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【名师一号】2014-2015学年人教A版高中数学必修4双基限时练11


双基限时练(十一)
π? ? π 1. 把函数 f(x)的图象向右平移12个单位后得到函数 y=sin?x+3?的
? ?

图象,则 f(x)为( 7 ? ? A.sin?x+12π?
? ?

) 3 ? ? B.sin?x+4π?
? ? ? ? ?

5π? ? C.sin

?x+12?
? ?

5 ? ? D.sin?x-12π?
?

π? ? π 解析 用 x-12代换选项中的 x, 化简得到 y=sin?x+3?的就是 f(x), π 5π? π? ? ? 代入选项 C,有 f(x)=sin?x-12+12?=sin?x+3?. ? ? ? ? 答案 C

2.下列四个函数中,同时具有:①最小正周期是 π,②图象关于 π x=3对称的是( ) π B.y=sin(2x+6) π D.y=sin(2x-6)

x π A.y=sin(2+6) π C.y=sin(2x-3) π 解析 当 x=3时,

π? π π? ? ? π y=sin?2x-6?=sin?2×3-6?=sin2=1.
? ? ? ?

π? ? π 2π ∴函数 y=sin?2x-6?的图象关于 x=3对称,且周期 T= 2 =π.
? ?

答案

D
? ?

π? ? 3.要将 y=sin?2x+4?的图象转化为某一个偶函数图象,只需将 y π? ? =sin?2x+4?的图象(
? ?

)

π A.向左平移4个单位 π B.向右平移4个单位 π C.向左平移8个单位 π D.向右平移8个单位 解析 π? ? π 把 y = sin ?2x+4? 的 图 象 向 左 平 移 8 个 单 位 即 得 y =
? ? ? ? ? ?

π? π? ? ? π? ? sin?2?x+8?+4?=sin?2x+2?=cos2x 的图象.因为 y=cos2x 为偶函数,
? ?

所以符合题意. 答案 C
? ?

π? ? 4.函数 y=3sin?-x+6?的相位和初相分别是( π π A.-x+6,6 5π 5π C.x+ 6 , 6
? ?

)

π π B.x-6,-6 5π π D.x+ 6 ,6
? ? ??

π? π?? ? ? ? 解析 因为 y=3sin?-x+6?=3sin?π-?-x+6?? 5π? ? 5π 5π =3sin?x+ 6 ?,所以相位和初相分别是 x+ 6 , 6 .
? ?

答案

C

5.如下图是函数 y=Asin(ωx+φ)+b 在一个周期内的图象,那么 这个函数的一个解析式为( )

? x π? A.y=2sin?2+6?-1 ? ?

π? ? B.y=2sin?2x+6?-1
? ? ? ?

π? ? C.y=3sin?2x+3?-1 π? ? D.y=3sin?2x+6?-1
? ?

解析 由图象知 A= 5π ? π? T= 6 -?-6?=π.
? ?

2-?-4? =3,b=-1, 2

2π ∴ ω = T = 2 , 故 可 设 解 析 式 为 y = 3sin(2x + φ) - 1 , 代 入 点 7π ?7π ? ? ? ? ,-4?,得-4=3sin?2× +φ?-1, 12 ?12 ? ? ?
?7π ? 7π π 即 sin? 6 +φ?=-1,∴φ+ 6 =2kπ-2(k∈Z). ? ?

π? ? π 令 k=1,解得 φ=3,所以 y=3sin?2x+3?-1.
? ?

答案

C

π 6.将函数 f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移2个单位长度,若所得 图象与原图象重合,则 ω 的值不可能等于( A.4 C.8
? ?

)

B.6 D.12
??

φ π?? ? ? 解析 由题意可得,sin?ω?x+ω+2?? π ? ? π =sin?ωx+φ+2ω?,则2ω=2kπ,k∈Z,所以 ω=4k,k∈Z,因为
? ?

6 不是 4 的整数倍,所以 ω 的值不可能是 6,故选 B.

答案

B

7. 使函数 f(x)=3sin(2x+5θ)的图象关于 y 轴对称的 θ 为________. 解析 ∵函数 f(x)=3sin(2x+5θ)的图象关于 y 轴对称, ∴f(-x)=f(x)恒成立,∴3sin(-2x+5θ)=3sin(2x+5θ), ∴sin(-2x+5θ)=sin(2x+5θ),∴-2x+5θ=2x+5θ+2kπ(舍去)或 kπ π -2x+5θ+2x+5θ=2kπ+π(k∈Z),即 10θ=2kπ+π,故 θ= 5 +10(k ∈Z). 答案 kπ π 5 +10,k∈Z

π 8.若函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R(其中 ω>0,|φ|<2)的最小正周 期为 π,且 f(0)= 3,则 ω=________, φ=________. 解析 由原函数的最小正周期为 π, 得到 ω=2(ω>0). 又由 f(0)= 3 π π 且|φ|<2得到 φ=3. π 答案 2 3 2π? 5 ? 9.函数 y=-2sin?4x+ 3 ?的图象与 x 轴的各个交点中,离原点最
? ?

近的一点是__________. 解析 2π? 5 ? 令-2sin?4x+ 3 ?=0. ? ?

2π kπ π 则 4x+ 3 =kπ,∴x= 4 -6,k∈Z. π 故取 k=1 时,x=12.
?π ? ∴离原点最近的一点是?12,0?. ? ?

?π ? 答案 ?12,0? ? ?

π 10.将函数 f(x)=sinωx(其中 ω>0) 的图象向右平移4个单位长度,
?3π ? 所得图象经过点? 4 ,0?,则 ω 的最小值是________. ? ?

解析

π 把 f(x) = sinωx 的 图 象 向 右 平 移 4 个 单 位 长 度 得 : y =
??

π?? ? ? sin?ω?x-4??.
? ? ?3π ? 又所得图象过点? 4 ,0?, ? ? ? ?3π π?? ∴sin?ω? 4 -4??=0. ? ? ??

ωπ ∴sin 2 =0. ωπ ∴ 2 =kπ(k∈Z). ∴ω=2k(k∈Z). ∵ω>0,∴ω 的最小值为 2. 答案 2 π? ? π 11.设函数 f(x)=3sin?ωx+6?,ω>0,且以2为最小正周期.
? ?

(1)求 f(x)的解析式;
? π π? (2)当 x∈?-12,6?时,求 f(x)的最值. ? ?



π 2π (1)∵f(x)的最小正周期为2,∴ω= π =4. 2

π? ? ∴f(x)=3sin?4x+6?.
? ?

? π π? (2)由 x∈?-12,6?, ? ?

π ? π 5π? 得 4x+6∈?-6, 6 ?,
? ?

π? ? 1 ? ? sin?4x+6?∈?-2,1?.
? ? ? ?

π? ? 1 ∴当 sin?4x+6?=-2,
? ?

π 3 即 x=-12时,f(x)有最小值-2, π? ? π 当 sin?4x+6?=1,即 x=12时,f(x)有最大值 3.
? ?

π? ?1 ?? 12.设函数 f(x)=sin?2x+φ??0<φ<2?,y=f(x)的图象的一条对称轴
? ?? ?

π 是直线 x=4. (1)求 φ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间. 解 π (1)∵x=4是 y=f(x)图象的一条对称轴,
? ?

?1 π ? ∴sin?2×4+φ?=± 1.

π π ∴8+φ=kπ+2,k∈Z. π 3π ∵0<φ<2,∴φ= 8 . 3π (2)由(1)知 φ= 8 , 3π? ?1 ∴f(x)=sin?2x+ 8 ?.
? ?

由题意得

π 1 3π π 2kπ-2≤2x+ 8 ≤2kπ+2,k∈Z, 7 π 即 4kπ-4π≤x≤4kπ+4,k∈Z. ∴函数 y=f(x)的单调增区间为 7 π? ? ?4kπ- π,4kπ+ ?(k∈Z). 4 4? ? 13.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R),在一个周期 内的图象如下图所示, 求直线 y= 3与函数 f(x)图象的所有交点的坐标.

解 由图象得 A=2, 7 ? π? T=2π-?-2?=4π.
? ? ?1 ? 2π 1 则 ω= T =2,故 y=2sin?2x+φ?. ? ?

1 ? π? π 又2×?-2?+φ=0,∴φ=4.
? ?

π? ?1 ∴y=2sin?2x+4?.
? ?

π? ?1 由条件知 3=2sin?2x+4?,
? ?

1 π π 得2x+4=2kπ+3(k∈Z), 1 π 2 或2x+4=2kπ+3π(k∈Z). π 5 ∴x=4kπ+6(k∈Z),或 x=4kπ+6π(k∈Z). 则所有交点的坐标为

π 5π ? ? ? ? ?4kπ+ , 3?或?4kπ+ , 3?(k∈Z). 6 6 ? ? ? ?


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