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示范教案(1.1.3 解三角形的进一步讨论)说课稿


1.1.3 解三角形的进一步讨论? 从容说课 本节课中,应先通过分析典型例题,帮助学生理解并掌握正弦定理和余弦定理;应指出 正弦定理和余弦定理是相通的,凡是能用正弦定理解的三角形,用余弦定理也可以解,反之 亦然.但解题的时候,应有最佳选择.教学过程中,我们应指导学生对利用正弦定理和余弦 定理解斜三角形的问题进行归类,列表如下:? 解斜三角形时可用的定理和 公式 余弦定理? a2=b2+c2-2bccosA? b2=a2+c2-2accosB? c2=b2+a2-2bacosC 正弦定理 适用类型 (1)已知三边? (2)已知两边及其夹角 备注 类型(1) (2)有解时只有一 解

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C
三角形面积公式

(3)已知两角和一边? (4)已知两边及其中一边的 对角 (5)已知两边及其夹角

类型 (3) 在有解时只有一解, 类型(4)可有两解、一解或 无解

1 S ? bc sin A ? 2 1 ac sin B ? 2 1 ab sin C 2
同时应指出,在解斜三角形问题时,经常要利用正弦、余弦定理实施边角转换,转化的 主要途径有两条: (1) 化边为角, 然后通过三角变换找出角与角之间的关系, 进而解决问题; (2)化角为边,将三角问题转化为代数问题加以解决.一般地,当已知三角形三边或三边 数量关系时,常用余弦定理;若既有角的条件,又有边的条件,通常利用正弦定理或余弦定 理,将边化为角的关系,利用三角函数公式求解较为简便.总之,关键在于灵活运用定理及 公式.? 教学重点 1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情 形;? 2.三角形各种形状的判定方法;? 3.三角形面积定理的应用.? 教学难点 1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向;? 2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求;? 3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用.? 教具准备 投影仪、幻灯片? 第一张:课题引入图片(记作 1.1.3A)? 正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R ;? sin A sin B sin C

余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC,?

cos A ?

b2 ? c2 ? a2 c2 ? a2 ? b2 a2 ? b2 ? c2 , cos B ? , cosC ? .? 2bc 2ca 2ab

第二张:例 3、例 4(记作 1.1.3? B?)? [例 3]已知△ABC, BD 为角 B 的平分线,求证: AB∶ BC=AD∶ DC.? 2 2 [例 4]在△ABC 中,求证:a sin2B+b sin2A=2absinC.? 第三张:例 5(记作 1.1.3C)? [例 5]在△ABC 中,bcosA=acosB,试判断三角形的形状.?? 三维目标 一、知识与技能? 1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情 形; 2.三角形各种形状的判定方法;? 3.三角形面积定理的应用.?? 二、过程与方法? 通过引导学生分析,解答三个典型例子,使学生学会综合运用正、余弦定理,三角函数 公式及三角形有关性质求解三角形问题.?? 三、情感态度与价值观? 通过正、余弦定理,在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系,反 映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能, 从而从本质上反映了事物之间的内 在联系.?? 教学过程 导入新课 师 前面两节课,我们一起学习了正弦定理、 余弦定理的内容,并且接触了利用正、 余弦定理解 三角形的有关题型.下面,我们先来回顾一下正、 余弦定理的内容 (给出幻灯片 1.1.3A).从幻灯 片大体可以看出,正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系,运用定理可以进行 边与角之间的转换,这一节,我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在判断 三角形形状和证明三角恒等式时的应用.?? 推进新课 思考:在△ABC 中,已知 A=22cm,B=25cm,A=133° ,解三角形. (由学生阅读课本第 9 页解答过程)? 从此题的分析我们发现, 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时, 在某些条 件下会出现无解的情形.下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题.? 【例 1】在△ABC 中,已知 A,B,A,讨论三角形解的情况.? 师 分析:先由 sin B ?

b sin A a sin C 可进一步求出 B;则 C =180° -(A+B),从而 c ? .? a sin A

一般地,已知两边和其中一边的对角解三角形,有两解、一解、无解三种情况.? 1.当 A 为钝角或直角时,必须 a>b 才能有且只有一解;否则无解.? 2.当 A 为锐角时, 如果 a≥b,那么只有一解;? 如果 a<b,那么可以分下面三种情况来讨论:? (1)若 a>bsinA,则有两解;? (2)若 a=bsinA,则只有一解;?

(3)若 a<bsinA,则无解.? (以上解答过程详见课本第 9 到第 10 页)? 师 注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,只有当 A 为锐角且 bsinA<a< b 时,有两解;其他情况时则只有一解或无解.? (1)A 为直角或钝角?

(2)A 为锐角?

【例 2】在△ABC 中,已知 a =7,b=5,c =3,判断△ABC 的类型.? 分析:由余弦定理可知? a2=b2+c2 ? A 是直角 ? △ABC 是直角三角形,? a2>b2+c2 ? A 是钝角 ? △ABC 是钝角三角形,? a2<b2+c ? A 是锐角/ △ABC 是锐角三角形。? (注意:A 是锐角/ △ABC 是锐角三角形 )? 2 2 2 2 解:∵ >5 +3 ,即 a >b2+c2,? 7 ∴ ABC 是钝角三角形.? △ [教师精讲]? 1.利用正弦定理和三角形内角和定理,可以解决以下两类解斜三角形问题.? ① 已知两角和任一边,求其他两边和一角.? ② 已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角) .? 2. 正弦定理, 可以用来判断三角形的形状, 其主要功能是实现三角形中边角关系转化. 例 如:在判断三角形形状时,经常把 a、b、c 分别用 2RsinA、2RsinB、2RsinC 来代替.? 3.余弦定理的主要作用一是解三角形,二是判断三角形的形状,它的主要功能是实现边 角之间的转化.? (1)已知三边,求三个角.? (2)已知两边和夹角,求第三边和其他两角.? 4.用方程的思想理解和运用余弦定理,当等式 a2=b2+c2-2bccosA 中含有未知数时,这 便成为方程,式中有四个量,知道三个,便可以解出另一个,运用此式可以求 A 或 B 或 C 或? cosA.? 师 下面,我们来看幻灯片上的例题.(给出幻灯片 1.1.3B)?

[例题剖析]?

【例 3】 分析: 前面接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题,而角 B 的平分线 BD 将 △ABC 分成了两个三角形:△ABD 与△CBD,故要证结论成立,可证明它的等价形式: AB∶ BC =AD∶ DC,从而把问题转化到两个三角形内,而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比, 故可利用正弦定理将所证继续转化为 互补角正弦值也相等即可证明结论.?

BC DC ? ,再根据相等角正弦值相等, sin ?BDC sin ?DBC

AB AD AB sin ?ADB ? ? ,即 ,? sin ?ADB sin ?ABD AD sin ?ABD BC DC BC sin ?BDC ? ? 在△BCD 内,利用正弦定理得 ,即 ,? sin ?BDC sin ?DBC DC sin ?DBC
证明:在△ABD 内,利用正弦定理得 ∵ 是角 B 的平分线,∴ ABD=∠ BD ∠ DBC? ∴ sin∠ ABD=sin∠ DBC.? ∵ ADB+∠ ∠ BDC=180° ,? ∴ sin∠ ADB=sin(180° BDC)=sin∠ -∠ BDC.?

AB sin ?ADB sin ?BDC BC ? ? ? .? AD sin ?ABD sin ?DBC DC AB AD ? ∴ .? BC DC
∴ 评述:此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系,并且注意互补角的正弦 值相等这一特殊关系式的应用.? [例题剖析]? 【例 4】分析:此题所证结论包含关于△ABC 的边角关系,证明时可以考虑两种途径:一是把角 的关系通过正弦定理转化为边的关系,若是余弦形式则通过余弦定理;二是把边的关系转化为 角的关系,一般是通过正弦定理.? 另外,此题要求学生熟悉相关的三角函数的有关公式,如 sin2B=2sinbcosB 等,以便在化为角的关系时进行三角函数式的恒等变形.? 证明一: (化为三角函数)? a2sin2B+b2sin2A=(2RsinA)2· 2sinB· COsB+(2RsinB)2· 2sinA· cosA=8R2sinA· sinB(sinA? cosB+cosAs 2 inB)=8R sinasinbsinC =2· 2RsinA· 2RsinB· sinC=2absinC.? 所以原式得证.? 证明二: (化为边的等式)? 左边=A2· 2sinBcosB+B2· 2sinAcosA= a ?
2

2b a 2 ? c 2 ? b 2 2a b 2 ? c 2 ? a 2 ? ? b2 ? ? = 2R 2ac 2R 2bc

ab 2 ab c (a ? c 2 ? b 2 ? b 2 ? c 2 ? a 2 ) ? 2c 2 ? 2ab ? ? 2ab sin C = 2 Rc 2 Rc 2R
[教师精讲]? 由边向角转化,通常利用正弦定理的变形式:A=2RsinA,B=2RsinB,C=2RsinC,在转化为角 的关系式后,要注意三角函数公式的运用,在此题用到了正弦二倍角公式 sin2A=2sinA· cosA,正

弦两角和公式 sin(A+B)=sinA· cosB+cosA· sinB;由角向边转化,要结合正弦定理变形式以及余弦 定理形式二.? 三角形的有关证明问题,主要围绕三角形的边和角的三角函数展开,从某种意义上来看, 这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题.? 【例 5】 分析:三角形形状的判断,可以根据角的关系,也可根据边的关系,所以在已知条件的运 用上,可以考虑两种途径,将边转化为角,将角转化为边,下面,我们从这两个角度进行分析. 解法一:利用余弦定理将角化为边.? ∵ bcosA=acosB,∴b ?

b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 ? a? .∴ 2+c2-a2=a2+c2-b2.∴ 2=b2. b a 2bc 2ac

∴ a=b.? 故此三角形是等腰三角形.? 解法二:利用正弦定理将边转化为角.? ∵ bcosA=acosB,又 B=2RsinB,A=2RsinA,∴ 2RsinbcosA=2RsinAcosB.? ∴ sinAcosB-cosAsinB=0.∴ sin(A-B)=0.∵ 0<A,B<π,∴ -π<A-B<π.? ∴ A-B=0,即 A=B.? 故此三角形是等腰三角形.? 评述: (1)在判定三角形形状时,一般考虑两个方向进行变形,一个方向是边,走代数变形之路, 通常是正、 余弦定理结合使用;另一方向是角,走三角变形之路,通常是运用正弦定理.要求学生 要注重边角转化的桥梁——正、余弦定理.? (2)解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式,但应注意在根据三角函数值求角时,一定 要先确定角的范围.另外,也可运用同角三角函数的商数关系,在等式 sinBcosA=sinAcosB 两端 同除以 sinAsinB,得 cotA=cotB,再由 0<A,B<π,而得 A=B.?? 课堂小结? 通过本节学习,我们熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用,并利用正、 余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断,其中,要求大家重点体会正、余 弦定理的边角转换功能.? (1) 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时, 有两解或一解或无解等情形; (2)三角形形状的判定方法.?? 布置作业 1.在△ABC 中,已知

sin A sin( A ? B) ? ,求证: a2、b2、c2 成等差数列.? sin C sin(B ? C )

证明: 由已知得 sin(B+C)sin(B-C)=sin(A+B)sin(A-B),? cos2B-cos2C=cos2A-cos2B,? 2cos2B=coOs2A+cos2C,2·

1 ? cos2 B 1 ? cos2 A 1 ? cos2 B ? ? = 2 2 2

∴ 2B=sin2A+sin2C.? 2sin 由正弦定理,可得 2b2=a2+c2,? 即 a2、b2、c2 成等差数列.? 2.在△ABC 中,A=30° ,cosB=2sinB-3sinC.? (1)求证:△ABC 为等腰三角形;(提示 B =C =75° ?)? (2)设 D 为△ABC 外接圆的直径 BE 与边 AC 的交点,且 AB=2,求 AD∶ 的值.? CD

答案: (1)略;(2)1∶ 3.?? 板书设计 解三角形的进一步讨论? 一、三角形形状判定? 二、三角形问题证明思路 1.等腰三角形:a=b 或? 1. 边转化利用正、余弦定理 向 A=B? 2.向角转化? 利用正弦定理 2 2 2 2.直角三角形:a +b =c 或 C =90° ?? 3.钝角三角形:C>90° ? 三、学生练习 四、布置作业


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