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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中人教B版数学必修四课时作业:1.3.1(二)]


1. 3. 1

正弦函数的图象与性质(二)

课时目标 1.掌握 y=sin x 的值域、奇偶性、单调性.2.了解周期函数的概念,会求 形如函数 y=Asin(ωx+φ)的最小正周期.

函数 图象 定义域 值域 奇偶性 周期性 单调性

y=sin x

最值

/>对称性

R [-1,1] 奇函数 最小正周期:2π 在________________________上单调递增; π 3 2kπ+ ,2kπ+ π? (k∈Z)上单调递减 在? 2 2 ? ? π 在 x=2kπ+ (k∈Z)时,ymax=1; 2 π 在 x=2kπ- (k∈Z)时,ymin=-1 2 对称中心:(kπ,0)(k∈Z) π 对称轴:x=kπ+ (k∈Z) 2

一、选择题 x π 1.函数 f(x)= 3sin( - ),x∈R 的最小正周期为( 2 4 π A. B.π C.2π D.4π 2 2.下列函数中,不是周期函数的是( ) A.y=sin x-1 B.y=sin2 x C.y=|sin x| D.y=sin |x| 3.已知 f(x)=sin(πx-π)-1,则下列命题正确的是( A.f(x)是周期为 1 的奇函数 B.f(x)是周期为 2 的偶函数 C.f(x)是周期为 1 的非奇非偶函数 D.f(x)是周期为 2 的非奇非偶函数 4.下列函数中,周期为 2π 的是( ) x A.y=sin B.y=sin 2x 2 x sin ? C.y=? D.y=|sin 2x| ? 2? ? π?? 5.设函数 f(x)=? ) ?sin?x+3??(x∈R),则( )

)

2π 7π? A.在区间? ? 3 , 6 ?上是增函数 π? B.在区间? ?-π,-2?上是减函数 π π? C.在区间? ?4,3?上是增函数 π 5π? D.在区间? ?3, 6 ?上是减函数 6.sin 1,sin 2,sin 3,sin 4 按从小到大的顺序排列为( A.sin 1<sin 2<sin 3<sin 4 B.sin 4<sin 3<sin 2<sin 1 C.sin 4<sin 3<sin 1<sin 2 D.sin 4<sin 2<sin 3<sin 1 二、填空题 π 2π ωx+ ? (ω>0)的最小正周期是 ,则 ω=________. 7.函数 y=sin? 4? ? 3 π π ? 8.已知 ω>0,函数 f(x)=2sin ωx 在? ?-3,4?上递增,求 ω 的范围为__________. 9.若 f(x)是 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=sin x,则 f(x)的解析式是______________. π 10.已知|x|≤ ,则函数 f(x)=cos2x+sin x 的最小值为________. 4 三、解答题 11.判断下列函数的奇偶性. 1 π? (1)f(x)=sin? ?-2x+2?; (2)f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x); 1+sin x-cos2 x (3)f(x)= . 1+sin x )

2sin xcos2x 12.求函数 y= 的值域. 1+sin x

能力提升 13.欲使函数 y=Asin ωx(A>0,ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现 50 个最小值,则 ω 的最小 值是________. 14.判断函数 f(x)=ln(sin x+ 1+sin2x)的奇偶性.

1.求函数的最小正周期的常用方法: (1)定义法,即观察出周期,再用定义来验证;也可由函数所具有的某些性质推出使 f(x+ T)=f(x)成立的 T. (2)图象法,即作出 y=f(x)的图象,观察图象可求出 T.如 y=|sin x|. (3)结论法,一般地,函数 y=Asin(ωx+φ)(其中 A、ω、φ 为常数,A≠0,ω>0,x∈R)的 2π 周期 T= . ω 2.判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则,即先求定义域,看它是否关于原点对 称. 3.求形如 f(x)=asin2x+bsin x+c(a≠0)的函数值域,换元后转化为二次函数在闭区间[- 1,1]上的值域问题.

1 . 3. 1

正弦函数的图象与性质(二)

答案

知识梳理 ?2kπ-π,2kπ+π? (k∈Z) 2 2? ? 作业设计 1.D 2.D [画出 y=sin |x|的图象,易知 D 的图象不具有周期性.] 3.D [f(x)=-sin πx-1,f(-x)≠f(x), 且 f(-x)≠-f(x),T=2.] 4.C 5.A π 3π 6.C [∵0<1< <2<3<π<4< , 2 2 ∴sin 4<0,sin 2=sin(π-2),sin 3=sin(π-3) π? π 而 0<π-3<1<π-2< ,正弦函数 y=sin x 在? ?0,2?上为增函数. 2 ∴sin(π-3)<sin 1<sin(π-2), 即 sin 2>sin 1>sin 3>sin 4.]

7.3 2π 2π = ,∴ω=3. ω 3 3 0, ? 8.? ? 2? π π π π 解析 - ≤ωx≤ (ω>0),∴- ≤x≤ . 2 2 2ω 2ω π π? ? π π? 由题意:? ?-3,4???-2ω,2ω? π π - ≥- 3 2ω 3 ∴ ,∴0<ω≤ . 2 π π ≤ 4 2ω 解析

? ? ?

9.f(x)=sin|x| 解析 当 x<0 时,-x>0,f(-x)=sin(-x)=-sin x, ∵f(-x)=f(x),∴x<0 时,f(x)=-sin x. ∴x∈R,f(x)=sin|x|. 1- 2 10. 2 解析 y=f(x)=cos2x+sin x=-sin2x+sin x+1. π 2 2 令 t=sin x,∵|x|≤ ,∴- ≤sin x≤ . 4 2 2 1?2 5 2 2 则 y=-t2+t+1=-? ?t-2? +4(- 2 ≤t≤ 2 ), 2 π ∴当 t=- ,即 x=- 时,f(x)有最小值, 2 4 5 1- 2 2 1 且最小值为-?- - ?2+ = . 2 ? 2 2? 4 1 11.解 (1)显然 x∈R,f(x)=cos x, 2 1 1 ? f(-x)=cos? ?-2x? =cos 2x=f(x) ∴f(x)是偶函数. ?1-sin x>0 ? (2)由? ,得-1<sin x<1. ?1+sin x>0 ? π ? ? 解得定义域为?x|x∈R且x≠kπ+2,k∈Z?. ? ? ∴f(x)的定义域关于原点对称. 又∵f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x) ∴f(-x)=lg[1-sin(-x)]-lg[1+sin(-x)] =lg(1+sin x)-lg(1-sin x)=-f(x). ∴f(x)为奇函数. (3)∵1+sin x≠0,∴sin x≠-1, π ∴x∈R 且 x≠2kπ- ,k∈Z. 2 ∵定义域不关于原点对称, ∴该函数是非奇非偶函数. 2 2sin xcos2x 2sin x?1-sin x? 12.解 y= = 1+sin x 1+sin x 1 1 sin x- ?2+ . =2sin x(1-sin x)=-2? 2? 2 ?

1 ∵-1<sin x≤1,∴-4<y≤ , 2 1 2sin xcos2x -4, ?. ∴函数 y= 的值域为? 2? ? 1+sin x 199 13. π 2 解析 要使 y 在闭区间[0,1]上至少出现 50 个最小值, 3 则 y 在[0,1]上至少含(49 )个周期, 4 3 ?49 ?T≤1 4 199 即 ,解得 ω≥ π. 2 2π T= ω

? ? ?

14.解 ∵sin x+ 1+sin2x≥sin x+1≥0, 若两处等号同时取到,则 sin x=0 且 sin x=-1 矛盾, ∴对 x∈R 都有 sin x+ 1+sin2x>0. ∵f(-x)=ln(-sin x+ 1+sin2x) =ln( 1+sin2x-sin x) - =ln( 1+sin2x+sin x) 1 =-ln(sin x+ 1+sin2 x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数.


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