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2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(教、学案)


临清三中数学组 编写人:王晓燕

审稿人:刘桂江 李怀奎

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
一、教材分析 本课的地位及作用: 平面向量数量积的坐标表示, 就是运用坐标这一量化工具表达向量 的数量积运算,为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。它把向量的数 量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来,是全章重

点之一。 二.教学目标 1.学会用平面向量数量积的坐标表达式,会进行数量积的运算。理解掌握向量的模、 夹角等公式。能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题。 2. (1)通出问题,把问题的求解与探究贯穿整堂课,学生在自主探究中发现了结论 (2)通过对向量平行与垂直的充要条件的坐标表示的类比,教给了学生类比联想的 记忆方法。 3.经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程,体验在此基础上探究发现 向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣,培养学生的探究能力、创新精神、 三、教学重点难点 重点:平面向量数量积的坐标表示. 难点:向量数量积的坐标表示的应用. 四、学情分析 此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算, 但数量积是用 长度和夹角这两个概念来表示的,应用起来不太方便,如何用坐标这一最基本、最常用的工 具来表示数量积,使之应用更方便,就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。因此,本节 内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点” 。所以,本节课采取 以学生自主完成为主, 教师查漏补缺的教学方法。 因此结合中学生的认知结构特点和学生实 际。我将本节教学目标确定为:1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式,会进行数量积 的运算。理解掌握向量的模、夹角等公式。能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题 2、 经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程,体验在此基础上探究发现向量的 模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣,培养学生的探究能力、创新精神。 五、教学方法 1.实验法:多媒体、实物投影仪。 2.学案导学:见后面的学案。 3.新授课教学基本环节:预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精 讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习。 六、课前准备 1.学生的学习准备:预习学案。 2.教师的教学准备:多媒体课件制作,课前预习学案,课内探究学案,课后延伸拓展
1

学案。 七、课时安排:1 课时 八、教学过程 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。 (二)情景导入、展示目标。 创设问题情景,引出新课 ⑴a 与 b 的数量积 的定义?⑵向量的运算有几种?应怎样计算? 出示学习目标:1、理解掌握平面向量数量积的坐标表示、向量的 夹角、模的 公式.2、 两个向量垂直的坐标表示 3、 运用两个向量的数量积的坐标表示初步解决处理有关长度垂直 的几个问题. (三)合作探究,精讲点拨 探究一:已知两个非零向量 a=(x1,x2),b=(x2,y2),怎样用 a 与 b 的坐标表示数量积 a·b 呢? 2 2 a·b=(x1,y1)·(x2,y2)=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i +x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j =x1x2+y1y2 即:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 师生:学生回答提出的问题,教师点评 学生:合作探索提出的问题。 教师:巡视辅导学生,解决遇到的困难,估计学生对正交单位基向量 i,j 的运算可能有 2 2 困难,点拨学:i =1,j =1,i·j=0 师生:学生展示探究结果,教师给予点评 设计意图:回顾平面向量数量积的意义,为探究数量积的坐标表示做好准备。 创设情境激发学生的学习兴趣,出示学习目标使学生了解本课的任务 问题引领,培养学生的探索研究能力 探究二:探索发现向量的模的坐标表达式 若 a=(x,y),如何计算向量的模|a|呢?
? a ? x ? y
2 2

若 A(x1,x2),B(x2,y2),如何计算向量 AB 的模两点 A、B 间的距离呢?
AB ? ( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y 1 ) ,
2 2

教师提出问题学生:独立思考探究合作交流让学生展示探究的结论,教师总结 设计意图:在向量数量积的坐标表示基础上,探索发现向量的模 例 1、 如图, 以原点和 A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB, 使?B = 90?, 求点 B 和向量 AB 的坐标. 解:设 B 点坐标(x, y),则 OB = (x, y), AB = (x?5, y?2) ∵ OB ? AB ∴x(x?5) + y(y?2) = 0 即:x + y ?5x ? 2y = 0
2 2

2

又∵| OB | = | AB |

∴x + y = (x?5) + (y?2) 即:10x + 4y = 29
2 2 2 2

? 7 3 ? ?x ? ?x2 ? y 2 ? 5x ? 2 y ? 0 ? x2 ? 2 ? 1 2 或 由? ? ? ? 3 7 ?10 x ? 4 y ? 29 ? y1 ? ? ? y2 ? ? 2 2 ? ?

∴B 点坐标 ( , ?
2

7

3 2

) 或(

3 7 7 3 3 7 , ) ; AB = ( ? , ? ) 或 ( ? , ) 2 2 2 2 2 2

评述:用向量的垂直关系的坐标表示作为此题的突破点。 变式:已知 a + b = 2i-8 j,a ? b = ? 8i+16 j, 则 a ?b 探究三:向量夹角、垂直、坐标表示 设 a,b 都是非零向量, a=(x1,y1),b(x2,y2),如何判定 a⊥b 或计算 a 与 b 的夹角<a,b>呢? 1、向量夹角的坐标表示
cos ? ?
2

? ?

? ??

?

?

?

? ?

x1 x 2 ? y 1 y 2 x1 ? y 1
2

?

x2

2

? y2

2

2、a⊥b<=>a·b=0<=>x1x2+y1y2=0 3、a∥b <=>X1y2-x2y1=0 学生:独立思考、探究,合作交流,师生:让学生展示探究的结论,教师总结 提醒学生 a⊥b 与 a∥b 坐标表达式的不同 设计意图:在向量数量积的坐标表示基础上两向量垂直,两向量夹角的坐标表达式 例 2 在△ABC 中, AB =(2, 3), AC =(1, k),且△ABC 的一个内角为直角,求 k 值. 解:当 A = 90?时, AB ? AC = 0,∴2×1 +3×k = 0 ∴k = ?
3 2

当 B = 90?时, AB ? BC = 0, BC = AC ? AB = (1?2, k?3) = (?1, k?3) ∴2×(?1) +3×(k?3) = 0 ∴k =
11 3

当 C = 90?时, AC ? BC = 0,∴?1 + k(k?3) = 0 评述:熟练应用向量的夹角公式。

∴k =

3? 2

13

, 变式:已知, a ? (1,2), b ? ( ? 3,2) 当 k 为何值时, (1) k a ? b 与 a ? 3b 垂直?

?

?

?

?

?

?

(2) k a ? b 与 a ? 3b 平行吗?平行时它们是同向还是反向?

?

?

?

?

3

(四)反思总结,当堂检测。 教师组织学生反思总结本节课的主要内容,并进行当堂检测。 设计意图:引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。 (课堂实录) (五)发导学案、布置预习。 我们已经学习数量积的坐标运算。模。夹角。下节学习平面向量应用举例这节课后大家可以 先预习这一部分, 着重体会向量是一种处理几何问题。 物理问题的工具增强应用意识提高解 题能力 九、板书设计 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 (一)平面向量数量积的坐标表示 二、平面向量的模 例 1: 1、 概念强调 (1)记法 例 2: (2) “规定” 三、平面向量数量积的夹角

十、教学反思 1.教学方法:结合本节教材浅显易懂,又有前面平面向量的数量积和向量的坐标表示 等知识作铺垫的内容特点, 兼顾高一学生已具备一定的数学思维能力和处理向量问题的方法 的现状,我主要采用“诱思探究教学法” ,其核心是“诱导思维,探索研究” ,其教学思想是 “教师为主导,学生为主体,训练为主线的原则,为此,我通过精心设置的一个个问题,激 发学生的求知欲,积极的鼓励学生的参与,给学生独立思考的空间,鼓励学生自主探索,最 终在教师的指导下去探索发现问题,解决问题。在教学中,我适时的对学生学习过程给予评 价,适当的评价,可以培养学生的自信心,合作交流的意识,更进一步地激发了学生的学习 兴趣,让他们体验成功的喜悦。 2.教学手段:利用多媒体辅助教学,可以加大一堂课的信息容量,极大提高学生的学 习兴趣。 十一、学案设计(见下页)

4

临清三中数学组 编写人:王晓燕

审稿人:刘桂江 李怀奎

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
课前预习学案 一、预习目标: 预习平面向量数量积的坐标表达式, 会进行数量积的运算。 了解向量的模、 夹角等公式。 二、预习内容: 1.平面向量数量积(内积)的坐标表示 2.引入向量的数量积的坐标表示,我们得到下面一些重要结论: (1)向量模的坐标表示: 能表示单位向量的模吗? (2)平面上两点间的距离公式:

向量 a 的起点和终点坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2) AB=
(3)两向量的夹角公式 cos? = 3. 向量垂直的判定(坐标表示)

4.向量平行的判定(坐标表示)

三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一、学习目标 学会用平面向量数量积的坐标表达式,会进行数量积的运算。掌握两个向量共线、垂直 的几何判断,会证明两向量垂直,以及能解决一些简单问题. 学习重难点:平面向量数量积及运算规律.平面向量数量积的应用 二、学习过程 (一)创设问题情景,引出新课 a 与 b 的数量积 的定义?⑵向量的运算有几种?应怎样计算?

5

(二)合作探究,精讲点拨 探究一:已知两个非零向量 a=(x1,x2),b=(x2,y2),怎样用 a 与 b 的坐标表示数量积 a·b 呢? 2 2 a·b=(x1,y1)·(x2,y2)=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i +x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j =x1x2+y1y2

教师:巡视辅导学生,解决遇到的困难,估计学生对正交单位基向量 i,j 的运算可能有 2 2 困难,点拨学生:i =1,j =1,i·j=0 探究二:探索发现向量的模的坐标表达式

若 a=(x,y),如何计算向量的模|a|呢?

若 A(x1,x2),B(x2,y2),如何计算向量 AB 的模两点 A、B 间的距离呢?

例 1、 如图, 以原点和 A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB, 使?B = 90?, 求点 B 和向量 AB 的坐标.

变式:已知 a + b = 2i-8 j,a ? b = ? 8i+16 j, 则 a ?b

? ?

? ??

?

?

?

? ?

6

探究三:向量夹角、垂直、坐标表示 设 a,b 都是非零向量, 1,y1),b(x2,y2),如何判定 a⊥b 或计算 a 与 b 的夹角<a,b>呢? a=(x

1、向量夹角的坐标表示

2、a⊥b<=>

<=>x1x2+y1y2=0

3、a∥b <=>X1y2-x2y1=0

例 2 在△ABC 中, AB =(2, 3), AC =(1, k), 且△ABC 的一个内角为直角, k 值. 求

, 变式:已知, a ? (1,2), b ? ( ? 3,2) 当 k 为何值时, (1) k a ? b 与 a ? 3b 垂直?

?

?

?

?

?

?

(2) k a ? b 与 a ? 3b 平行吗?平行时它们是同向还是反向?

?

?

?

?

(三)反思总结

(四)当堂检测 1.已知|a|=1,|b|= 2 ,且(a-b)与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角是( A.60° )

B.30°

C.135°
?
3

D.45° )

2.已知|a|=2,|b|=1,a 与 b 之间的夹角为

,那么向量 m=a-4b 的模为(

A.2

B.2 3

C.6

D.12

7

3、a=(5,-7),b=(-6,-4),求 a 与 b 的 数量积

4、设 a=(2,1),b=(1,3),求 a·b 及 a 与 b 的夹角

5、已知向量 a=(-2,-1),b=(λ ,1)若 a 与 b 的夹角为钝角,则λ 取值范围是多少?

课后练习与提高 1.已知 a ? ( ? 4, 3), b ? (5, 6 ) 则 3 a ? 4 a ? b = ( A.23 B.57 C.63 D.83 )
? ?

?

2

? ?



? ? ? ?? 2.已知 a ? 3,4 ? ,b = ? ? 5,1 2 ? 则 a与 b 夹角的余弦为(

D. 1 3 5 ? 65 ? ? ? ? ? 3. a = ? 2,3 ? ,b = ( ? 2,4 ), 则 a + b ? a -b = __________。 ? ? ? ? 3 4.已知 a = ? 2 ,1 ? ,b = ? ?, ? 且 a ? b 则 ? = __________。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 a ? 3b ? a + 2 b = _______ 5. a = ( ? 4,7 );b = (5 ,2 ) 则 a ? b = _______ a = _ _ _ _ _ ? 6.与 a = ? 3,4 ? 垂直的单位向量是__________

A.

63

B. 6 5

C.

13

?

??

?

?

??

?

5 5 4 3 4 3 ( D. , ) 或 ( - ,- ) 5 5 5 5 ? ? ? 7. a = (2 ,3 ),b = (-3 ,5 ) 则 a 在 b 方向上的投影为_________

( A. ,

4 3

)

B.( ?

3 ? ) 5, 5

4

4 3 4 3 C .( , ) 或 ( - , ) ? 5 5 5 5

8.A(1,2),B(2,3),C(2,0)所以 ? A B C 为( A.直角三角形 C.钝角三角形 B.锐角三角形 D.不等边三角形

)

9.已知 A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D.(4.6)则四边形 ABCD 为( A.正方形 B.菱形 C.梯形 D. 矩形



10.已知点 A(1,2) ,B(4,-1),问在 y 轴上找点 C,使∠ABC=90?若不能,说明理由; 若能,求 C 坐标。

8

9

10


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