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河南省六市高中毕业班2015届第一次联考数学文试题(word版)


2015 年河南省六市一模数学试题(文)
第Ⅰ卷
一.选择题: 1.已知集合 A ? {x | x 2 ? 1 }, B ? {x | log2 x ? 0}, 则 A ? B ? ( C)

A. {x | x ? ?1} B. {x | x ? 0} C. {x | x ? 1} D. {x | x ? ?1或x ? 1} 2. 如果复数

2 ? bi (其中 i 为虚数单位, 那么 b 等于( C) b 为实数)的实部和虚部互为相反数, 1 ? 2i 2 2 A. ? 6 B. C. ? D .2 3 3

3.在等差数列 ?an ? 中,首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,若 ak ?a 1 ?a 2 ?a 3 ? A. 22 4..函数 y ? B. 23 C. 24

? a 7 ,则 k ?(A )
D. 25

x ln x 的图象大致是( B) x

5.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 x 值是 ( D ). A.3 C.6 B.4 D.8

1 ? cos 50o 2 tan14o 1 3 o o 6. 设 a ? cos 2 ? ,c ? ,则有(D ) sin 2 , b ? 2 1 ? tan 2 14o 2 2
A. a ? c ? b 7. 已知正数 x,y 满足 ? A.1 B. a ? b ? c C. b ? c ? a D. c ? a ? b

?2 x ? y ? 0 1 y ?x ,则 z ? 4 ? ( ) 的最小值为( C ) 2 ?x ? 3 y ? 5 ? 0
13 2 4
C.

B.

1 16

D.

1 32

? ?? ? ? 8. 将奇函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ? x ? ? 的图象向左平移 个单位得到的 2 2? 6 ? 图象关于原点对称,则 ? 的值可以为( A ) A.6 B.3 C.4 D.2
9.一个几何体的三视图如右图所示,则这个几何体的体积是(D)

2

2 2 正视图

2

侧视图 2

俯视图 A.1 B.2 C.3 D.4

10. 在锐角 △ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c ,若 sin A ?

2 2 ,a?2, 3

S△ABC ? 2 ,则 b 的值为( A)
A. 3 B.

3 2 2
2

C. 2 2

D. 2 3

11.已知点 A(0,2) ,抛物线 C1:y =ax(a>0)的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与其准线相交于点 N,若|FM|:|MN|=1: A. B. C.1 D.4 ,则 a 的值等于(D)

12. 已知函数 f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表,f(x)的导函数 y=f′(x)的图 像如图所示.

x f(x) 下列关于函数 f(x)的命题: ①函数 f(x)的值域为[1,2];

-1 1

0 2

2 1.5

4 2

5 1

②函数 f(x)在[0,2]上是减函数; ③如果当 x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④当 1<a<2 时,函数 y=f(x)-a 最多有 4 个零点. 其中正确命题的个数为(D ) A. 0 B. 1 C .2 D.3

第Ⅱ卷
二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。 13. 已 知 向 量 a、b , 其 中 a ? _______.

2 , b ? 2 ,且 (a ? b) ? a , 则 向 量 a 和 b 的 夹 角 是

? 4 14. 已知三棱锥 P ? ABC 的所有棱长都等于 1, 则三棱锥 P ? ABC 的内切球的表面 ? 积 . 6
x2 y2 ? ? 1 的中心任作一直线交椭圆于 P、Q 两点, F 是椭圆的一个焦点,则 15. 过椭圆 25 16
△ PQF 面积的最大值是 .12

x ?1 ?ln x, ? 16. 已知函数 f ( x) ? ? 1 ( a 为常数, e 为自然对数的底数)的图象在 ( x ? 2)( x ? a ), x ? 1 ? ?e
点 A(e,1) 处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点,则实数 a 的取值范围是

?? ?,?3 ? 2 2 ?? ? ?? 3 ? 2
?

2? 2, ? 3?

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分12分) 已知 ?an ? 是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a5 ? 45 , a2 ? a6 ? 14 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ ) 若数列 ?bn ?满足: 1 ?

b 2

b2 ? 22

?

bn ? an ? 1 (n ? N*) , 求数列 {bn } 的前 n 项和 S n . 2n

【解析】 (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则依题设 d ? 0 . 由 a2 ? a6 ? 14 ,可得 a4 ? 7 . 由 a3a5 ? 45 ,得 (7 ? d )(7 ? d ) ? 45 ,可得 d ? 2 . 所以 a1 ? 7 ? 3d ? 1 . 可得 an ? 2n ? 1 .……………………………6 分 (Ⅱ)设 cn ?

bn ,则 c1 ? c2 ? 2n

? cn ? an ? 1 .

即 c1 ? c2 ?

? cn ? 2n ,

可得 c1 ? 2 ,且 c1 ? c2 ?

? cn ? cn?1 ? 2(n ? 1) .

所以 cn ?1 ? 2 ,可知 cn ? 2 (n ? N*) . 所以 bn ? 2n?1 , 所以数列 ?bn ?是首项为 4 ,公比为 2 的等比数列. 所以前 n 项和 Sn ? 18.(本小题满分 12 分) 某校有 150 名学生参加了中学生环保知识竞赛,为了解成绩情况,现从中随机抽取 50 名学生的成绩进行统计(所有学生成绩均不低于 60 分).请你根据尚未完成的频率分布表, 解答下列问题:

4(1 ? 2n ) ? 2n ? 2 ? 4 . …………………………12 分 1? 2

分组 第1组 第2组 第3组 第4组 合计 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]

频数 M 15 20 N 50

频率 0.26 p 0.40 q 1
0.040 0.036 0.032 0.028 0.024 0.020 0.016 0.012 0.008 0.004
0

频率 组距

60 70

80

90 100 分数

(Ⅰ)写出 M 、N 、p、q(直接写出结果即可) ,并作出频率分布直方图; (Ⅱ)若成绩在 90 分以上的学生获得一等奖,试估计全校所有参赛学生获一等奖的人数; (Ⅲ)现从第(Ⅱ)问中所得到的一等奖学生中随机选择 2 名学生接受采访,已知一等奖获 得者中只有 2 名女生,求恰有 1 名女生接受采访的概率. 【解析】 (Ⅰ)M=13 ,N =2, p=0.30,=0.04, 分
频率 组距

…………………2

0.040 0.036 0.032 0.028 0.024 0.020 0.016 0.012 0.008 0.004
0

60 70

80

90 100 分数

………………4 分 (Ⅱ)获一等奖的概率为 0.04,获一等奖的人数估计为 150 ? 0.04 ? 6 (人)……7 分 (Ⅲ)记获一等奖的 6 人为 A1 , A2 , B, C, D, E ,其中 A1 , A2 为获一等奖的女生,从所有一 等奖的同学中随机抽取 2 名同学共有 15 种情况如下:

? A1 , A2 ? , ? A1 , B ? , ? A1 , C ? , ? A1 , D ? , ? A1 , E ? , ? A2 , B ? , ? A2 , C ? , ? A2 , D ? , ? A2 , E ? , ?B, C ? ,

?B, D? , ?B, E ? , ?C, D? , ?C, E ? , ?D, E ? ,
女生的人数恰好为 1 人共有 8 种情况如下:

………9 分

? A1 , B ? , ? A1 , C ? , ? A1 , D ? , ? A1 , E ? ,
? A2 , B ? , ? A2 , C ? , ? A2 , D ? , ? A2 , E ? ,
所以恰有 1 名女生接受采访的概率 P ? 19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的 2 倍,P 为侧 棱 SD 上的点. S (Ⅰ)求证:AC⊥SD; (Ⅱ)若 SD⊥平面 PAC,侧棱 SC 上是否存在一点 E, 使得 BE∥平面 PAC.若存在,求 SE:EC 的值;若不存在,试说明 理由.
w.w.w. k.s.5.u .c.o.m w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

8 . 15

………12 分

P A D

B

C

【解析】 (Ⅰ)连 BD,设 AC 交 BD 于 O,由题意 SO ? AC 。在正方形 ABCD 中, AC ? BD , 所 以

A ? 平面

C

,

S



B

AC ? SD
(Ⅱ)在棱 SC 上存在一点 E,使 BE // 平面PAC 设正方形边长 a ,则 SD ?

………5 分

2a 由 SD⊥平面 PAC 可得 PD ?

2 a ,故可在 SP 上取 4

一点 N ,使 PN ? PD ,过 N 作 PC 的平行线与 SC 的交点即为 E 。连 BN。在 BDN 中 知 BN // PO ,又由于 NE // PC ,

1 , 故 故 平 面 BEN // 平面PAC , 得 BE // 平面PAC , 由 于 SN:NP ? 2: SE:EC ? 2: 1 .………12 分
20.(本小题满分 12 分) 在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中 , 已 知 圆 C1 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 和 圆

C2 :( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 4 .
(I)若直线 l 过点 A(4,0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程; ( II ) 设 P 为 平 面 上 的 点 , 满 足 : 存 在 过 点 P 的 无 穷 多 对 互 相 垂 直 的 直 线 l1 和

l2 ,它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截
得的弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标. 【解析】 (1)设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 4) ,即 kx ? y ? 4k ? 0 , 由垂径定理,得:圆心 C1 到直线 l 的距离 d ? 由点到直线距离公式,得:

22 ? (

2 3 2 ) ?1 2

| ?3k ? 1 ? 4k | k2 ?1

? 1, 化简得: 24k 2 ? 7k ? 0 ,解得 k ? 0 或

k ??

7 。 24

当 k ? 0 时,直线 l 的方程为 y ? 0 ; 当k ??

7 7 时,直线 l 的方程为 y ? ? ( x ? 4) ,即 7 x ? 24 y ? 28 ? 0 . 24 24
l 直 线 的 方 程 ………………………………………………6 分


∴ 所 求 7 x ? 24 y ? 28 ? 0 .

y?0



(2) 设点 P 坐标为 (m, n) ,直线 l1 、l2 的方程分别为: y ? n ? k ( x ? m), y ? n ? ? ( x ? m) , 即: kx ? y ? n ? km ? 0, ?

1 k

1 1 x? y?n? m?0. k k

∵直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,两圆半径相等, ∴由垂径定理,得:圆心 C1 到直线 l1 与 C2 直线 l2 的距离相等. ∴ | ?3k ? 1 ? n ? km |
k2 ?1 4 1 |? ?5? n? m| k , ? k 1 ?1 k2

化简得: (2 ? m ? n)k ? m ? n ? 3 或 (m ? n ? 8)k ? m ? n ? 5 .

?2 ? m ? n ? 0 ?m ? n ? 8 ? 0 ∵关于 k 的方程有无穷多解,∴ ? 或? 。 ?m ? n ? 3 ? 0 ?m ? n ? 5 ? 0
解之得:点 P 坐标为 (? , 21.(本小题满分 12 分)
2 x 已知函数 f ( x) ? x ln x , g ( x) ? (? x ? ax ? 3)e (a 为实数) .

3 2

13 5 1 ) 或 ( , ? ) .…………………………………12 分 2 2 2

(Ⅰ) 当 a=5 时,求函数 y ? g ( x) 在 x ? 1 处的切线方程;

(Ⅱ) 求 f ( x) 在区间[t,t+2](t >0)上的最小值;
x (Ⅲ) 若存在两不等实根 .......x1 , x 2 ? [ e ,e ] ,使方程 g ( x) ? 2e f ( x) 成立,求实数 a 的

1

取值范围. 【解析】(Ⅰ )当 a ? 5 时 g( x ) ? (? x 2 ? 5 x ? 3) ? e x , g (1) ? e .

g?( x ) ? (? x 2 ? 3 x ? 2) ? e x ,故切线的斜率为 g?(1) ? 4e .
所以切线方程为: y ? e ? 4e( x ? 1) ,即 y ? 4ex ? 3e . (Ⅱ) f ?( x ) ? ln x ? 1 , ………4 分

x
f ?( x )
f ( x)
①当 t ?

1 (0, ) e

1 e
0

1 ( , ??) e

?

?
单调递增

单调递减

极小值(最小值)

1 时,在区间 ( t , t ? 2) 上 f ( x ) 为增函数, e

所以 f ( x )min ? f (t ) ? t ln t ②当 0 ? t ? 数, 所以 f ( x )min ? f ( 1 ) ? ? 1 e e (Ⅲ) 由 g( x) ? 2e x f ( x) ,可得: 2 x ln x ? ? x ? ax ? 3 ,
2

1 1 1 时 , 在区间 ( t , ) 上 f ( x ) 为减函数 , 在区间 ( , t ? 2) 上 f ( x ) 为增函 e e e

………8 分

a ? x ? 2 ln x ?

3 , x

2 3 ( x ? 3)( x ? 1) 令 h( x) ? x ? 2 ln x ? 3 , h ?( x) ? 1 ? ? 2 ? . x x x2 x

x
h ?( x ) h( x)

1 ( ,1) e

1

(1,e)

?

0

?
单调递增

单调递减

极小值(最小值)

a

1 1 3 h( ) ? ? 3e ? 2 , h(1) ? 4 , h(e) ? ? e ? 2 . e e e 1 2 h(e) ? h( ) ? 4 ? 2e ? ? 0. e e

? 实数 的取值范围为 4 ? a ? e ? 2 ?

3 . e

………12 分

请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果 多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框 涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图所示, 已知 PA 与⊙ O 相切, A 为切点, 过点 P 的割线交圆于 B, C 两点, 弦 CD // AP ,

AD, BC 相交于点 E , F 为 CE 上一点,且 DE 2 ? EF ? EC .
(Ⅰ)求证: CE ? EB ? EF ? EP ; (Ⅱ)若 CE : BE ? 3 : 2, DE ? 3, EF ? 2 ,求 PA 的长.

2 【解析】 (Ⅰ)∵ DE ? EF ? EC , ?DEF ? ?DEF

∴ ?DEF ∽ ?CED ,∴ ?EDF ? ?C ……………………………………3 分 又∵ CD // AP ,∴ ?P ? ?C , ∴ ?EDF ? ?P , ?DEF ? ?PEA

EA EP ? , ∴ EA? ED ? EF ? EP EF ED 又∵ EA ? ED ? CE ? EB ,∴ CE ? EB ? EF ? EP . ………………………………5 分
∴ ?EDF ∽ ?EPA, ∴
2 (Ⅱ)∵ DE ? EF ? EC , DE ? 3, EF ? 2

∴ EC ?

9 ,∵ CE : BE ? 3 : 2 2

∴ BE ? 3

由(1)可知: CE ? EB ? EF ? EP ,解得 EP ? ∴ BP ? EP ? EB ?

27 . 4

…………………………7 分

15 2 . ∵ PA 是⊙ O 的切线,∴ PA ? PB ? PC 4

2 ∴ PA ?

15 27 9 15 3 ? ( ? ) ,解得 PA ? . 4 4 2 4

……………………………………10 分

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 ? ?x ? t 平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x ? ? y ? 3t 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 , 建 立 极 坐 标 系 , 已 知 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为

? 2 cos 2 ? ? ? 2 sin2 ? ? 2 ? sin? ? 3 ? 0 .
(Ⅰ )求直线 l 的极坐标方程; (Ⅱ )若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、B 两点,求 | AB | 【解析】 (Ⅰ )消去参数得直线 l 的直角坐标方程: y ? 3 x ---------2 分

? x ? ? cos ? ? 由? 代入得 ? sin? ? 3? cos ? ? ? ? ( ? ? R) . 3 ? y ? ? sin?
( 也可以是: ? ?

? 4? 或? ? ( ? ? 0) )---------------------5 分 3 3 ? ? 2 cos 2 ? ? ? 2 sin2 ? ? 2? sin? ? 3 ? 0 ? (Ⅱ )? 得 ? ? ??
? 3

? ? 3? ? 3 ? 0 -----------------------------7 分 ? ? 设 A( ? 1 , ) , B( ? 2 , ) , 3 3
2

则 | AB |?| ?1 ? ? 2 |?

( ?1 ? ? 2 ) 2 ? 4 ?1 ? 2 ? 15 .---------10 分

(若学生化成直角坐标方程求解,按步骤对应给分) 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲

设不等式 ? 2 ? x ? 1 ? x ? 2 ? 0 的解集为 M , a, b ? M .
(Ⅰ 证明: |

1 1 1 a ? b |? ; 3 6 4

(Ⅱ )比较 | 1 ? 4ab | 与 2 | a ? b | 的大小.

x ? ?2 ? 3, ? 【解析】 (I)记 f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? 2 |? ?? 2 x ? 1,?2 ? x ? 1, ? ? 3, x ? 1 ?

由 ? 2 ? ?2 x ? 1 ? 0 解得: ?

1 1 ?x? , 2 2

1 1 即 M ? (? , ) ……………………………………………………3 分 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 所以, | a ? b |? | a | ? | b |? ? ? ? ? ; ……………………5 分 3 6 3 6 3 2 6 2 4 1 1 (II)由(I)得: a 2 ? , b 2 ? , 4 4

因为 | 1 ? 4ab |2 ?4 | a ? b |2 ? (1 ? 8ab ? 16a 2b2 ) ? 4(a 2 ? 2ab ? b2 )

? (4a 2 ?1)(4b2 ?1) ? 0
故 | 1 ? 4ab |2 ? 4 | a ? b |2 ,即 | 1 ? 4ab |? 2 | a ? b |

………………9 分 ……………………10 分


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