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高考数学函数的奇偶性复习


复习课

函数的奇偶性和周期性

要点梳理
1.奇函数、偶函数的概念 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都 f(-x)=f(x) ,那么函数f(x)就叫做偶函数. 有_______________ 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都 f(-x)=-f(x) 有_______________ ,那

么函数f(x)就叫做奇函数. 奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴 对称.

2.判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般 步骤是: (1)考查定义域是否关于____________ 原点对称 ;

(2)考查表达式f(-x)是否等于f(x)或-f(x): -f(x) 若f(-x)=_______ ,则f(x)为奇函数;
f(x) ,则f(x)为偶函数; 若f(-x)=________ -f(x) 若f(-x)=_______ 且f(-x)=________, f(x) 则f(x)既是 奇函数又是偶函数;

若f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x),则f(x)既
不是奇函数又不是偶函数,即非奇非偶函数.

3.奇、偶函数的性质

(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性______, 相同
偶函数在关于原点对称的区间上的单调性______( 相反 填 “相同”、“相反”). (2)在公共定义域内, ①两个奇函数的和是________, 奇函数 两个奇函数的积是偶

函数;
②两个偶函数的和、积是_________ 偶函数 ; ③一个奇函数,一个偶函数的积是_________. 奇函数

4.函数的周期性
(1)定义:如果存在一个非零常数T,使得对于函数f(x)定义域内的任意

x,都有f(T+x)=f(x),则称f(x)为周期函数.不为零的常数T叫做这个函
数的周期.如果在所有的周期中存在着一个最小的正数,这个最小的正 数叫做最小正周期.

(2)性质:
①周期函数的周期不止一个.如果T是函数f(x)的周期,则nT(n∈Z,且n ≠0)也是f(x)的周期. ②如果函数f(x)的周期为T,则f(ω x)(ω ≠0)也是周期函数,且周期为

1 ③如果函数f(x)的周期为T,则T也是f? 的周期. ( x)

?.

T ω

④周期的推导与利用函数的周期解决问题.

基础自测
1.对任意实数x,下列函数为奇函数的是 A.y=2x-3 B.y=-3x2 (C )

C.y=ln 5x
解析

D.y=-|x|cos x

A为非奇非偶函数,B、D为偶函数,C为奇函

数.设y=f(x)=ln 5x=xln 5,∴f(-x)=-xln 5=
-f(x).

2.(2008·全国Ⅱ理)函数 f ( x) ?

1 ? x 的图象关于 x

(C)
A.y轴对称 C.坐标原点对称 B.直线y=-x对称 D.直线y=x对称

1 解析 ∵ f ( x ) ? ? x, x 1 1 ? f (? x) ? ? ? x ? ?( ? x) ? ? f ( x). x x ∴f(x)是奇函数.∴f(x)的图象关于原点对称.

3.(2008·福建理)函数f(x)=x3+sin x+1 (x∈R),
若f(a)=2,则f(-a)的值为 A.3 解析 B.0 C.-1 D.-2 (B )

设g(x)=x3+sin x,很明显g(x)是一个奇函数.

∴f(x)=g(x)+1.∵f(a)=g(a)+1=2, ∴g(a)=1, ∴g(-a)=-1,∴f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0.

4.(2011年全国大纲卷)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2 x(1-x),则f(-?)等于?(
5 2

)

5.已知奇函数f(x)的周期为4.当x∈[0,2]时,f(x)=2x,则f(-1009)=
. 【解析】函数f(x)周期为4,于是f(-1009)=f(-1)=-f(1)=-2.

【答案】-2

?

题型分类
题型一 函数奇偶性的判断

深度剖析

【例1】 判断下列函数的奇偶性:
1? x f ( x) ? lg ; (1) 1? x 1? x (2) f ( x) ? ( x ? 1) ; 1? x

思维启迪 判断函数的奇偶性,应先检查定义域是 否关于原点对称,然后再比较f(x)与f(-x)之间是否
相等或相反.



(1) 1 ? x ? 0 ? ?1 ? x ? 1, 定义域关于原点对称. 1? x

1? x 1 ? x ?1 又f (? x) ? lg ? lg( ) 1? x 1? x 1? x ? ? lg ? ? f ( x), 1? x
故原函数是奇函数. 1? x (2) ≥0且1-x≠0? ? -1≤x<1, 1? x 定义域关于原点不对称,故原函数是非奇非偶函数.

探究提高 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备

条件:
一是定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的 必要不充分条件,所以首先考虑定义域对解决问题 是有利的; 二是判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶 性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关 系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))

是否成立.

知能迁移1

判断下列函数的奇偶性:
4 ? x2 f ( x) ? ; | x ? 3 | ?3



2 ? 4 ? x ?0 ? , (1)∵ ? ? ?| x ? 3 |? 3

∴-2≤x≤2且x≠0,

∴函数f(x)的定义域关于原点对称.

4 ? x2 4 ? x2 f ( x) ? ? . x ?3?3 x 4 ? (? x) 2 4 ? x2 又f (? x) ? ?? , ?x x ∴f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.

题型二

函数的奇偶性与单调性

【例2】 已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y)=
f(x)+f(y). (1)求证:f(x)是奇函数; (2)如果x为正实数,f(x)<0,并且f(1)=? 1 , 试求 2 f(x)在区间[-2,6]上的最值. 思维启迪 (1)根据函数的奇偶性的定义进行证明, 只需证f(x)+f(-x)=0; (2)根据函数的单调性定义进行证明,并注意函数奇 偶性的应用.

(1)证明

∵函数定义域为R,其定义域关于原点对称.

∵f(x+y)=f(x)+f(y),令y=-x, ∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0, ∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0. ∴f(x)+f(-x)=0,得f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. (2)解 设x,y为正实数,

∵f(x+y)=f(x)+f(y),
∴f(x+y)-f(x)=f(y). ∵x为正实数,f(x)<0, ∴f(x+y)-f(x)<0,

∴f(x+y)<f(x). ∵x+y>x,

∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.
又∵f(x)为奇函数,f(0)=0, ∴f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.

∴f(-2)为最大值,f(6)为最小值. 1 ∵f(1)= ? , ∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1, 2 f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3.
∴所求f(x)在区间[-2,6]上的最大值为1,最小值 为-3.

探究提高

(1)满足f(a+b)=f(a)+f(b)的函数,只

要定义域是关于原点对称的,它就是奇函数.

(2)运用函数的单调性是求最值(或值域)的常用
方法之一,特别对于抽象函数,更值得关注.

思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两 个问题: (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇 函数或偶函数的必要非充分条件; (2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式. 2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为 了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行 化简,或应用定义的等价形式:f(-x)=±f(x)? ? f(-x) ±f(x)=0? ? f ( ? x ) =±1(f(x)≠0). f ( x)

3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称,反之也真.利用这一性质可简化一些函数 图象的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性.

失误与防范
1.判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否 关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇 偶性的一个必要条件.

2.判断函数f(x)是奇函数,必须对定义域内的每一个x, 均有f(-x)=-f(x).而不能说存在x0使f(-x0)=-f(x0).对 于偶函数的判断以此类推.

1.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]

上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的取值范围
是 A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) ( D)

D.(-2,2)
解析 ∵f(x)是偶函数且在 (-∞,0]上是减函数,且f(2)

=f(-2)=0,可画示意图如图所
示,由图知f(x)<0的解集为(-2,2).

2.(2009·陕西文,10)定义在R上的偶函数f(x),对
f ( x ) ? f ( x1 ) 任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 2 ? 0, x2 ? x1 则 ( )

A.f(3)<f(-2)<f(1)

B.f(1)<f(-2)<f(3)
C.f(-2)<f(1)<f(3)

D.f(3)<f(1)<f(-2)

解析

对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 则x ? 0x , 1与f(x2)-f(x1)异号,因此函 2x2 ? x1 数f(x)在[0,+∞)上是减函数.又f(x)在R上是偶函

数,故f(-2)=f(2),由于3>2>1,故有f(3)<f(-2)<f(1). 答案 A

3.设函数 f ( x) ? 解析

( x ? 1)( x ? a) f ( x) ? 是奇函数 , x 则函数g(x)=(x+1)(x+a)=x2+(a+1)x+a
应为偶函数,则g(-x)=g(x)恒成立.

( x ? 1)( x ? a) 为奇函数,则a= -1 x

.

即x2+(a+1)x+a=(-x)2+(a+1)(-x)+a
∴-(a+1)x=0对x恒成立, ∴a+1=0,即a=-1.

4.已知f(x)是R上的奇函数,且当x∈(-∞,0)时,f(x)=
-xlg(2-x),求f(x)的解析式. 解 ∵f(x)是奇函数,可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0. 当x>0时,-x<0,由已知f(-x)=xlg(2+x), ∴-f(x)=xlg(2+x),

即f(x)=-xlg(2+x) (x>0).

? x lg(2 ? x) ? ∴f(x)= ? ?? x lg(2 ? x)

即f(x)=-xlg(2+|x|) (x∈R).

( x ? 0), ( x ? 0).

a 12.已知函数 f ( x) ? x ? (x≠0,常数a∈R). x (1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
2

(2)若函数f(x)在[2,+∞)上为增函数,求实数

a的取值范围.

解 (1)当a=0时,f(x)=x2对任意

x∈(-∞,0)∪(0,+∞),
有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),∴f(x)为偶函数. a 2 当a≠0时,f ( x) ? x ? (x≠0,常数a∈R), x 若x=±1,则f(-1)+f(1)=2≠0; ∴f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1).

∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
综上所述,当a=0时,f(x)为偶函数; 当a≠0时,f(x)为非奇非偶函数.

(2)设2≤x1<x2,

a a 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x ? ? x2 ? x1 x2
2 1

x1 ? x2 ? [ x1 x2 ( x1 ? x2 ) ? a], x1 x2 要使函数f(x)在x∈[2,+∞)上为增函数,
必须f(x1)-f(x2)<0恒成立.

∵x1-x2<0,x1x2>4,
即a<x1x2(x1+x2)恒成立. 又∵x1+x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16, ∴a的取值范围是(-∞,16].

题型3函数的周期性
函数f(x)在R上恒有f(x)=f(x+1)+f(x-1),且f(0)=1,f(1)=2,求f(2012)的值. 【解析】∵f(x)=f(x+1)+f(x-1),

∴f(x+1)=f(x+2)+f(x), ∴f(x+2)=-f(x-1), ∴f(x+3)=-f(x), ∴f(x+6)=-f(x+3)=f(x), ∴f(x)是周期为6的周期函数. 又∵f(x+1)=f(x)-f(x-1), ∴f(2)=f(1)-f(0)=2-1=1. ∴f(2012)=f(6×335+2)=f(2)=1.

设函数f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=1对称,对任意的x1,
1 x2∈[0,?],都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2). 2 1 1 (1) 设f(1)=2,求f(? ),f(? ); 2 4

题型4函数奇偶性、周期性与其他知识的综合

(2) 求证:f(x)是周期函数.
x )f (? x ),x∈[0,1]. 【解析】(1)由f(x1+x2)=f(x1)f(x2),x1,x2∈[0,?],知f(x)=f(? 2 2

1 2

∴f(1)=[f(? )]2=2,f(? )=[f(? )]2≥0,f(? )=[f(? )]2≥0,
1 1 ∴f(? )=? 2,f(? )=? 4. 2 4 2

1 2

1 2

1 4

1 4

1 8

(2) 由题意知f(x)的图象关于直线x=1对称,
∴f(x)=f(2-x), ∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,∴f(-x)=f(x), ∴f(x)=f(2-x)=f(x-2),∴f(x+2)=f(x), ∴f(x)是定义在R上以2为周期的周期函数.

?


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