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2012年高考理科数学试题及答案(浙江卷WORD版)


绝密★考试结束前

2012 年普通高等学校招生全国同一考试(浙江卷) 数
至 5 页.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 选择题部分(共 50 分) 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷 和答题纸规定的位置上. 2.每小题选出答案后,

用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干 净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么
P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ?B ?

学(理科)

本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 5 页,选择题部分 1 至 3 页,非选择题部分 4

柱体的体积公式
V ? S h

如果事件 A,B 相互独立,那么 高
P ? A ? B ? ? P ? A?? P ?B ?

其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的 锥体的体积公式
V ? 1 3 S h

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 高
Pn ? k ? ? C n p
k k

其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的

?1 ? p ?

n?k

, ? k ? 0,1, 2, ? , n ?

球的表面积公式
S ? 4 πR
2

台体的体积公式
V ? 1 3 h S1 ?

?

S1 S 2 ? S 2

?

球的体积公式
V ? 4 3 πR
3

其中 S

1

, S2

分别表示台体的上底、下底面积,

h 表示台体的高 其中 R 表示球的半径 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
第1页

1.设集合 A={x|1<x<4},B={x|x 2-2x-3≤0},则 A∩( C RB)= A.(1,4) 【答案】A B.(3,4) C.(1,3) D.(1,2) 【解析】A=(1,4),B=(-3,1),则 A∩( C RB)=(1,4).

2.已知 i 是虚数单位,则 A.1-2i 【解析】
3+i 1? i

3+i 1? i

= C.2+i =1+2i. D.1+2i

B.2-i =
? 3 + i ? ?1 + i ?
2



2 + 4i 2

【答案】D

3.设 a ? R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】当 a=1 时,直线 l1:x+2y-1=0 与直线 l2:x+2y+4=0 显然平行;若直线 l1 与直线 l2 平行,则有: 【答案】A
a 1 ? 2 a ?1

,解之得:a=1 or a=﹣2.所以为充分不必要条件.

4.把函数 y=cos2x+1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是

【解析】把函数 y=cos2x+1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)得:y1= cosx+1,向左平移 1 个单位长度得:y2=cos(x—1)+1,再向下平移 1 个单位长度得:y3=cos(x—
第2页

1).令 x=0,得:y3>0;x= 【答案】B

?
2

? 1 ,得:y3=0;观察即得答案.

5.设 a,b 是两个非零向量. A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 a=λb D.若存在实数 λ,使得 a=λb,则|a+b|=|a|-|b| 【解析】利用排除法可得选项 C 是正确的,∵|a+b|=|a|-|b|,则 a,b 共线,即存在实 数 λ,使得 a=λb.如选项 A:|a+b|=|a|-|b|时,a,b 可为异向的共线向量;选项 B:若 a⊥b, 由正方形得|a+b|=|a|-|b|不成立;选项 D:若存在实数 λ,使得 a=λb,a,b 可为同向的共线 向量,此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立. 【答案】C

6.若从 1,2,2,?,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有 A.60 种 B.63 种 C.65 种 D.66 种

【解析】1,2,2,?,9 这 9 个整数中有 5 个奇数,4 个偶数.要想同时取 4 个不同的数其和 为偶数,则取法有: 4 个都是偶数:1 种; 2 个偶数,2 个奇数: C 4 个都是奇数: C
4 5 2 5

C 4 ? 60
2

种;

? 5

种.

∴不同的取法共有 66 种. 【答案】D

7.设 S n 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前 n 项和,则下列命题错误的是 .. A.若 d<0,则数列{S n}有最大项 B.若数列{S n}有最大项,则 d<0 C.若数列{S n}是递增数列,则对任意的 n ? N*,均有 S n>0 D.若对任意的 n ? N*,均有 S n>0,则数列{S n}是递增数列 【解析】选项 C 显然是错的,举出反例:—1,0,1,2,3,?.满足数列{S n}是递增数列,但
第3页

是 S n>0 不成立. 【答案】C

8.如图,F1,F2 分别是双曲线 C:

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a,b>0)的左右焦点,B

是虚轴的端点,直线 F1B 与 C

的两条渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M.若|MF2|=|F1F2|, 则 C 的离心率是 A. C.
2 3 3
2

B. D.

6 2
3

【解析】如图:|OB|=b,|O F1|=c.∴kPQ= ,kMN=﹣ .
c c
b ? ? y= c ( x + c ) ac ? x. ? 由 , 得: Q( a c?a ? y= b x ? a ? b ? ? y= c ( x + c ) ? , ); ? 由 , c?a ? y= - b x ? a ?

b

b

直线 PQ 为: y= (x+c), 两条渐近线为: y=
c ? ac c? a

b

b

bc

得:P(



bc c? a

).∴直线 MN 为:y-
c
2 3 2

bc c? a

=﹣ (x-
c

b

? ac c? a

),
c
2 3 2

令 y=0 得:xM= =
6 2

c ?a

.又∵|MF2|=|F1F2|=2c,∴3c=xM=

c ?a

,解之得: e

2

?

c a

2 a

?

3 2

,即 e



【答案】B 9.设 a>0,b>0 A.若 2 B.若 2 C.若 2
a

? 2 a ? 2 ? 3b
b

,则 a>b ,则 a<b ,则 a>b ,则 a<b
b

a

? 2 a ? 2 ? 3b
b

a

? 2 a ? 2 ? 3b
b

D.若 2

a

? 2 a ? 2 ? 3b
b
a

【解析】若 2

? 2 a ? 2 ? 3b

,必有 2

a

? 2 a ? 2 ? 2b
b

.构造函数: f ? x ? ?

2 ? 2x
x

,则 f ? ? x ? ?

2 ? ln 2 ? 2 ? 0
x

恒成立,故有函数 f ? x ? ? 【答案】A

2 ? 2x
x

在 x>0 上单调递增,即 a>b 成立.其余选项用同样方法排除.

10.已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 着过程中,

2

.将 ? ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻着,在翻

第4页

A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置,三直线“AC 与 BD”“AB 与 CD”“AD 与 BC”均不垂直 , , 【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着,观察在翻着过程,即可知选项 C 是正确的. 【答案】C 2012 年普通高等学校招生全国同一考试(浙江卷) 数 学(理科) 非选择题部分(共 100 分) 注意事项: 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上. 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 11.已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示, 棱锥的体积等于___________cm3. 【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直 形,右侧面也是一直角三角形.故体积等于 【答案】1 角三角
1 2 ? 3 ? 1? 2 ? 1 3 ?1.

分. 则该三

12.若程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 ______________. 【解析】T,i 关系如下图: T i 1 2
1 120 1 2 1 6
1 24

1 120

3

4

5

6

【答案】

13. 设公比为 q(q>0)的等比数列{a n}的前 n 项和为{S n}. 若
第5页

S 2 ? 3 a 2 ? 2 , S 4 ? 3 a 4 ? 2 ,则

q=______________. ,q 表示的式子.
2 2

【解析】将 S 即?
q ?

2

? 3 a 2 ? 2 , S 4 ? 3 a 4 ? 2 两个式子全部转化成用 a 1

? a1 ? a1 q ? 3 a1 q ? 2 ? a1 ? a1 q ? a1 q ? a1 q ? 3 a1 q ? 2
2 3 3

,两式作差得: a

1

q ? a1 q ? 3 a1 q q ? 1) ,即: 2 q ? q ? 3 ? 0 ,解之得: (
2 3

3 2

o r q ? ?1 (舍去). 3 2

【答案】

14.若将函数 f ? x ? ?
f

x

5

表示为
2 5

? x?

? a 0 ? a1 ? 1 ? x ? ? a 2 ? 1 ? x ? ? ? ? a 5 ? 1 ? x ?

其中 a , a , a ,?, a 为实数,则 a =______________.
0 1 2 5 3

【解析】法一:由等式两边对应项系数相等.
? a5 ? 1 ? 即: ? C 54 a 5 ? a 4 ? 0 ?C 3a ? C 1a ? a ? 0 4 4 3 ? 5 5

?

a3 ? 10



法二:对等式:
2

f

? x?

? x ? a 0 ? a1 ? 1 ? x ? ? a 2 ? 1 ? x ? ? ? ? a 5 ? 1 ? x ?
5 2
2

5

两边连续对 x 求导三次得:
3 3

60 x ? 6 a 3 ? 24 a 4 (1 ? x ) ? 60 a 5 (1 ? x )

,再运用赋值法,令 x ? ? 1 得: 6 0 ? 6 a ,即 a

? 10



【答案】10
??? ???? ?

15.在 ? ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则 A B ? A C =______________. 【解析】此题最适合的方法是特例法. 假设 ? ABC 是以 AB=AC 的等腰三角形,如图, AM=3,BC=10,AB=AC= cos∠BAC=
34 ? 34 ? 10 2 ? 34 ? 29 34
34


??? ???? ? A B ? A C co s ? B A C ? 2 9

. AB ? AC =

??? ???? ?

【答案】29

16.定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离.已知曲线 C1:y=x
第6页

2

+a 到直线 l:y=x 的距离等于 C2:x 2+(y+4) 2 =2 到直线 l:y=x 的距离,

则实数 a=______________. 【解析】C2:x 2+(y+4) 2 =2,圆心(0,—4),圆心到直线 l:y=x 的距离为: d 故曲线 C2 到直线 l:y=x 的距离为 d ? ?
d ?r ? d ? 2x ? 0
1 ? 4 2

?

0 ? (?4) 2

? 2 2



2 ?

2


1 2

另一方面:曲线 C1:y=x 2+a,令 y ? ?
1

,得: x ?

,曲线 C1:y=x 2+a 到直线 l:y=x 的
7 4

距离的点为( ,
2

1

1 4

?(

1 4 2

? a)

? a ? a ?

? a ), d ? ?

2 ?

2



【答案】

7 4

17.设 a ? R,若 x>0 时均有[(a-1)x-1]( x 2-ax-1)≥0,则 a=______________. 【解析】本题按照一般思路,则可分为一下两种情况: (A) ? (B) ?
? ( a-1) x-1 ? 0 ? x - a x-1 ? 0
2 2

, 无解; , 无解.

? ( a-1) x-1 ? 0 ? x - a x-1 ? 0

因为受到经验的影响,会认为本题可能是错题或者解不出本题.其实在 x>0 的整个区间上,我 们可以将其分成两个区间(为什么是两个?),在各自的区间内恒正或恒负.(如下答图) 我们知道:函数 y1=(a-1)x-1,y2=x 2-ax-1 都过定点 P(0,1). 考查函数 y1=(a-1)x-1:令 y=0,得 M( 考查函数 y2=x 2-ax-1:显然过点 M( 舍去 a
? ? 2

1 a ?1

,0),还可分析得:a>1;
a ? ?1? 0 ? ? a ?1 ? a ?1? 1
2

1 a ?1

,0),代入得:? ?

,解之得:a

? ?

2



,得答案: a ?

2



第7页

【答案】 a ?

2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本小题满分 14 分)在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cosA= ,
3 2

sinB=

5

cosC.

(Ⅰ)求 tanC 的值; (Ⅱ)若 a=
2

,求 ? ABC 的面积.

【解析】本题主要考察三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角形面积求法等知识点。 (Ⅰ)∵cosA= >0,∴sinA=
3 2

1 ? co s A ?
2

5 3

, sinCcosA



5

cosC = sinB = sin(A + C) = sinAcosC + =
5 3

cosC+ sinC.
3
5

2

整理得:tanC=


5 6

(Ⅱ)由图辅助三角形知:sinC= 又由正弦定理知: 故c ?
3

a sin A

?

c sin C



. (1)
b ?c ?a
2 2 2

对角 A 运用余弦定理:cosA= 解(1) (2)得: b ?
3

?

2 3

2bc

. (2)

or b=
5 2

3 3

(舍去).

∴ ? ABC 的面积为:S=


第8页

【答案】(Ⅰ)

5

;(Ⅱ)

5 2



19.(本小题满分 14 分)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球的 2 分,取出 一个黑球的 1 分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为 取出 3 球所得分数之和. (Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)求 X 的数学期望 E(X). 【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点。 (Ⅰ) X 的可能取值有:3,4,5,6.
P ( X ? 3) ? C5 C9
1 3 3

?
2

5 42 ?

; ;

P ( X ? 4) ?

C5 C4 C9
3 3 3

2

1

? 2

20 42

;

P ( X ? 5) ?

C5C 4 C9
3

15 42

P(X ? 6 ? )

C4 C9

?



42

故,所求 X 的分布列为 X P 3
5 42

4
20 42 ? 10 21 15 42

5
? 5 14 2 42

6
? 1 21

(Ⅱ) 所求 X 的数学期望 E(X)为: E(X)= ? i ? P ( X
i? 4 6

? i) ?

91 21

. .

【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)

91 21

20.(本小题满分 15 分)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面是边长为 2 且 PA⊥平面 ABCD,PA= 2
6

3

的菱形,且∠BAD=120°,

,M,N 分别为 PB,PD 的中点.

(Ⅰ)证明:MN∥平面 ABCD; (Ⅱ) 过点 A 作 AQ⊥PC,垂足为点 Q,求二面角 A—MN—Q 的平面角的余弦值. 【解析】本题主要考察线面平行的证明方法,建系求二面角等知识点。 (Ⅰ)如图连接 BD. ∵M,N 分别为 PB,PD 的中点, ∴在 ? PBD 中,MN∥BD. 又 MN ? 平面 ABCD,
第9页

∴MN∥平面 ABCD; (Ⅱ)如图建系: A(0,0,0),P(0,0, 2 N(
3 6

),M( ?

3 2

, ,0),
2

3

,0,0),C(

3

,3,0).
? (x ? ??? ? 3, y ? 3, z ),C P ? ( ? 3, 3, 6 ) ? 2

设 Q(x,y,z),则 C Q ∵ CQ
????

????

. .
2 6 3 )

??? ? ? ? C P ? ( ? 3?, 3?, 6 ? ) ? 2
??? ? ? CP ???? ??? ? OQ ? CP ? 0

,∴ Q (
? 1 3

3?

3?, ? 3?, 6 ? ) 3 2

由 OQ

????

?

,得: ?
?



即: Q (

2 3 3

, 2,



对于平面 AMN:设其法向量为 n ? ( a, b, c ) . ∵ AM
???? ? ? (? ???? 3 , , 0 ), A N = ( 3,0 ,0 ) . 2 2 3

???? ? ? ? AM ? n ? 0 ? 则 ? ???? ? ? AN ? n ? 0 ?

?

? 3 3 a? b ? 0 ?? 2 2 ? ? ? 3a ? 0

?

? 3 ?a ? 3 ? 1 ? ?b ? 3 ? ?c ? 0 ? ?
3,1,?



∴n ?

?

(

3 3



1 3

,0 )



同理对于平面 AMN 得其法向量为 v ? (

?

6)



记所求二面角 A—MN—Q 的平面角大小为 ? ,
? ? n?v 则 co s ? ? ? ? ? n ? v 10 5


10 5

∴所求二面角 A—MN—Q 的平面角的余弦值为 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
10 5





21.(本小题满分 15 分)如图,椭圆 C:
1 2

x a

2 2

+

y b

2 2

? 1 (a

>b>0)的离心 过原点 O 的直 OP 平分.

率为 ,其左焦点到点 P(2,1)的距离为

10

.不

线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 求 ? ABP 的面积取最大时直线 l 的方程. 【解析】

第 10 页

(Ⅰ)由题: e ?

c a

?

1 2

; (1)
? (2 ? c ) ? 1 ?
2 2

左焦点(﹣c,0)到点 P(2,1)的距离为: d 由(1) (2)可解得: a
2

10

. (2)

? 4, b ? 3, c ? 1 .
2 2

∴所求椭圆 C 的方程为:

x

2

+

y

2

?1.

4

3

(Ⅱ)易得直线 OP 的方程:y= x,设 A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中 y0= x0.
2 2

1

1

∵A,B 在椭圆上,
? ? ? ∴? ? ? ? xA 4 xB 4
2 2

+

yA 3 yB 3

2

?1
2

? ?1

k AB ?

yA ? yB x A ? xB

? ?

3 x A ? xB 4 yA ? yB

? ?

3 2 x0 4 2 y0

? ?

3 2



+

设直线 AB 的方程为 l:y=﹣
2 ? x2 y + ?1 ? ? 代入椭圆: ? 4 3 ? y= - 3 x ? m ? ? 2

3 2

x?m

(m≠0),

?

3 x ? 3m x ? m ? 3 ? 0
2 2



显然 ? ∴﹣

? (3 m ) ? 4 ? 3( m ? 3) ? 3(12 ? m ) ? 0
2 2 2



12

<m<
A

12

且 m≠0.
A

由上又有: x ∴|AB|=

? xB

=m, y
A

? yB



m ?3
2


2

3

1 ? k AB

|x

? xB

|=

1 ? k AB

( x A ? xB ) ? 4 x A xB
?3 ? 1 ? m 1 ? k AB
2



1 ? k AB

4?

m 3

2



∵点 P(2,1)到直线 l 的距离为: d ∴S ? ABP= d|AB|= |m+2|
2 2 1 1

?

?

m? 2 1 ? k AB



4?

m 3


1

当|m+2|=

4?

m 3

2

,即 m=﹣3
3 2 x? 1 2

or m=0(舍去)时,(S ? ABP)max= .
2

此时直线 l 的方程 y=﹣ 【答案】 (Ⅰ)
x
2


3 2 x? 1 2

+

y

2

? 1 ;(Ⅱ)

4

3

y=﹣



22.(本小题满分 14 分)已知 a>0,b ? R,函数 f ? x ? ? (Ⅰ)证明:当 0≤x≤1 时,

4 ax ? 2 bx ? a ? b
3



第 11 页

(ⅰ)函数 f ? x ? 的最大值为|2a-b|﹢a; (ⅱ)
f

? x ? +|2a-b|﹢a≥0;

(Ⅱ) 若﹣1≤ f ? x ? ≤1 对 x ? [0,1]恒成立,求 a+b 的取值范围. 【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综合运用能力。 (Ⅰ) (ⅰ)
2 f ? ? x ? ? 12 ax ? 2b

. >0 在 0≤x≤1 上恒成立,
4 a ? 2b ? a ? b ? 3a ? b

当 b≤0 时,

2 f ? ? x ? ? 12 ax ? 2b

此时 f ? x ? 的最大值为: f ? 1 ? ? 当 b>0 时,
2 f ? ? x ? ? 12 ax ? 2b

=|2a-b|﹢a;

在 0≤x≤1 上的正负性不能判断,

此时 f ? x ? 的最大值为:
? b ? a, b ? 2 a f m ax ? x ? ? m ax { f (0 ), (1) ? m ax { ( b ? a ), ( 3 a ? b )} ? ? f } b ? 3 a ? b, ? 2 a

=|2a-b|﹢a;

综上所述:函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a; (ⅱ) 要证 f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0,即证 g ? x ? =﹣ f ? x ? ≤|2a-b|﹢a. 亦即证 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a, ∵ g ? x? ?
? 4 ax ? 2 bx ? a ? b
3

,∴令 g ? ? x ? ?
2

? 12 ax ? 2b ? 0
2

?

x ?

b 6a



当 b≤0 时, g ? ? x ? ?

? 12 ax ? 2b

<0 在 0≤x≤1 上恒成立,
a ? b ? 3a ? b

此时 g ? x ? 的最大值为: g ? 0 ? ? 当 b<0 时, g ? ? x ? ?
g m ax ? x ? ? m ax { g ( b 6a

=|2a-b|﹢a;

? 12 ax ? 2b
2

在 0≤x≤1 上的正负性不能判断,

), g 1) ( }

4 ? m ax { b 3

b 6a

? a ? b, b ? 2 a }

?4 b b ? a ? b, ? 6 a ? b ? ?3 6a b ? 6a ? b ? 2 a, ?

≤|2a-b|﹢a;
第 12 页

综上所述:函数 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a. 即 f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0 在 0≤x≤1 上恒成立. (Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a, 且函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最小值比﹣(|2a-b|﹢a)要大. ∵﹣1≤ f ? x ? ≤1 对 x ? [0,1]恒成立, ∴|2a-b|﹢a≤1. 取 b 为纵轴,a 为横轴. 则可行域为: ? 作图如下: 由图易得:当目标函数为 z=a+b 过 P(1,2)时,有 z ∴所求 a+b 的取值范围为: ? ? ? ,3 ? .
m ax

?b ? 2a ?b ? a ? 1

和?

?b ? 2a ? 3a ? b ? 1

,目标函数为 z=a+b.

? 3



【答案】(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ) ? ? ? ,3 ? .

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