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【恒心】高考数学(理科)一轮复习突破课件007008-立体几何中的向量方法(2)——求空间角与距离


知识与方法回顾 知识梳理 探究 一 辨析感悟 例1 训练1 例2 训练2 例3 求异面直线所成 的角 技能与规律探究 探究二 利用空间向量求直 线与平面所成的角 利用向量求二面角 探究三 训练3 经典题目再现 1.两条异面直线所成角的求法 设 a,b 分别是两异面直线 l1,l2 的方向向量,则 l1 与 l2 所成的角 θ a 与 b 的夹角 β ?0,π

? 范围 [0,π] 2 ? ? |a· b| a· b 求法 cosθ= cosβ= |a||b| |a||b| 2.直线与平面所成角的求法 设直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,直线 l 与平面 α 所成 |a· n| 的角为 θ,a 与 n 的夹角为 β. 则 sinθ=|cosβ|= . |a||n| 3.求二面角的大小 (1)如图①,AB,CD 是二面角 α-l-β 的两个面内与棱 l 垂直的直线,则 → → 二面角的大小 θ=〈AB,CD〉 . (2)如图②③,n1,n2 分别是二面角 α-l-β 的两个半平面 α,β 的法向量, 则二面角的大小 θ 满足|cosθ|=|cos〈n1,n2〉|,二面角的平面角大小是 向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角). 2.利用空间向量求 距离(供选用) (1)两点间的距离 设点 A(x1,y1,z1),点 B(x2,y2,z2), → 则|AB|=|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2+?z1-z2?2. (2)点到平面的距离 如图所示,已知 AB 为平面 α 的一条斜线段,n 为平 → | AB · n| → 面 α 的法向量,则 B 到平面 α 的距离为|BO|= . |n| 1.直线的方向向量与平面的法向量 (1)若 n1,n2 分别是平面 α,β 的法向量,则 n1∥n2?α∥β.( ) (2)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角.( ) (3)已知 a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则 a∥c,a⊥b.( ) 2.空间角 π π (4)两异面直线夹角的范围是?0,2 ?,直线与平面所成角的范围是?0,2?, ? ? ? ? 二面角的范围是[0,π].( ) (5)(2014· 济南调研改编)已知向量 m, n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、 1 法向量,若 cos〈m,n〉=- ,则 l 与 α 所成的角为 150° .( ) 2 (6)已知两平面的法向量分别为 m=(0,1,0),n=(0,1,1), 则两平面所成的二面角的大小为 45° .( ) (7)(2013· 上海卷改编)在如图所示的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小为 60° .( ) 1 利用空间向量求空间 角,避免了寻找平面 角和垂线段等诸多麻 烦,使空间点线面的 位置关系的判定和计 算程序化、简单 化.主要是建系、设 点、计算向量的坐标、 利用数量积的夹角公 式计算. 两种关系 一是异面直线所成的角与其方向向量的 夹角:当异面直线的方向向量的夹角为 锐角或直角时,就是该异面直线的夹角; 否则向量夹角的补角是异面直线所成的 角,如(2). 二是二面角与法向量的夹角:利用平面 的法向量求二面角的大小时,当求出两 半平面α,β的向量n1,n2时,要根据向 量坐标在图形中观察法向量的方向,从 而确定二面角与向量n1,n2的夹角是相 等,还是互补,如(6). 求异面直线所成的角 【例 1】 如图,

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