论. 教学内容

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函数模型及其应用
〖教学重点与难点〗
◆教学重点:根据实际问题分析建立数学模型和根据实际问题拟合判断数学模型; ◆教学难点:根据数学模型解决实际问题。

〖教学过程〗

[来源:Zxxk.Com]

一、创设情境,导入课题
在课本第三章的章头图中,有一大群喝水、嬉戏的兔子,但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了 脑筋.1859 年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌, 兔子数量不断增加,不到 100 年,兔子们占领了整个澳大利亚,数量达到 75 亿只. 可爱的兔子变得可恶起来,75 亿只兔子吃掉了相当于 75 亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率 大大降低,而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚人头痛不已,他们采用各种方法消灭这 些兔子,直至二十世纪五十年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔,澳大利亚人 才算松了一口气. 这段话道出了其中的意蕴:对于一个种群的数量,如果在理想状态(如没有天敌、食物充足 等)下,那么它将呈指数增长;但在自然状态下,种群数量一般符合对数增长模型.

二、提出问题,探索新知
①我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同.甲家每张球台每 小时 5 元;乙家按月计费,一个月中 30 小时以内(含 30 小时)每张球台 90 元,超过 30 小时的部 分每张球台每小时 2 元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动,其活动时间不 少于 15 小时,也不超过 40 小时. 设在甲家租一张球台开展活动 x 小时的收费为 f(x)元(15≤x≤40),在乙家租一张球台开展 活动 x 小时的收费为 g(x)元(15≤x≤40),试求 f(x)和 g(x).

②A、B 两城相距 100 km,在两地之间距 A 城 x km 处 D 地建一核电站给 A、B 两城供电,为保证 城市安全.核电站距城市距离不得少于 10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正 比,比例系数λ =0.25.若 A 城供电量为 20 亿度/月,B 城为 10 亿度/月. 把月供电总费用 y 表示成 x 的函数,并求定义域.

③分析以上实例属于那种函数模型.
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讨论结果:①f(x)=5x(15≤x≤40). g(x)= ?
? 90 ,15 ? x ? 30 , ? 2 x ? 90 ,30 ? x ? 40
5

②y=5x2+ (100—x)2(10≤x≤90);
2

③分别属于一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型.

三、应用示例
例 1 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示. (1)求图 3-2-2-1 中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义; (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2004km,试建立行驶这段路程时汽车 里程表读数 s km 与时间 t h 的函数解析式,并作出相应的图象.

图 3-2-2-1 活动:学生先思考或讨论,再回答.教师根据实际,可以提示引导: 图中横轴表示时间,纵轴表示速度,面积为路程;由于每个时间段速度不断变化,汽车里程表读 数 s km 与时间 t h 的函数为分段函数. 解:(1)阴影部分的面积为 50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360. 阴影部分的面积表示汽车在这 5 小时内行驶的路程为 360 km.
? 50 t ? 2004 , 0 ? t ? 1, ? 80 ( t ? 1) ? 2054 ,1 ? t ? 2 , ? ? (2)根据图,有 s= ? 90 ( t ? 2 ) ? 2134 . 2 ? t ? 3, ? 75 ( t ? 3 ) ? 2224 ,3 ? t ? 4 , ? ? 65 ( t ? 4 ) ? 2299 , 4 ? t ? 5 . ?

这个函数的图象如图 3-2-2-2 所示.

图 3-2-2-2 变式训练 电信局为了满足客户不同需要,设有 A、B 两种优惠方案,这两种方案应付话费(元)与通话
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时间(分钟)之间关系如下图(图 3-2-2-3)所示(其中 MN∥CD). (1)分别求出方案 A、B 应付话费(元)与通话时间 x(分钟)的函数表达式 f(x)和 g(x); (2)假如你是一位电信局推销人员,你是如何帮助客户选择 A、B 两种优惠方案?并说明理由.

图 3-2-2-3 解:(1)先列出两种优惠方案所对应的函数解析式:
? 20 , 0 ? x ? 100 , ? 50 , 0 ? x ? 500 , ? ? f(x)= ? 3 g(x)= ? 3 x ? 10 , x ? 100 , x ? 100 , x ? 500 . ? ? ? 10 ? 10

(2)当 f(x)=g(x)时,

3 10

x-10=50,

∴x=200.∴当客户通话时间为 200 分钟时,两种方案均可; 当客户通话时间为 0≤x<200 分钟,g(x)>f(x),故选择方案 A; 当客户通话时间为 x>200 分钟时,g(x)<f(x),故选方案 B. 点评:在解决实际问题过程中,函数图象能够发挥很好的作用,因此,我们应当注意提高读图的 能力.另外,本例题用到了分段函数,分段函数是刻画现实问题的重要模型. 例 2 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律,可以为有效控制人 口增长提供依据.早在 1798 年,英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766~1834)就提出了自然 状态下的人口增长模型: y=y0ert, 其中 t 表示经过的时间,y0 表示 t=0 时的人口数,r 表示人口的年平均增长率. 下表是 1950~1959 年我国的人口数据资料: 年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人数/ 5519 5630 5748 5879 6026 6145 6282 6456 6599 6720 万人 6 0 2 6 6 6 8 3 4 7 (1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到 0.000 1),用马尔萨 斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型, 并检验所得模型与实际人口数据是否 相符; (2)如果按表的增长趋势,大约在哪一年我国的人口达到 13 亿? 解:(1)设 1951~1959 年的人口增长率分别为 r1,r2,r3,…,r9. 由 55196(1+r1)=56300, 可得 1951 年的人口增长率为 r1≈0.020 0. 同理,可得 r2≈0.0210,r3≈0.0229,r4≈0.0250,r5≈0.0197,r6≈0.0223,r7≈0.0276, r8≈0.0222,r9≈0.0184. 于是,1950~1959 年期间,我国人口的年平均增长率为 r=(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221. 令 y0=55 196,则我国在 1951~1959 年期间的人口增长模型为
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y=55 196e ,t∈N. 根据表中的数据作出散点图,并作出函数 y=55 196e0.0221t(t∈N)的图象(图 3-2-2-4).

0.0221t

图 3-2-2-4 由图可以看出,所得模型与 1950~1959 年的实际人口数据基本吻合. (2)将 y=130000 代入 y=55 196e0.0221t, 由计算器可得 t≈38.76. 所以,如果按表的增长趋势,那么大约在 1950 年后的第 39 年(即 1989 年)我国的人口就已达到 13 亿.由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让人口自然增长,今天我国将面临难以承受的 人口压力. 变式训练 一种放射性元素,最初的质量为 500 g,按每年 10%衰减. (1)求 t 年后,这种放射性元素质量ω 的表达式; (2)由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰 期).(精确到 0.1.已知 lg2=0.301 0,lg3=0.477 1) 解:(1)最初的质量为 500 g. 经过 1 年后,ω =500(1-10%)=500×0.91; 经过 2 年后,ω =500×0.9(1-10%)=500×0.92; 由此推知,t 年后,ω =500×0.9t. (2)解方程 500×0.9t=250,则 0.9t=0.5, 所以 t=
lg 0 . 5 lg 0 . 9

=

? lg 2 2 lg 3 ? 1

≈6.6(年),

即这种放射性元素的半衰期约为 6.6 年. 知能训练 某电器公司生产 A 型电脑.1993 年这种电脑每台平均生产成本为 5 000 元,并以纯利润 20% 确定出厂价.从 1994 年开始,公司通过更新设备和加强管理,使生产成本逐年降低.到 1997 年,尽 管 A 型电脑出厂价仅是 1993 年出厂价的 80%,但却实现了 50%纯利润的高效益. (1)求 1997 年每台 A 型电脑的生产成本; (2)以 1993 年的生产成本为基数,求 1993 年至 1997 年生产成本平均每年降低的百分数.(精确到
-5-

0.01,以下数据可供参考: 5 =2.236, 6 =2.449) 活动:学生先思考或讨论,再回答.教师根据实际,可以提示引导. 出厂价=单位商品的成本+单位商品的利润. 解:(1)设 1997 年每台电脑的生产成本为 x 元,依题意,得 x(1+50%)=5000×(1+20%)×80%,解得 x=3200(元). (2)设 1993 年至 1997 年间每年平均生产成本降低的百分率为 y,则依题意,得 5000(1-y)4=3200, 解得 y1=1-
2 5 5

,y2=1+

2 5 5

(舍去).

所以 y=1-

2 5 5

≈0.11=11%,

即 1997 年每台电脑的生产成本为 3 200 元,1993 年至 1997 年生产成本平均每年降低 11%. 点评:函数与方程的应用是本章的重点,请同学们体会它们的关系. 拓展提升 某家电企业根据市场调查分析, 决定调整产品生产方案, 准备每周(按 120 个工时计算)生产空调、 彩电、冰箱共 360 台,且冰箱至少生产 60 台.已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如 下表: 家电名称 空调 彩电 冰箱 每台所需工时
1 2 1 3 1 4

每台产值(千元) 4 3 2 问每周应生产空调、 彩电、 冰箱各多少台, 才能使周产值最高?最高产值是多少?(以千元为单位) 解:设每周生产空调、彩电、冰箱分别为 x 台、y 台、z 台,每周产值为 f 千元, 则 f=4x+3y+2z,
? x ? y ? z ? 360 , ?1 1 1 其中 ? x ? y ? z ? 120 , 3 4 ?2 ? x ? 0 , y ? 0 , z ? 60 , (1) (2) ( 3)

由①②可得 y=360-3x,z=2x,
? x ? 0, ? 代入③得 ? 360 ? 3 x ? 0 , 则有 30≤x≤120. ? 2 x ? 60 , ?

故 f=4x+3(360-3x)+2·2x=1080-x, 当 x=30 时,fmax=1 080-30=1050. 此时 y=360-3x=270,z=2x=60. 答:每周应生产空调 30 台,彩电 270 台,冰箱 60 台,才能使每周产值最高,最高产值为 1 050 千元. 点评:函数方程不等式有着密切的关系,它们相互转化组成一个有机的整体,请同学们借助上面 的实例细心体会.
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四、课堂小结
本节重点学习了函数模型的实例应用, 包括一次函数模型、 二次函数模型、 分段函数模型等; 另外还应关注函数方程不等式之间的相互关系.

五、课后练习
1.按复利计算利率的储蓄,银行整存一年,年息 8%,零存每月利息 2%,现把 2 万元存入银行 3 年半,取出后本利和应为人民币( ) A. 2(1 ? 8%) 3.5 万元 B. 2(1 ? 8%) 3 (1 ? 2%) 6 万元 C. 2(1 ? 8%) 3 ? 2 ? 2% ? 5 万元 D. 2(1 ? 8%) 3 ? 2 ? (1 ? 8%) 3 (1 ? 2%) 6 万元 解析:3 年半本利和的计算问题,应转为 3 年按年息 8%计算,而半年按 6 个月(月息 2%)计 算,又由于是复利问题,故只有选 B. 2.某学生离家去学校,为了锻炼身体,一开始跑步前进,跑累了再走余下的路,下图中,纵轴 表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下列四个图形中较符合该生走法的是( )

解析:由于 d 表示学生的家与学校的距离,因而首先排除 A、C 选项,又因为图中线段的斜率的 绝对值表示前进速度的大小,因而排除 B,故只能选择 D。 3.商店某种货物的进价下降了 8%,但销售价没变,于是这种货物的销售利润由原来的 r%增加 到(r+10)%,那么 r 的值等于( ) A.12 B.15 C.25 D.50 解析:销售利润=
销售价 ? 进价 进价

×100%.设销售价为 y,进价为 x,

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?y?x ? x ? 100% ? r % ? 则? 解之得 r=15。 y ? x (1 ? 8%) ? ? 100% ? ( r ? 10)% ? x(1 ? 8%) ?

4.如下图所示,点P在边长为 1 的正方形的边上运动,设 M 是 CD 边的中点,则当点P沿着 A— B—C—M 运动时, 以点P经过的路程 x 为自变量, 三角形 APM 的面积函数的图象形状大致是 ( )

解析:本题主要考查求分段函数的解析式,如图所示, 当 0≤x≤1 时,y=
1 2

·x·1=
1 2

1 2

x;
1 4

当 1<x≤2 时,y=1- 当 2<x≤2.5 时,y=
1 2

(x-1)-
5 2

(2-x)-
5 4

1 4

=-

1 4

x+

3 4





-x)×1=



1 2

x.

?1 ? 2 x (0 ? x ? 1) ? 3 ? 1 则 y ? ? ? x ? (1 ? x ? 2) 图形为 A。 4 ? 4 5 ? 1 ? ? 2 x ? 4 (2 ? x ? 2.5) ?

5.有一质量均匀的杠杆的支点在它的一端,而距支点 1m 处挂一个 490kg 的物体,同时加力于杠 杆的另一端,使杠杆保持水平,若杠杆本身每米重 5kg,则最省力的杆长为__________。 答案:14m 解析:如图所示,设杆长为 xm,向上用力为 F. 依杠杆原理易得 490×1+5x· x =Fx,
2 1

则 F= x +
2

5

490 x

≥70,当且仅当 x =
2

5

490 x



即 x=14m 时,F 的最小值为 70kg。 6.甲、乙两地相距 skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 ckm/h,已知汽车每小时的 运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 vkm/h 的平方成正比,比 例系数为 b,固定部分为 a 元.
-8-

(1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(km/h)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? 答案: (1)y= ( bv 2 ? a ) ,0<v<c;
v s

(2)当 c≥

a b

,v=

a b

时,最小值为 2s ab ;
a c

当 c<

a b

,v=c 时,最小值为 s(bc+

) 。

7.为了适应国民经济的发展需要,某市政府决下进行经济结构调整,加快发展第三产业.已知该 市现有第二产业从业人员 100 万人,平均每人全年可创造产值 a 万元,现欲从中分流出 x 万人去 从事第三产业,假设分流后继续从事第二产业的人员平均每人全年创造产值大约可增加 2x%,而 分流出的从事第三产业的人员, 平均每人全年可创造产值 ab 万元(a,b 均为正常数, x<100). 0< (1)在保证该市第二产业的产值不能减少的情况下,求 x 的取值范围. (2)在(1)的条件下,当该市第二、三产业的总产值增加最多时,求 x 的值. 解析:(1)由题意得(100-x)·a(1+2x%)≥100a. ∵a>0,x>0,∴0<x≤50. (2)设该市第二、三产业总产值增加 f(x)万元,则

f(x)=(100-x)·a(1+2x%)+abx-100a,


f(x)=-0.02a[x2-50(1+b)x].
∵a>0,b>0,∴0<x≤50.

∴当 25(1+b)>50,即 b>1,且 x=50 时,f(x)最大;当 25(1+b)≤50,即 0<b≤1,且 x=25(1+b) 时,f(x)最大. 即:若 0<b≤1,则 x=25(1+b)时,该市第二、三产业的总产值增加最多; 或 b>1,则 x=50 时,该市第二、三产业的总产值增加最多.

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