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第4讲 平面向量及其应用 1.考题展望 高考对平面向量的考查主要体现在:第一,考查平面向 量的概念及平面向量的和、差、数乘和数量积的运算, 主要以选择题、填空题的形式考查,向量与平面几何相 结合是命题的一个亮点;第二,考查平面向量与其他知 识的综合应用,主要以解答题的形式考查. 平面向量具有代数与几何形式的“双重性”,是中学数 学知识网络的重要交汇点,平面向量与三角函数、解

析 几何的综合是近几年高考的热点,要予以足够的重视. 2.高考真题 考题1(2012 浙江)设 a,b 是两个非零向量( ) A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 b=λa D.若存在实数 λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b| 【解析】选C. 利用排除法可得选项C是正确的,∵|a+b|=|a|-|b|,则a, b共线,即存在实数λ,使得a=λb.如选项A:|a+b|=|a|- |b|时,a,b为异向的共线向量;选项B:若a⊥b,由正方 形得|a+b|=|a|-|b|不成立;选项D:若存在实数λ,使得 b=λa,a,b可为同向的共线向量,此时显然|a+b|=|a| -|b|不成立. 【命题立意】本题主要考查向量的平行与垂直的条件, 考查转化化归思想和推理能力. 考题2(2012 湖南)在△ABC 中,AB=2,AC= → ?BC → =1,则 BC=( 3,AB ) A. 3 B. 7 C.2 2 D. 23 【解析】选 A. → · BC → = | AB → || BC → |cos( π- 由右图知 AB → |?(-cosB)=1. B)=2?|BC 1 ∴cosB= . -2BC AB2+BC2-AC2 又由余弦定理知 cosB= , 2AB·BC 解得 BC= 3. 【点评】本小题主要考查平面向量的数量积、余 弦定理等知识.考查运算能力,考查数形结合思 想、等价转化思想等数学思想方法. →? →= 考题3(2012 江苏)在△ABC 中, 已知AB AC → ?BC →. 3BA (1)求证:tanB=3tanA; 5 (2)若 cosC= ,求 A 的值. 5 → ·AC → =3BA → ·BC →, 【解析】(1)∵AB ∴AB·AC·cosA=3BA· BC· cosB, 即 AC· cosA=3BC· cosB. AC BC 由正弦定理,得 = , sinB sinA ∴sinBcosA=3sinAcosB. 又∵0<A+B<π,∴cosA>0,cosB>0, sinB sinA ∴ =3· 即 tanB=3tanA. cosB cosA 5 (2)∵cosC= ,0<C<π, 5 5 2 2 5 ∴sinC= 1-( ) = . 5 5 ∴tanC=2. ∴tan[π-(A+B)]=2,即 tan(A+B)=-2, tanA+tanB ∴ =-2. 1-tanAtanB 4tanA 由(1)得 =-2, 1-3tan2A 1 解得 tanA=1,tanA=- . 3 π ∵cosA>0,∴tanA=1.∴A= . 4 【点评】本小题主要考查平面向量的数量积、正弦 定理、同角关系式、正切的两角和公式及三角恒等 变换能力,考查运算求解能力和转化化归思想. 1.平面向量 (1) 向量加法的法则:三角形法则与平行四边形法则; (2)向量减法的法则:三角形法则; (3) 实数 λ 与向量 a 的积是一

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