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对一道解析几何例题的探究教学


20 年 第4 卷 第6 07 6 期

数学通报

对一道解析几何例题的探究教学
朱胜强
( 南京外国语学校 200) 108

前苏联数学教育家奥加涅相在《      中学数学教学 法》 中指出:必须重视, “ 很多习题潜在着进一步扩 展其数学功能、 发展功能和教育功能的可能性, 在例题或习题课的教学中,      准确把握问题特 征, 引导学生拓宽视野, 探究问题, 将问题恰当拓 展、 延伸, 可以较好地发挥例题或习题的潜在功能, 达到举一反三、 触类旁通的效果. 下面以人教版高 中 数学第二册( 第七章第七节“ 上) 圆的一般方程” 中例 5 为例, 谈一点不成熟的做法, 以供大家参考. 例 已      知一曲线是与两定点O00,(, (, A 30 ) )
此 尚 幽 f 乙刀 几 子

() 值与圆      的大小有什么必然的 4比 联系吗?
如果留足够的时间让学生思考发问,      相信学生 还会提出 更多有价值的问题. 对学生提出的问题又如何处理呢?      有些可在课

堂上进一步探究下去, 如问题()()()对于问 1,3,4.
题()若在课堂上充分展开, (, 2 则将耗费大量时间, 且难以让学生透彻理解. 但对提出这样问题的同学

则应充分鼓励. 事实上, 从知识间的相互关联来看,
以后还会研究动点与两定点间距离之和或之差的 绝对值为定值的情形. 因此, 可给学生适当的提示, 让感兴趣的同学在课外作一些探究. 这样处理, 学 生的收获也就不会仅限于本课之中了.

。* 二 , 、 。 ‘ : ,1 .

乙                             

的点的轨迹, 求此曲线的方程, 并画

出曲线. 答案:x  ) +犷 4      12  =  方程的曲线是以 ( +  . C一10 为圆心, 为半径的圆. ( ,) 2 笔者曾多次讲授这一例题,      始终觉得此例仅用 作对求曲线方程及圆的一般方程知识的巩固, 有一 种意犹未尽的感觉. 特别是两点与圆所形成的一种 特殊关系, 究竟是无意而为之, 还是存在着什么必 然的因果关系呢? 1 引导学生提出问题 我想教师教有疑惑,      学生学也一定会产生疑惑. 为何不让学生一吐为快呢? 当代美国著名数学家哈 尔莫斯(.  a o) PR  l s 曾说:问题是数学的心脏. Hm “ ” 爱因斯坦也指出: “ 提出问题比 解决问题更重要. 而 ”

2 探究例题所组含的一般规律 从教学实践看,      问题( 是绝大多数学生会问 1 ) 的问 且可放手让学生来解决. 题、
解 以直线 月      刀为 x 轴, A为原点建立直角坐标 系. B点坐标为(, , 设 (0 P b) 为轨迹上任一点, 坐标为
( ,  xY. ) 山}A } 、 P 。

IPA IPB 触

出 下下7 丁 = Az n R
I  D       r  I

/十犷, x 2
( 一b2 x )+犷

图1

II , / +Y / X
( b2 x一 ) +

任何学科中的发现无不都是从问题开始的. 于是在 例题讲解完毕后, 试着让学生提出问题. 果然学生提
出了不少问题. 概括一下, 主要有以下几条: ()      1 将例题中的比值改为 AA 0 , ( > )轨迹又是 什么呢?

化简得
/ ,


1 1一 二 J - 以 一 二 ) 一 L z十 扩 = 0(关) 下 X 十 下 . Y 0 t a
人一 , 、 A-/-

1\ 。 ./ ,

1\ 。

所以, = 1 方程为 当几 时,

其轨迹为线

()      2 将例题中的距离之比改为距离之积, 轨迹
又会是什么呢?

段月 垂直平分线; 刀的 当久01      方程可化为 : 时,
1 'b \ 2  2: , Ab 2  2 声 州 v 牛 下布 一 二 一一 下 戈下 / 一 L- 1 " 人 一 ) A一1 2

()      3若已知一圆, 是否一定存在这样的两点, 使
圆上任一点到这两点的距离之比为同一个常数呢?

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方的迹以( , 心 径    为点   圆, ? 程轨 恶 0 半 ) 为
由此,      可得到下列结论: 结论 平面内与两定点距离之比为不等于 1      的正数的点的轨迹是圆. 且这两点一个在圆内, 另 一个在圆外, 圆心与这两点共线. 这也就是说,      当我们知道两个定点及一个不等

一A的 A {. 2圆 - b 1

于1 的正数时, 便可以惟一地确定一个圆.
课本例题正是一般结论下的一种特殊形式.     

中一点确定了, 另一点及相应的比值亦随之而定. 4 揭示问题的本质. 探究应用 虽然探究的结果并没      有让人感到十分振奋, 但我 们却发现了圆内的点与圆 外的点的一种对应关系. 由于圆心      C的坐标为 (, , t )N点的坐标为(,  0 b0 , )  因此 I/ } t, N } A ={ 1 } = E U 图2   
I 一t b I

3 逆向探究 充分挖掘内在联系 在平面几何中,      我们知道, 若圆已知, 则圆心及 半径亦随之而定. 因此, 有学生想到问题() 3 当在情 理之中. 对于某定圆, 是否存在这样的一对定点呢? 学生很快发现:      只要两点存在, 则必定有无数 多对. 因为假定点M, N是满足条件的两点, 由结论 可知, 直线MN经过圆心, 将直线M N绕圆心旋转,

故 I I} C} t ? b 1 b t 2 c A ? N =} I} 一t =} ? 一t } }t    一尸 \ } i 2

一 l  艺 亡 - t一一 ) { ‘ 一r 

使点M, N分别到M‘ ‘ 位置, , 的 N 则点M ,‘ N 也满
足条件.

对定圆而言,      是否总能找到一对这样的点呢?
有人想到了解析法, 用代数方法解决几何问题. 设圆C的半径为rM 为圆C内一异于圆心的      ,

所以点M, N是关于圆C的一对反演点. 问题 已知圆的方程x+y = 试在坐标平      2 2  , 4 面上求两点A s ) m,  (,  ( n , t,  )使下列两条件满足: B ()      1 圆上任一点到A的距离与到B的距离之比 为定值 k ; ()> M,  ,      t n且 m9  2s > n 均为正整数.19 年 (93 江苏省高中数学竞赛题) 解 因为圆上任一点      到A的距离与B的距离之比 为定值, 推论知: , 由 A B是圆

点, 直线( 为x M为原点, 以 ) 江 轴, 建立直角坐标系. 若存在圆      外一点N使圆上任一点到点M, N的 距离之比为常数双几 且入- ) >。 7 1.
则圆的方程可写成( 一t 十犷 二r 的形式.      ( )  x 2 , 由上文可知, 圆的方程也可以写成 Ab \ 2  “, , Ab 2  2
j 尸 一1
户 勺 v 广

2+3=4 一对反演点. } 的
点 O A,      , B三点共线( O 为坐标原点) , 又因为:      >m>0t ,>n > 0所以 I  1 O } , A C  >1  , B 故点 B在圆内,

图3





不 花 一- 二 二 一  ̄叹下

U“ I - 一 )

因此,      只要能求得久 , 和b则与定圆相对应的一 对定点及比值 又 便可确定.
.b 1 2  , 牛二 r 华 ,2 为此, t 令 =
又‘一 1

又圆X+ =4 在第一象限的部分整点仅      2 内 2  Y
有点(,) 11 , 所以必有m二n , 点的坐标为(,)所      =1即B 11,

ab    2  2

(2 ) A 一12

以} ! 以 =涯, ,, 三点共线可知: , 由OA B =t

易 *旦, 得一 b 一

t一 r 2 2

所以}A} s t s s 招s     一丫2 一丫2 一 , O +  2 +  2
又因为 匡A  O =4所以      I} B} , 招 .  =4 . Js ,
得、 2      = .

当点M无限接近于圆周时, r      t . - 此时b O注 -  , 意到点N的坐标为(, , ( 0 所以M, b) N两点无限接近. 而 当点M无限接近于圆心时, . t 此时 ! I  , -0 b  o 因此 -   - - * 点M, N间的距离趋向于无穷大. 由M任意性知,      点M可以为圆内除圆心外的任 意一点; 同理可知, N也可以是圆外的任意一点, 点 相应地, 值 A 比 亦可以是(,) ( 1 间的任意实数. 0 所以,      对一个定圆来说, 这样的两点存在但不 惟一, 而且它们与圆心的距离也不确定. 但只要其

所以点A的坐标为(,)      22. 本例的教学实践使笔者感到,      要使学生有问题
意识, 教师首先要有问题意识. 虽然同样的内容教 了多遍, 但随着教育改革的不断深化, 教师的教学 观念亦要随之更新, 与时俱进, 表现在课堂上, 即课 堂设计与实施要符合改革的精神. 而做到这些, 有 时仅靠课堂上一点教学灵感显然是不够的.


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