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专题一第2讲知能演练轻松闯关


1.(2012· 浙江嘉兴月考)如图为 4 个幂函数的图象,则图象与函数大致对应的是(

)

A.①y=x 3 ,②y=x2,③y=x 2
1

1

1

,④y=x ,④y=x ,④y=x

-1

B.①y=x3,②y=x2

,③y=x 2
1

-1

C.①y=x2,②y=x3,③y=x2
1

-1

1


D.①y=x 3 ,②y=x 2 ,③y=x2,④y=x 1 解析:选 B.可以根据图象对应寻求函数,故应选 B. 2.(2012· 高考天津卷)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A.y=cos 2x,x∈R B.y=log2|x|,x∈R 且 x≠0 - ex-e x C.y= ,x∈R 2 3 D.y=x +1,x∈R π 解析:选 B.选项 A 中函数 y=cos 2x 在区间?0,2?上单调递减,不满足题意;选项 C 中的函 ? ? 数为奇函数;选项 D 中的函数为非奇非偶函数,故选 B. 3.(2012· 大连调研)已知 x=lnπ,y=log52,z=e 2 ,则( A.x<y<z B.z<x<y C.z<y<x D.y<z<x 解析:选 D.∵x=lnπ>lne,∴x>1. 1 ∵y=log52<log5 5,∴0<y< . 2 ∴z=e
? 1 2 ? 1

)

1 1 1 1 > = ,∴ <z<1. 2 e 4 2 综上可得,y<z<x. 4.(2012· 安徽省“江南十校”联考)设函数 y=f(x)在 R 上有意义,对于给定的正数 M,定义 ? ?f?x?,f?x?≤M 函数 fM(x)=? , 则称函数 fM(x)为 f(x)的“孪生函数”. 若给定函数 f(x)=2-x2, ?M,f?x?>M ? M=1,则 fM(0)的值为( ) A.2 B.1 C. 2 D.- 2 2 解析:选 B.由题意,令 f(x)=2-x =1,得 x=± 1,因此当 x≤-1 或 x≥1 时,fM(x)=2-x2; 当-1<x<1 时,fM(x)=1,所以 fM(0)=1,故选 B. 5.(2012· 广东惠州质检)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),且当 x∈[0,1]时,f(x) =x2,则函数 y=f(x)-log5|x-1|的零点个数是( ) A.8 B.9 C.10 D.11 解析:选 C.由题意知偶函数 f(x)的周期 T=2. 在同一坐标系下作出函数 f(x)及函数 φ(x)=log5|x-1|的图象如图所示,结合图象可知函数零 点的个数为 10,故选 C. =

6.若函数 f(x)=ax2+x+1 的值域为 R,则函数 g(x)=x2+ax+1 的值域为________. 解析:要使 f(x)的值域为 R,必有 a=0,于是 g(x)=x2+1,值域为[1,+∞). 答案:[1,+∞) 7.(2012· 高考浙江卷)设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x 3 +1,则 f?2?=________. ? ? 解析:当 x∈[-1,0]时,-x∈[0,1],∵f(x)为偶函数, ∴f(x)=f(-x)=-x+1. 3 3 1 1 3 ∴f?2?=f?2-2?=f?-2?=-?-2?+1= . ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 答案: 2 8.若直角坐标平面内 A、B 两点满足条件:①点 A、B 都在函数 f(x)的图象上;②点 A、B 关于原点对称,则称点对(A,B)是函数 f(x)的一个“姊妹点对”(点对(A,B)与(B,A)可看作 2 ?x +2x,x<0, ? 同一个“姊妹点对”).已知函数 f(x)=? 2 则 f(x)的“姊妹点对”有________ ? ?ex,x≥0, 个.

?x +2x,x<0, ? 2 解析:作出函数 f(x)=? 2 的图象,再作出函数 y= x(x≥0)关于原点对称的图 e ?ex,x≥0, ?
象,即函数 y=-2ex(x≤0)的图象,这样问题就转化为求函数 g(x)=-2ex(x≤0)与 h(x)=x2 +2x(x<0)图象的交点个数. 2 因为 g(-1)=- >-1=h(-1),所以 f(x)的“姊妹点对”有 2 个. e 答案:2 9.(2012· 山东省潍坊市高考模拟)已知定义在 R 上的偶函数满足:f(x+4)=f(x)+f(2),且当 x ∈[0,2]时,y=f(x)单调递减,给出以下四个命题: ①f(2)=0; ②x=-4 为函数 y=f(x)图象的一条对称轴; ③函数 y=f(x)在[8,10]上单调递增; ④若方程 f(x)=m 在[-6,-2]上的两根为 x1,x2,则 x1+x2=-8. 以上命题中所有正确命题的序号为________. 解析:令 x=-2,得 f(2)=f(-2)+f(2),又函数 f(x)是偶函数,故 f(2)=0;根据①可得 f(x +4)=f(x),可得函数 f(x)的周期是 4,由于偶函数的图象关于 y 轴对称,故 x=-4 也是函数 y=f(x)的图象的一条对称轴;根据函数的周期性可知,函数 f(x)在[8,10]上单调递减,③不正 确;由于函数 f(x)的图象关于直线 x=-4 对称,故如果方程 f(x)=m 在区间[-6,-2]上的 x1+x2 两根为 x1,x2,则 =-4,即 x1+x2=-8.故正确命题的序号为①②④. 2 答案:①②④ 1 10.已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)=x+ +2 的图象关于点 A(0,1)对称. x (1)求 f(x)的解析式; (2)若 g(x)=f(x)· x+ax,且 g(x)在区间[0,2]上为减函数,求实数 a 的取值范围. 解:(1)∵f(x)的图象与 h(x)的图象关于点 A(0,1)对称,设 f(x)图象上任意一点坐标为 B(x,y), 其关于 A(0,1)的对称点 B′(x′,y′),

2

?x′+x=0, 2 则? y+y′ ? 2 =1,

?x′=-x, ? ∴? ? ?y′=2-y.

1 ∵B′(x′,y′)在 h(x)上,∴y′=x′+ +2. x′ 1 1 ∴2-y=-x- +2,∴y=x+ , x x 1 即 f(x)=x+ . x (2)g(x)=x2+ax+1, a ∵g(x)在[0,2]上为减函数,∴- ≥2, 2 即 a≤-4. ∴a 的取值范围为(-∞,-4]. 11.已知函数 f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0)在区间[2,3]上有最大值 5,最小值 2. (1)求 a,b 的值; (2)若 b<1,g(x)=f(x)-2mx 在[2,4]上单调,求 m 的取值范围. 解:(1)f(x)=a(x-1)2+2+b-a. ①当 a>0 时,f(x)在[2,3]上为增函数, ?f?3?=5 ?9a-6a+2+b=5 ?a=1, ? ? ? 故? ?? ?? ? ? ? ?f?2?=2 ?4a-4a+2+b=2 ?b=0. ②当 a<0 时,f(x)在[2,3]上为减函数, ?f?3?=2 ?9a-6a+2+b=2 ?a=-1, ? ? ? 故? ?? ?? ? ? ? ?f?2?=5 ?4a-4a+2+b=5 ?b=3. (2)∵b<1,∴a=1,b=0, 即 f(x)=x2-2x+2, g(x)=x2-2x+2-2mx=x2-(2+2m)x+2. 2+2m 2m+2 若 g(x)在[2,4]上单调,则 ≤2 或 ≥4, 2 2 ∴2m≤2 或 2m≥6,即 m≤1 或 m≥log26. 故 m 的取值范围是(-∞,1]∪[log26,+∞). 12.云南彝良抗震指挥部决定建造一批简易房(房型为长方体状,房高 2.5 米),前后墙用 2.5 米高的彩色钢板,两侧用 2.5 米高的复合钢板,两种钢板的价格都用长度来计算(即钢板的 高均为 2.5 米,用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格),每米单价:彩色钢板为 450 元,复合钢板为 200 元.房顶用其他材料建造,每平方米材料费为 200 元.每套房材料费控 制在 32000 元以内. (1)设房前后墙的长均为 x,两侧墙的长均为 y,所用材料费为 p,试用 x,y 表示 p; (2)简易房面积 S 的最大值是多少?并求当 S 最大时,前面墙的长度应设计为多少米? 解:(1)p=2x· 450+2y· 200+xy· 200 =900x+400y+200xy. (2)S=x· y,且 p≤32000, 由题意,可得 p=200S+900x+400y ≥200S+2 900×400S ?200S+1200 S≤p≤32000 ?( S)2+6 S-160≤0 ?0< S≤10?S≤100,

?900x=400y ? 20 当且仅当? ?x= 时取最大值. 3 ? ?xy=100

20 故简易房面积 S 的最大值为 100 平方米,此时前面墙设计为 米. 3


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