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福建省福州市2013届高三5月质检试题(word版)数学文


2013 年福州市高中毕业班质量检查 数学(文科)试卷
(完卷时间 120 分钟;满分 150 分)

注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,答题前,请在答题卷内填写 学校、班级、准考证号、姓名; 2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试时 间 120 分钟. 参考公式: 样本数据

x1 , x 2 , ? , x n 的标准差
s ? 1 ?? x ? x 1 n ?

锥体体积公式
V ? 1 3 Sh

?

2

? ? x2 ? x

?

2

? ? ? ? xn ? x

?

2

? ?

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式
V ? Sh

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积、体积公式
S ? 4?R
2

,V

?

4 3

?R

3

其中 R 为球的半径

其中 S 为底面面积, h 为高

第Ⅰ卷 (选择题

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题所给的四个答案中 有且只有一个答案是正确的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上. ) 1. i 是虚数单位,复数 z ? ( x ? 2 i ) i ( x ? R ) ,若 z 的虚部为 2,则 x ? A.-2 B. 2 C.-1 D.1 2. 已知集合 A ? ? x 0 ? x ? 1? , B ? ?x 0 ? x ? c ? ,若 A ? B =B ,则实数 c 的取值范围是 A. (0 ,1 ] B. [1,+ ? ) C. ( 0 ,1 ) D. (1, ?? )

3 2 3. 命题“存在 x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是
3 2 A.不存在 x ? R , x ? x ? 1 ? 0 3 2 C.对任意的 x ? R , x ? x ? 1 ? 0 3 2 B.存在 x ? R , x ? x ? 1 ? 0 3 2 D.对任意的 x ? R , x ? x ? 1 ? 0

4.已知圆 C:x2+y2=2 与直线 l:x+y+ 2 =0,则圆 C 被直线 l 所截得的弦长为 A.1 B.
3

C.2

D. 2 3

5. 已知命题“直线 l 与平面 ? 有公共点”是真命题,那么下列命题: ①直线 l 上的点都在平面 ? 内; ②直线 l 上有些点不在平面 ? 内; ③平面 ? 内任意一条直线都不与直线 l 平行.其中真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3

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6. 在正项等比数列 ? a n ? 中,已知 a 3 ? a 5 ? 64 ,则 a 1 ? a 7 的最小值为 A.64 B. 32 C. 16 D.8 7. 如图面积为 4 的矩形 ABCD 中有一个阴影部分,若往矩形 ABCD 投掷 1000 个点,落在矩形 ABCD 的非阴影部分中的点数为 400 个,试估计阴 影部分的面积为 A. 2 .2 C. 2 .6 B. 2 .4 D. 2 .8 第 7 题图

?2 x ? y ? 4 ? 8. 设动点 P ( x , y ) 满足 ? x ? 2 y ? 2 ,则 z ? x ? y 的最小值是 ?x ? 0 ?

A. 2

B. -4

C. -1

D. 4

9. 如图所示为函数 f ( x ) ? 2 sin( ? x ? ? )( ? ? 0 , 0 ? ? ? ? ) 的部分图象,其中 A,B 两点之 间的距离为 5,那么 f ( ? 1) ? . A.2 B.1 C.-1 D. ? 2

10. 已知 OA =1, OB

= 3 , OA · OB =0,点 C 在∠AOB 内,且∠AOC=60°,设
m n

OC =m OA +n OB (m,n∈R) ,则

= D.1 第 9 题图

A. 11.
x a
2 2

1 4

B.

1 3
2

C.

1 2

已 知 抛 物 线 x ? ?4 y 的 准 线 与 双 曲 线
? y b
2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的两条渐近线围成一个等腰直角





形,则该双曲线的离心率是 A. 2 B. 2 C. 5 D. 5

12.对于函数 f ( x ) 与 g ( x ) 和区间 D,如果存在 x 0 ? D ,使 f ( x 0 ) ? g ( x 0 ) ? 1 ,则称 x 0 是 函数 f ( x ) 与 g ( x ) 在区间 D 上的“友好点”.现给出两个函数 ① f (x) ? x , g (x) ? 2 x ? 3
2

② f (x) ?

x , g (x) ? x ? 2

③ f (x) ? e

?x

, g (x) ? ?

1 x

④ f ( x ) ? ln x , g ( x ) ? x ?

1 2

其中在区间 ? 0 , ? ? ? 上存在“友好点”的有 A.①② B.②③ C.③④ D.①④

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置 上. )

本卷第 2 页(共 11 页)

13.已知函数

?1, x ? N f (x) ? ? ? 0 , x ? ?Z N

,则 f ( f ( ? 2)) ?
0

.

开始 输入 x

14..已知在 ? A B C 中, ? A ? 1 2 0 , 且三边长构成公差为 2 的等差数列, 则 ? A 所对的边 a = . 15.已 知 程 序 框 图 如 右 图 所 示 , 执 行 该 程 序 , 如 果 输 入
x ? 10 ,输出 y ? 4 ,则在图中“?”处可填入的算法语句是

(写出以下所有满足条件的序号) ①x ? x ?1 ③x ? x ? 3 ②x ? x ? 2 ④x ? x ? 4
x ? 0?



_? ___


1 x y= ( ) 2

16.设数列{an}是集合{3s+3t| 0≤s<t,且 s,t∈Z}中所有 的数从小到大排列成的数列, 即 a1=4,a2=10,a3=12,a4=28,a5=30,a6=36,?, 将数列{an}中各项按照上小下大,左小右大的原则排成如下 等腰直角三角形数表: 4 10 28 ?
a 200 =

输出 y 12 30

36

结束 第 15 题图

(用 3s+3t 形式表示) .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 数列 ? a n ? 的前 n 项和为 Sn ? 2 数列,且 b1 , b 3 , b 9 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ? a n ? 与 ? b n ? 的通项公式; (Ⅱ)若 c n ?
2 ( n ? 1) b n ( n ? N *) ,求数列 { c n } 的前 n 项和 T
n

n ?1

? 2 ,数列 ? b

n

? 是首项为 a 1 ,公差为 d ( d

? 0) 的等差



18.(本小题满分 12 分) 已知平面向量 a ? ( 2 , 2 ), b ? (s in (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ) 将函数 f ( x ) 的图象上的所有的点向左平移 1 个单位长度, 得到函数 y ? g ( x ) 的图象, 若函数 y ? g ( x ) ? k 在 ( ? 2 , 4 ) 上有两个零点,求实数 k 的取值范围.
?
4 x, cos

?
4

x ) ,若函数 f ( x ) ? a ? b .

19.(本小题满分 12 分) 某校高三 4 班有 50 名学生进行了一场投篮测试,其中男生 30 人,女生 20 人.为了

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编号

性别

投篮成绩

了解其投篮成绩,甲、乙两人分别都对全 学生进行编号(1~50 号),并以不同的方 行数据抽样,其中一人用的是系统抽样, 人用的是分层抽样.若此次投篮考试的成 于或等于 80 分视为优秀,小于 80 分视为 秀,以下是甲、乙两人分别抽取的样本数 编号 2 7 12 17 22 27 32 37 42 47 性别 男 女 男 男 女 男 女 男 女 女 甲抽取的样本数据 投篮成绩 90 60 75 80 83 85 75 80 70 60

1 8 10 20 23 28 33 35 43 48

男 男 男 男 男 男 女 女 女 女

95 85 85 70 70 80 60 65 70 60

班 的 法 进 另 一 绩 大 不 优 据:

乙抽取的样本数据

(Ⅰ)观察乙抽取的样本数据,若从男同学中抽取两名,求两名男同学中恰有一名非优秀的 . 概率. (Ⅱ)请你根据乙抽取的样本数据完成下列 2× 列联表,判断是否有 95%以上的把握认为 2 . 投篮成绩和性别有关? 优秀 男 女 合计 由. 下面的临界值表供参考:
P(K
2

非优秀

合计

10

(Ⅲ)判断甲、乙各用何种抽样方法,并根据(Ⅱ)的结论判断哪种抽样方法更优?说明理

? k)

0.15 2.072
2

0.10 2.706
n(ad ? bc)
2

0.05 3.841

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

(参考公式: K

?

( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

,其中 n ? a ? b ? c ? d )

E

20.(本小题满分 12 分)
本卷第 4 页(共 11 页)
A

F

K
B

D C

°

第 20 题图

如图,已知多面体 EABCDF
FD // EA ,且 FD ?

的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,EA ? 底面 ABCD ,

1 2

EA ? 1 .

(Ⅰ )求多面体 EABCDF

的体积;

(Ⅱ )求证:平面 EAB⊥平面 EBC; (Ⅲ)记线段 CB 的中点为 K,在平面 ABCD 内过 K 点作一条直线与平面 ECF 平行,要求 保留作图痕迹,但不要求证明.

y G

M

21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:
x a
2 2

P O

x

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的离心率为

2 2

H

, 第 21 题图

直线 l :y=x+2 与原点为圆心,以椭圆 C 的短轴长为直 径的圆相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)过点 M (0, 2 ) 的直线 l1 与椭圆 C 交于 G , H 两点.设直线 l1 的斜率 k > 0 ,在 x 轴上 是否存在点 P ( m , 0 ) , 使得 ?PGH 是以 GH 为底边的等腰三角形. 如果存在, 求出实数 m 的 取值范围,如果不存在,请说明理由. 22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?
1 2 ln x ? m x , g ( x ) ? x ?

a x

(a ? 0) .

(I)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 m ?
2

1 2e
2

,对 ? x 1 , x 2 ? [ 2 , 2 e ] 都有 g ( x 1 ) ? f ( x 2 ) 成立,求实数 a 的取值范围;
2

(Ⅲ) 证明:2 ln 2 ? 2 ln 3 ? 2 ln 4 ? ? ? 2 ln n ? 4 ? ( n ? 2 ) ? 2
3 4 n

n ?1

(n ? 2 且n ? N ) .
*

2013 年福州市高中毕业班质量检查

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数学(文科)试卷参考答案及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如 果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细 则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应给分数的 一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,共 60 分. 1.B 2.B 3.C 4.C 5.A 6.C 7.B 8.B 9.A 10.D 11.A 12.C 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,共 16 分. 13.1 14. 7 15. ②、③、④
9 20 16. 3 ? 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识,考查运算求解能力和应用意识, 考查函数与方程思想,满分 12 分. 解:(Ⅰ)当 n ? 2 ,时 a S S ? ? ? , ··············· 分 ·········· ···· ? ? ? 2 2 2 ··········· ··· 2 n n n 1
n n n ? 1

又 a?1? ? ? ? ,也满足上式, S 2 2 2 2 1
1

11 ?

所以数列{ a

n

}的通项公式为 a n ? 2 . ························ 3 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ···
n

b1 ? a1 ? 2 ,设公差为 d ,则由 b1 , b 3 , b 9 成等比数列,



( 2? 2 d

2

)?

? ( 2

2 d 8 , ··························4 分 + ) ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ····

解得 d ? 0 (舍去)或 d ? 2 , ···························· 5 分 ··········· ·········· ······· ·········· ··········· ······· 所以数列 { b n } 的通项公式为 b n ? 2 n . ························ 6 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ··· (Ⅱ)解: c n ?
2 ( n ? 1) bn ? 1 n ( n ? 1)
1 1? 2

··········· ··········· ·· 8 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ···
? 1 2?3 ? 1 3? 4 ?? ? 1 n ? ( n ? 1)

数列 { c n } 的前 n 项和 T n ?
=1 ? 1 2 ? 1 2 ? 1 3 ?? ? 1 n

?

1 n ?1

··········· ··········· · 分 ······················ 10 ·········· ··········· ·

?1?

1 n ?1

?

n n ?1
. ··········· ··········· ···· 分 ························· 12 ·········· ··········· ····

18. 本题考查平面向量的数量积、 三角函数的图象与性质、 诱导公式、 解三角形等基础知识, 意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力,处理交汇性问题的能力,以及运算求解能 力,满分 12 分. 解:(Ⅰ)∵ a ? ( 2 , 2 ), b ? (s in
?
4 x, cos

?
4

x)

函数 f ( x ) ? a ?b

本卷第 6 页(共 11 页)

∴ f (x) ?

2 s in

?
4

x?

2 cos

?
4

x ·························· 1分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ·····

? 2(

2 2

s in

?
4

x?

2 2

cos

?
4

x)

? 2 s in (

?
4

x?

?
4

) ·······························3分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ·········

∴T ?

2?

?
4

?8

∴函数 f ( x ) 的最小正周期为8. ················· ················ 6分 ·········· ······

(Ⅱ)依题意将函数 f ( x ) 的图像向左平移 1 个单位后得 到函数
y ? g ( x ) ? 2 sin[

?
4

( x ? 1) ?

?
4

] ? 2 cos

?
4

x ????8 分

函 数 y ? g ( x ) ? k 在 ( ? 2,4 ) 上 有 两 个 零 点 , 即 函 数
y ? g ( x ) 与 y ? ? k 在 x ? ( ? 2, 4 ) 有两个交点,如图所示:

所以 0 ? ? k ? 2 ,即 ? 2 ? k ? 0 所以实数 k 取值范围为 ? 2 ? k ? 0 . ························· 12 分 ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ···· 19. 本题主要考查概率与独立性检验相交汇等基础知识, 考查数形结合能力、 运算求解能力 以及应用用意识,考查必然与或然思想等,满分 12 分. 解:(Ⅰ)记“两名同学中恰有一名不优秀”为事件 A,乙抽取的样本数据中,男同学有 4 名优秀,记为 a,b,c,d,2 名不优秀,记为 e,f .················· 1 分 ··········· ······ ·········· ······· 乙抽取的样本数据,若从男同学中抽取两名,则总的基本事件有 15 个, ······ 分 ····· 2 ····· 事件 A 包含的基本事件有 { a , e } , b , e } , c , e } , d , e } , { a , f } , b , f } , c , f } , d , f } , { { { { { { 共 8 个基本事件,所以
P ( A) =
8 15

. ··········· ··········· ·· 4 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ···

(Ⅱ)设投篮成绩与性别无关,由乙抽取的样本数据,得 2 ? 2 列联表如下: 优秀 男 女 合计
10(4 ? 4 ? 0 ? 2) 4?6?6?4
2

非优秀 2 4 6

合计 6 4 10 ···· 6 分 ···· ····

4 0 4

K 的观测值 k ?
2

? 4.444 ? 3.841, ·················8 分 ··········· ······ ·········· ······

所以有 95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关. ·················· 分 ··········· ······ 9 ·········· ······· (Ⅲ)甲用的是系统抽样,乙用的是分层抽样. ················ 10 分 ··········· ····· ·········· ······ 由(Ⅱ)的结论知,投篮成绩与性别有关,并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明 显差异,因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优. ············· 分 ············ 12 ·········· ·· 20.本小题主要考查直线与直线,直线与平面,平面与平面位置关系等基础知识;考查空间 想象能力,推理论证能力和运算求解能力,满分 12 分.
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解: (Ⅰ)如图,连接 ED, ∵ EA ? 底面 ABCD 且 FD // EA ,∴ FD ? 底面 ABCD ∴ FD ? AD ∵ DC ? AD , FD ? CD ? D ∴ AD ? 面 FDC ∴ V E ? FCD ?
V E ? ABCD ?
1 3

????????????????1 分
1 3 ? 1 2
8 3

1 3

AD ? S ? FDC ?
1 3

?1? 2 ? 2 ?

2 3

???2 分

E A ? S ? ABCD ?

?2?2?2 ?

····················3 分 ··········· ········· ·········· ·········

∴ V 多面体 ? V E ? FCD ? V E ? ABCD ?

10 3

. ··········· ··········· ·· 分 ··········· ·········· ·· 5 ·········· ··········· ··

(Ⅱ )∵ABCD 为正方形,∴AB⊥BC. ························ 分 ··········· ·········· ·· 6 ·········· ··········· ·· ∵EA⊥平面 ABCD,BC?平面 ABCD, ∴BC⊥EA. ··································· 分 ··········· ·········· ··········· ·· 7 ·········· ··········· ··········· ·· 又 AB∩EA=A,∴BC⊥平面 EAB. ····················· 8 分 ··········· ·········· ·········· ··········· 又∵BC?平面 EBC, ∴平面 EAB⊥平面 EBC. ····························· 10 分 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ········ (Ⅲ)取线段 DC 的中点 Q ;连接 K Q ,则直线 K Q 即为 所求.???????????????????11 分 图上有正确的作图痕迹????????????12 分

21. 本试题主要考查了点到直线的距离,直线与椭圆的位置关系,韦达定理,平面向量的应 用,均值不等式,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想和化归与转化思想 等,满分 12 分. 解: (Ⅰ)由e 2 ?
1 2
2

?

a ?b
2

2

a

2

,得a
2

2

··········· ········· ·········· ········· ? 2b , ····················2 分
2

∵直线 l :y=x+2 与圆 x +y =b 相切, ∴
2

2

2 1 ? ( ? 1)
2

? b ,解得 b ?
2 2

2 ,则 a =4. ····················· 分 ··········· ········· 4 ·········· ··········

2

故所求椭圆 C 的方程为

x

?

y

··········· ·········· ···· 5 ·········· ··········· ···· ? 1 . ··········· ··········· ···· 分

4

2

(Ⅱ)在 x 轴上存在点 P ( m , 0 ) ,使得 ?PGH 是以 GH 为底边的等腰三角形.??6 分 理由如下: 设 l1 的方程为 y ? kx ? 2 ( k ? 0 ) ,
2 ? x2 y ? ? ?1 2 2 由? 4 ,得(1 ? 2k ) x ? 8kx ? 4 ? 0 2 ? y ? kx ? 2 ?

因为直线 l1 与椭圆 C 有两个交点,所以 ? ? 6 4 k ? 1 6 (1 ? 2 k ) ? 1 6 ( 2 k ? 1) ? 0
2 2 2

本卷第 8 页(共 11 页)

所以 k ?
2

1 2

,又因为 k ? 0 ,所以 k ?

2 2

. . ··················7 分 ··········· ······· ·········· ·······

设 G ( x1 , y 1 ) , H ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ?

? 8k 1 ? 2k
2

? PG ? PH ? ( x 1 ? m , y 1 ) ? ( x 2 ? m , y 2 ) ? ( x1 + x 2 - 2 m , y 1 + y 2 ) .

= ( x1 + x 2 - 2 m , k ( x1 + x 2 ) + 4 ) ???? G H ? ( x 2 ? x1 , y 2 ? y 1 ) ? ( x 2 ? x1 , k ( x 2 ? x1 )) . ???? ???? ???? 由于等腰三角形中线与底边互相垂直,则 ( P G ? P H ) ? G H ? 0 . ·········· 分 ········· 8 ········· 所以 ( x 2 - x1 )[( x1 + x 2 ) - 2 m ] +
2

k ( x 2 - x1 )[ k ( x1 + x 2 ) + 4 ] = 0 .

故 ( x 2 - x1 )[( x1 + x 2 ) - 2 m + k ( x1 + x 2 ) + 4 k ] = 0 . 即 ( x 2 - x1 )[(1 + k )( x1 + x 2 ) + 4 k - 2 m ] = 0 因为 k ? 0 ,所以 x 2 - x1 ? 0 .所以 (1 + k )( x1 + x 2 ) + 4 k - 2 m = 0 .
?8k ?2k ?2 2 ? (1 ? k )( ) ? 4k ? 2m ? 0, 解得 m ? ? 2 2 1 1 ? 2k 1 ? 2k ? 2k k
2 2

设y ?

1 k

? 2 k ,当 k ? 1 k

2 2

时, y ? ? ?
2

1 k
2

?2 ?

2k ? 1
2

k

2

? 0,

所以函数 y ?
y ? 1 2 2 ? 2?

? 2k 在(

, ? ? ) 上单调递增,所以

2

2 2

? 2 2 , ······························ 10 分 ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ·········

所以 m ?

?2 y

?

?2 2 2

? ?

2 2

···························· 11 分 ··········· ·········· ······· ·········· ··········· ·······

(若学生用基本不等式求解无证明扣 1 分) 又因为 k ? 0 ,所以 m
?

0.

所以 ?

2 2

? m ? 0 ,.

故存在满足题意的点 P (m,0)且实数 m 的取值范围为: ?

2 2

? m ? 0 . ·····12 分 ····· ····

22. 本小题主要考查函数、导数、数列、不等式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解 能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想.满分 14 分. 解:(I) f ( x ) ?
1 2 ln x ? mx , x ? 0 ? f ? ( x ) ?
1 2x ? m ··········· ···· 分 ··········· ··· 1 ·········· ····

当 m ? 0 时 f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 在(0,+∞)单调递增. ················ 分 ··········· ···· 2 ·········· ·····

本卷第 9 页(共 11 页)

当 m>0 时,由 f ? ( x ) ? 0 得 x ? 由?
? f ?( x ) ? 0 ?x ? 0 ? f ?( x ) ? 0 ?x ? 0

1 2m

得 0<x<
1 2m

1 2m

由?

得 x>

··········· ··········· ···· 4 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ·····

综上所述:当 m ? 0 时, f ( x ) 单调递增区间为(0,+∞). 当 m>0 时, f ( x ) 单调递增区间为(0, (Ⅱ) m= 若
1 2e
2

1 2m

) ,单调递减区间为(
2

1 2m

,+∞). ·· 分 ·5 ·

, f (x) ?

1 2

ln x ?

1 2e
2

x ,对 ? x 1 , x 2 ? [ 2 , 2 e ] 都有 g ( x 1 ) ? f ( x 2 ) 成立等价

2 于对 ? x ? [ 2 , 2 e ] 都有 [ g ( x )] min ? [ f ( x )] max ····················6 分 ··········· ········· ·········· ·········

2 由(I)知在[2,2 e ]上 f ( x ) 的最大值 f ( e ) =

2

1 2

··········· ········ 分 ··········· ······· 7 ·········· ········

g ?( x ) ? 1 ?

a x
2

? 0 ( a ? 0 ), x ? [ 2 , 2 e ]
2
2

函数 g ( x ) 在[2,2 e ]上是增函数,
[ g ( x )] min =g(2)=2-

a 2

, ·································9 分 ··········· ·········· ··········· · ·········· ··········· ···········

由 2-

a 2

?

1 2

,得 a ? 3 ,又因为 a ? 0 ,∴ a ∈ ? 0 , 3 ?

所以实数 a 的取值范围为 ? 0 , 3 ? 。 ···························· 分 ··························· 10 ·········· ··········· ······ (Ⅲ)证明: f ( x ) ?
1 2 ln x ? mx , x ? 0 令 m=

1 2

,则 f ( x ) ?

1 2

ln x ?

1 2

x

由(I)知 f(x)在(0,1)单调递增, (1,+∞)单调递减,
f ( x ) ? f (1 ) ? ?
?

1 2

, (当 x=1 时取“=”号)
1 2 , ln x ? x ? 1 ··························· 11 分 ··········· ·········· ······ ·········· ··········· ······
4 n

1 2

ln x ?
2

1 2

x ? ?
3

? 2 ln 2 ? 2 ln 3 ? 2 ln 4 ? ? ? 2 ln n

< 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? 2 ? ( n ? 1 ) ··········· ··········· · 分 ······················ 12 ·········· ··········· ·
2 3 4 n

令 S= 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? 2 ? ( n ? 1) ????????①
2 3 4 n

2S= 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? 2 ? ( n ? 2 ) ? 2
3 4 4 n

n ?1

? ( n ? 1) ??②
n ?1

①-②得-S= 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ( n ? 1) ? 2
2 3 n

n ?1

? ? 4 (1 ? 2

) ? ( n ? 1) ? 2

n ?1

? S= 4 ? ( n ? 2 ) ? 2
2 3

n ?1

? 2 ln 2 ? 2 ln 3 ? 2 ln 4 ? ? ? 2 ln n ? 4 ? ( n ? 2 ) ? 2
4 n

n ?1

( n ? 2 , n ? N ) ·· 14 分 ·· ··
*

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