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山东省实验中学2013-2014学年高一下学期期中考试数学试题


实验中学 2013~2014 学年第二学期

高一数学试题

2014.6(必修四模块结业考试)

第Ⅰ卷(选择题,共 70 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 70 分,基础题 50 分,发展题 20 分) 1. sin2100 = A.

3 2

B. -

/>
3 2

C.

1 2

D. -

1 2

2. ? 是第四象限角, tan ? ? ? A. 3. (cos A.-

?

1 5 ? sin

?
12

5 ,则 sin ? ? 12 1 5 B. ? C. 5 13

D. ?

12
3 2

) (cos

?

12

? sin
1 2

?

5 13

12

)=
C.
1 2

B.-
3 5

D.

3 2

4. 已知 sinθ= ,sin2θ<0,则 tanθ 等于 A.-
3 4

B.

3 4

C.- 或

3 4

3 4

D.

4 5

5.将函数 y ? sin( x ? 左平移

?
3

) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再将所得的图象向

? 个单位,得到的图象对应的僻析式是 3 1 1 ? A. y ? sin x B. y ? sin( x ? ) 2 2 2 1 ? ? C. y ? sin( x ? ) D. y ? sin(2 x ? ) 2 6 6

6.

? tan x ? cot x? cos2 x ?
B.

A. tan x 7.函数 y =

sin x

C.

c ox s

D. cot x

sin x ? sin x 的值域是
B. [ -2 , 2 ] C. [ 0 , 2 ] D.[ -2 , 0 ]

A. { 0 } 8.已知 sin ? cos ? ?

1 ? ,且 ? ? (0, ) ,则 sin ? +cos ? 的值为 2 8
B. 2

A.

5 2

5 2

C.

?

5 2

D.

3 2

9. y ? (sin x ? cos x) ?1 是 A.最小正周期为 2 π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的偶函数 B.最小正周期为 2 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的奇函数
第1页

10.在 (0,2? ) 内,使 sin x ? cos x 成立的 x 取值范围为 A. (

? ?

5? , ) ? (? , ) 4 2 4

B. (

?
4

,? )

C. (

? 5?
4 , 4

)

D. (

?
4

,? ) ? (

5? 3? , ) 4 2

11.已知,函数 y=2sin(ωx+θ)为偶函数(0<θ<π) 其图象与直线 y=2 的交点的横坐标为 x1,x2,若| x1- x2|的最小值为 π,则 A.ω=2,θ= 12. 设 a ? sin
? 2

B.ω= ,θ=

1 2

? 2

C.ω= ,θ=

1 2

? 4

D.ω=2,θ=

? 4

5? 2? 2? , b ? cos , c ? tan ,则 7 7 7 A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. b ? c ? a

D. b ? a ? c

13.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 的图象关于直线 x ? A.

?
8

对称,则 ? 可能是 D.

? 2

B.
1 ? cos 2 x cos x

?

?
4

C.

? 4

3? 4

14. 函数 f(x)=

?? ? 3? ? ?? ? ? 3? ? A.在 ? ? 、 ? , 2? ? 上递减 ? 、 ? , ? ? 上递增,在 ?? , ?0, 2 ? ?2 ? ? 2 ? ? 2? ? ? ? ? 3? ? ?? ? ? 3? ? B.在 ? 2? ? 上递减 ?0, ? 、 ? ?, ? 上递增,在 ? , ? ? 、 ? ,
? 2? ? 2 ? ?2 ? ? 2 ? ? ? C.在 ? ??、? ? , ?2 ? ?

?

3? ? ? 3? ? ? ?? , 2? ? 上递增,在 ?0, ? 、 ? ?, ? 上递减 2 ? ? 2 ? ? ? 2?

D.在 ? ?? ,

3? ? ? 3? ? ?? ? ? ?? ? 、 ? , 2? ? 上递增,在 ?0, ? 、 ? , ? ? 上递减 2 2 ? 2 ? ? ?2 ? ? ?

第Ⅱ卷(非选择题,共 80 分)
15. 已知 ? ? ? ?

? ?

? ??
2 ,

2 ? ,求使 sin ? = 成立的 ? = 3 2?
? ,x∈R)的部分图象如图, 则 2

16.sin15°cos75°+cos15°sin105°=_________ 17.函数 y=Asin( ? x+ ? )( ? >0,| ? |< 表达式为 18.已知 ? , ? 为锐角,且 cos ? = cos ? =_________ 19.给出下列命题: (1)存在实数 ? ,使 sin ? cos ? ? 1 (2)存在实数 ? ,使 sin ? ? cos ? ? 函数

1 7

cos (? ? ? ) = ?

11 , 则 14

3 2

(3)函数 y ? sin( ? ? x ) 是偶函数 (4)若 ?、? 是第一象限的角,且 ? ? ? ,则 sin ? ? sin ? .其中正确 命题的序号是________________________________
第2页

3 2

三.解答题(每小题 12 分,共 60 分,基础题 45 分,发展题 15 分) 20.已知函数 y=3sin (

1 ? x? ) 2 4

(1)用五点法在给定的坐标系中作出函数一个周期的图象; (2)求此函数的振幅、周期和初相; (3)求此函数图象的对称轴方程、对称中心.

21.已知 sin(? ? k? ) ? -2 cos(? ? k? ) k ? Z 求:(1)

4 sin ? ? 2 cos ? ; 5 cos ? ? 3 sin ?

(2)

1 2 sin 2 ? ? cos 2 ? 4 5

22.设 a ? 0 ,若 y ? cos2 x ? a sin x ? b 的最大值为 0,最小值为-4,试求 a 与 b 的值,并求 y 的最大、 最小值及相应的 x 值.

23.已知 tan( ? ? ? ) ?

1 1 , tan ? ? ? ,且 ? , ? ? (0, ? ) ,求 2? ? ? 的值. 2 7

24.设函数 f ( x) ? 3 cos2 ?x ? sin ?x cos?x ? a (其中 ? >0, a ? R ) ,且 f(x)的图象在 y 轴右侧的第一 个最高点的横坐标为 (1)求 ? 的值;

? . 6

(2)如果 f ( x) 在区间 [ ?

? 5?
3 , 6

] 的最小值为 3 ,求 a 的值.

第3页

答案
.一.DDDA,CDDA,DCAD,CA

2 1 3 三、解答题:
二 arcsin
1 2

y= - 4 sin(

?
8

x?

?
4

)

1 2

(3)

20.已知函数 y=3sin ( x ? )
4

?

(1)用五点法作出函数的图象; (2)求此函数的振幅、周期和初相; (3)求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 解 (1)列表: x
1 ? x? 2 4

? 2

3 ? 2

5 ? 2

7 ? 2 3 ? 2

9 ? 2

0
?

? 2

?

2? 0

3sin ( x ? )
4

1 2

0

3

0

-3

描点、连线,如图所示:…………………………………………………………………………………………5 (2)周期 T=
2?

?

=

? 2? =4 ? ,振幅 A=3,初相是- . ………………………………………………………….8 1 4 2

(3)令 x ?

1 2

?
4

=

? +k ? (k∈Z), 2

得 x=2k ? + 令

3 ? (k∈Z),此为对称轴方程. 2

1 ? ? x- =k ? (k∈Z)得 x= +2k ? (k∈Z). 2 4 2
?
2

对称中心为 (2k? ? ,0) (k∈Z)…………………………………………………………………………..12 21.已知 sin( ? +k ? )=-2cos( ? +k ? ) (k∈Z). 求:(1)
1 4
4 sin ? ? 2 cos? ; 5 cos? ? 3 sin ?

(2) sin2 ? + cos2 ? . 解:由已知得 cos( ? +k ? )≠0, ∴tan( ? +k ? )=-2(k∈Z),即 tan ? =-2..................................................................................................2 (1)
4 sin ? ? 2 cos? 4 tan ? ? 2 ? ? 10 …………………………………………………………………7 5 cos? ? 3 sin ? 5 ? 3 tan ?

2 5

1 2 2 1 2 sin ? ? cos2 ? tan 2 ? ? 1 2 2 2 5 5 ? 7 ………………………………….12 (2) sin ? + cos ? = 4 2 =4 2 2 4 5 25 sin ? ? cos ? tan ? ? 1

22.设 a≥0,若 y=cos2x-asinx+b 的最大值为 0,最小值为-4,试求 a 与 b 的值,并求出使 y 取得最大、 最小值时的 x 值. 解:原函数变形为
第4页

y=- (sin x ? ) ? 1 ? b ? ∵-1≤sinx≤1,a≥0

a 2

2

a2 ………………………………………2 4

∴若 0≤a≤2,当 sinx=- 时 ymax=1+b+ a =0
4
2

a 2


2

当 sinx=1 时,ymin=- (1 ? a ) 2 ? 1 ? b ? a
2

4

=-a+b=-4 ② 联立①②式解得 a=2,b=-2…………………………………………………………7 y 取得最大、小值时的 x 值分别为: x=2kπ-
? 2

(k∈Z),x=2kπ+
a 2

? 2

(k∈Z)

若 a>2 时, ∈(1,+∞) ∴ymax=- (1 ? ) 2 ? 1 ? b ? ymin=- (1 ? ) 2 ? 1 ? b ?
a 2
a 2 a2 ? a ? b =0 4

③ ④

a2 ? ?a ? b ? ?4 4
a 2

由③④得 a=2 时,而 =1 (1,+∞)舍去………………………………………11 故只有一组解 a=2,b=-2…………………………………………………..12

23.已知 tan(α-β)= 解:由 tanβ=- 1
7

1 1 , tan β=- ,且 α、β∈(0, ? ) ,求 2α-β 的值. 2 7

β∈(0,π) 得 β∈( ? , π)
2

①………………………2 ∴ 0<α< ? …………………………………….6
2

由 tanα=tan[(α-β)+β]= 1 ∴ 0<2α<π 由 tan2α= 3 >0
4

3

α∈(0,π)

∴知 0<2α< ?

2



∵tan(2α-β)=

tan 2? ? tan ? 1 ? tan 2? tan ?

=1………………………………………………………………..10

由①②知 2α-β∈(-π,0) ∴2α-β=-
3? ………………………………………………………….12 4

24.设函数 f ( x) ? 最高点的横坐标为 (1)求 ω 的值;

,且 f(x)的图象在 y 轴右侧的第一个 3 cos2 ?x ? sin?x cos?x ? a (其中 ω>0,a∈R)
? . 6

第5页

(2)如果 f ( x) 在区间 [? ,
3

? 5x
6

] 的最小值为 3 ,求 a 的值.

解:(1) f(x)= =sin(2 ? x+

1 3 3 cos2 ? x+ sin2 ? x+ +a……………………………….2 2 2 2

? 3 )+ +a…………………………………………………..4 3 2 ? 6 ? ? 1 = 解得 ? = ………………………………….6 3 2 2 ? 3 )+ +a 3 2

依题意得 2 ? · +

(2) 由(1)知 f(x)=sin(2 ? x+ 又当 x∈ ? ?? ,
? 3
1 2

? 5? ?

? 7? ? 时,x+ ∈ ? ?0, 6 ? …………………………………8 3 6 ? ? ? ? ? )≤1……………………………………………..10 3
1 3 上取得最小值- + +a 2 2 6 ? ? 1 2

故- ≤sin(x+

从而 f(x)在 ? ?? ,
? 3

? 5? ?

因此,由题设知- +

3 3 ?1 +a= 3 故 a= ………………….12 2 2

第6页


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