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吉林省长春十一中2015届高三上学期期中考试数学(理)试题含解析


吉林省长春市十一中 2015 届高三上学期 期中考试数学(理)试题(解析版)
【试卷综析】本试卷是高三理科试卷,以基础知识和基本技能为载体,重点考查学生的运算 能力,思维能力,运算能力,分析问题解决问题的能力、注重主干知识,兼顾覆盖面.试题 重点考查:集合,函数方程、复数、 、导数、圆锥曲线、立体几何、数列、 、三角函数的性质、 三角恒等变换与解三角形、积分等;考查学生

解决实际问题的综合能力,是份很好的试卷. 【题文】一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分) 【题文】1.若集合 M ? x x ? 2 ? 0 , N ? x log 2 ( x ? 1) ? 1 ,则 M ? N ? ( A. {x | 2 ? x ? 3} C. {x | x ? 3} B. {x | x ? 1} D. {x |1 ? x ? 2}

?

?

?

?



【知识点】集合及其运算 A1 【答案解析】A 集合 M={x|x-2>0}={x|x>2},N={x|log2(x-1)<1} ={x|0<x-1<2}={x|1<x<3},故 M∩N={x|2<x<3},故选 A. 【思路点拨】解对数不等式求出 N,再由两个集合的交集的定义求出 M∩N. 【题文】2.复数 A.

i3 ( i 为虚数单位)的虚部是( 2i ? 1
B.

) D. ?

1 i 5

1 5

C. ? i

1 5

1 5

【知识点】复数的基本概念与运算 L4 【答案解析】B

?i (2i ? 1) i3 ?i i 2 1 = = = ? 所以虚部为 故选 B 2i ? 1 2i ? 1 (2i ? 1)(2i ? 1) 5 5 5

【思路点拨】先化简成最简形式,然后确定虚部。 【题文】3.已知 log 1 b ? log 1 a ? 0 ? c 2 ? 1 ,则(
2 2 1



A. 2 ? 2 ? 2
b a

c

B. 2 ? 2 ? 2
a b c a

c

C. 2 ? 2 ? 2
c b

a

D. 2 ? 2 ? 2

b

【知识点】指数与指数函数 对数与对数函数 B6 B7 【答案解析】A

log 1 b ? log 1 a ,则 b>a>1,由 0 ? c 2 ? 1 得 0<c<1,所以 b>a>c,
2 2

1

所以 2 ? 2 ? 2 ,故选 A.
b a c

【思路点拨】先利用指数函数对数函数性质确定大小,再根据指数函数的单调性求出结果。 【题文】4.已知 sin 2? ?

1 ? ,则 cos 2 (? ? ) ? ( 5 4
1



A.

4 5

B.

3 5

C.

2 5

D.

1 5

【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式 C2 【答案解析】 B ∵sin2α= 故答案为 B. 【思路点拨】根据 cos2(α果. 【题文】5.函数 y ? f ( x) 在区间 (?2,2) 上的图象是连续不断的,且方程 f ( x) ? 0 在 (?2,2) 上仅有一个实根 x ? 0 ,则 f (?1) f (1) 的值( A.大于 0 C.等于 0 )

2 2 1 ? 1 3 ,∴cos2(α- )=( cosα+ sinα) 2 = (1+sin2α)= , 2 2 5 4 2 5

?
4

)=(

2 2 1 cosα+ sinα) 2 = (1+sin2α),计算求得结 2 2 2

B.小于 0 D.与 0 的大小关系无法确定

【知识点】函数与方程 B9 【答案解析】D 由于函数 y=f(x)在区间(-2,2)上的图象是连续不断的,且方程 f(x) =0 在(-2,2)上仅有一个实根 x=0,可得图象:

因此 f(-1)f(1)的值与 0 的大小关系不正确.故选:D. 【思路点拨】根据函数 y=f(x)在区间(-2,2)上的图象是连续不断的,且方程 f(x)=0 在(-2,2)上仅有一个实根 x=0,画出图象即可判断出. 【题文】6.设 P ( x, y ) 是函数 y ? A. 3 B. 2

2 ? ln x 图象上的点,则 x ? y 的最小值为( x 7 C. ? ln 2 D. 3 ? ln 2 2



【知识点】导数的应用 B12

2 +lnx 图象上的点, x 2 2 1 ( x ? 2)( x ? 1) 则 x+y=x+ +lnx=f(x),(x>0).f′(x)=1- 2 + = , x x x x2
【答案解析】A ∵P(x,y)是函数 y= 令 f′(x)>0,解得 x>1,此时函数 f(x)单调递增;令 f′(x)<0,解得 0<x<1, 此时函数 f(x)单调递减.且 f′(1)=0.∴当 x=1 时,函数 f(x)取得最小值,f(1)=3. 故选:A.

2

【思路点拨】P(x,y)是函数 y= 则 x+y=x+

2 +lnx 图象上的点, x

2 +lnx=f(x),(x>0).利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出. x

【题文】7.在等比数列 ?an ?中,a7 是 a8 , a9 的等差中项,公比 q 满足如下条件:?OAB ( O 为原点)中, OA ? (1,1) , OB ? (2, q ) , ?A 为锐角,则公比 q 等于( A. 1 B. ? 1 C. ? 2 D. 1 或 ? 2 )

【知识点】等差数列等比数列 D2 D3 【答案解析】C ∵等比数列{an}中,a7 是 a8,a9 的等差中项, ∴2a7=a8+a9,∴2=q+q2,∴q=1 或 q=-2, ∵△OAB(O 为原点)中, OA =(1,1), OB =(2,q),∠A 为锐角,∴1×2+q<0, ∴q=-2,故选:C. 【思路点拨】 利用等比数列{an}中, a7 是 a8,a9 的等差中项, 求出 q=1 或 q=-2,根据△OAB (O 为原点)中, OA =(1,1), OB =(2,q),∠A 为锐角,确定 q 的值.

x2 y2 【题文】 8.能够把椭圆 C ? ? 1 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数 f ( x) 称为 4 8
椭圆 C 的“亲和函数”,下列函数是椭圆 C 的“亲和函数”的是( A. f ( x ) ? x ? x
3 2



B. f ( x) ? 1n
x

5? x 5? x
?x

C. f ( x) ? sin x ? cos x

D. f ( x) ? e ? e

【知识点】单元综合 B14 【答案解析】B ∵f(x)=x3+x2 不是奇函数,∴f(x)=x3+x2 的图象不关于原点对称, ∴f(x)=x3+x2 不是椭圆的“亲和函数”;

5? x 5? x 是奇函数,∴f(x)=ln 的图象关于原点对称, 5? x 5? x 5? x ∴f(x)=ln 是椭圆的“亲和函数”; 5? x
∵f(x)=ln ∵f(x)=sinx+cosx 不是奇函数,∴f(x)=sinx+cosx 的图象不关于原点对称, ∴f(x)=sinx+cosx 不是椭圆的“亲和函数”; ∵f(x)=ex+e-x 不是奇函数,∴f(x)=ex+e-x 的图象关于原点不对称, ∴f(x)=ex+e-x 不是椭圆的“亲和函数”.故选:B. 【思路点拨】关于原点对称的函数都可以等分椭圆面积,验证哪个函数不是奇函数即可. 【题文】9.若函数 f ( x) ? ? 切,则 a ? b 的最大值是( A. 4 B. 2 2

1 ax e (a ? 0, b ? 0) 的图象在 x ? 0 处的切线与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相 b
) C. 2 D. 2

3

【知识点】导数的应用 B12 【答案解析】D 求导数,可得 f ′ (x)= ? 令 x=0,则 f ′ (0)=- ?

a ax e b

a 1 1 a 又 f(0)=,则切线方程为 y+ =? x ,即 ax+by+1=0 b b b b

∵切线与圆 x2+y2=1 相切∴

1 a ?b
2 2

=1 ∴a2+b2=1∵a>0,b>0∴2(a2+b2)≥(a+b)2

∴a+b≤

2 ∴a+b 的最大值是 2 , 故选 D.

【思路点拨】求导数,求出切线方程,利用切线与圆 x2+y2=1 相切,可得 a2+b2=1,利用基 本不等式,可求 a+b 的最大值. 【题文】 10. 已知函数 y ? f ( x) 是 R 上的偶函数,且在区间 (??,0) 是单调递增的,若

S1 ? ? x 2 dx , S 2 ? ?
1

2

2

1

2 1 dx , S3 ? ? e x dx ,则下列不等式中一定成立的是( 1 x



A. f ( S1 ) ? f ( S 2 ) ? f ( S3 ) C. f ( S 2 ) ? f ( S1 ) ? f ( S3 )

B. f ( S3 ) ? f ( S 2 ) ? f ( S1 ) D. f ( S3 ) ? f ( S1 ) ? f ( S 2 )

【知识点】定积分与微积分基本定理 B13 【答案解析】D 根据积分公式可知 S 1 =

1 3 x 3

2 1

=

8 1 7 - = ,S 2 =lnx 3 3 3

2 1

=ln2 ,S 3 =e x

2 1

=e 2 -e ,

∵函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)是单调递增,∴在区间(0,+∞)是 单调递减,∵e2-e>

7 > ln2 >0,∴f(S3)<f(S1)<f(S2),故选 D. 3

【思路点拨】利用积分公式求出 S1,S2,S3 的大小,然后利用函数单调性和奇偶性的性质 即可判断大小. 【题文】11.关于方程 log 2 x ? lg( x ? 1) 的两个根 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 以下说法正确的是( A. x1 ? x2 ? 2 C. 0 ? x1 x2 ? 1 B. x1 x2 ? 2 D. 1 ? x1 ? x2 ? 2 )

【知识点】函数与方程 B9 【答案解析】 D 在同一坐标系中作出 y=|log2x|与 y=lg (x+1) 的图象,如图: 由图可知:0<x1<1,1<x2<2, 所以 1<x1+x2<2. 故选 D. 【思路点拨】在同一坐标系中作出 y=|log2x|与 y=lg (x+1)的图象,观察图象可得.

4

【题文】12. 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点 C ,过双曲线中心的直线交双曲 a2 b2
2 ? ln | k1 | ? ln | k 2 | 最小时, k1 k 2

线于 A, B 两点,记直线 AC , BC 的斜率分别为 k1 , k 2 ,当 双曲线离心率为( A. ) B. 3 C. 2 ? 1

2

D. 2

【知识点】双曲线及其几何性质 H6 【答案解析】B 设 A(x1,y1),C(x2,y2), 由题意知点 A,B 为过原点的直线与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的交点, a 2 b2

∴由双曲线的对称性得 A,B 关于原点对称, ∴B(-x1,-y1),k 1 =

y2 ? y1 y ? y1 ,k 2 = 2 , x2 ? x1 x2 ? x1

∴k1k2=

y2 ? y1 y2 ? y1 y 2 2 ? y 21 = , ? x2 ? x1 x2 ? x1 x 2 2 ? x 21

∵点 A,C 都在双曲线上, ∴

x12 y12 x2 2 y2 2 x12 ? x2 2 y2 2 ? y 2 2 , ,两式相减,得: =0 , ? ? 1 ? ? 1 ? a 2 b2 a 2 b2 a2 b2

x12 ? x2 2 a 2 2 2 ∴k1k2= 2 +ln|k1|+ln|k2|= +ln(k 1 k 2 ) , ? 2 ? 0 >0,∴ 2 y2 ? y 2 b k1k2 k1k2
2 2 1 +lnx , (x > 0) ,由 y ′ =- ? 2 + =0,得 x=0(舍)或 x=2, x x x 2 1 x>2 时,y ′ =- ? 2 + >0, x x 2 1 0<x<2 时,y ′ =- ? 2 + <0, x x 2 ∴当 x=2 时,函数 y= +lnx(x>0)取得最小值, x
对于函数 y= ∴当

a2 2 +ln|k1|+ln|k2|最小时,k 1 k 2 = 2 =2 , b k1k2

a2 ∴e= 1 ? 2 = 3 .故选:B. b
【思路点拨】设 A(x1,y1),C(x2,y2),由双曲线的对称性得 B(-x1,-y1),

5

从而得到 k1k2=

y 2 2 ? y 21 y2 ? y1 y2 ? y1 = , ? x 2 2 ? x 21 x2 ? x1 x2 ? x1
2 2 +ln|k1|+ln|k2|= +ln(k 1 k 2 ) , k1k2 k1k2

利用点差法能推导出

再由构造法利用导数性质能求出双曲线的离心率. 【题文】二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 【 题 文 】 13. 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 在 点 M (1, f (1)) 处 的 切 线 方 程 为 y ?

1 x? 2 ,则 2

f (1) ? f ?(1) ?
【知识点】导数的应用 B12

.

1 1 x+1 ,则直线的斜率 k= , 2 2 1 5 根据导数的几何意义得:f′(1)= ,f(1)= 故答案为:3. 2 2
【答案解析】3 ∵切线方程是 y= 【思路点拨】利用函数在切点处的导数值是切线的斜率求出 f′(1)即可.

? 2x , x?t ? 【题文】14.设 t ? 0 ,函数 f ( x) ? ?log x, x ? t 的值域为 M ,若 4 ? M ,则 t 的取值范 1 ? ? 2
围是 .

【知识点】指数与指数函数 对数与对数函数 B6 B7

? 2x , x?t 1 ? 【答案解析】 <y≤2 ∵函数 f ( x) ? ?log x, x ? t 可得 0<y<2t,或 y≤ log 1t, 1 16 2 ? ? 2
∴值域为:{y|0<y<2t,或 y≤ log 1t}
2

∵域为 M,若 4?M,∴2t≤4,且 log 1t<4,可解得:
2

1 <y≤2 16

? 2 x  x<t ? 【思路点拨】根据函数 f(x)= ?log x  x?t,可得 0<y<2t,或 y≤ log 1t, 1 2 ? ? 2
由值域为 M,4?M,可得:2t≤4,且 log 1t<4,即可解出 t 的范围.
2

【题文】15. 在等比数列 ?a n ? 中,若 a7 ? a8 ? a9 ? a10 ?

15 9 , a8 ? a9 ? ? ,则 8 8

6

1 1 1 1 ? ? ? ? a7 a8 a9 a10

.

【知识点】等比数列及等比数列前 n 项和 D3 【答案解析】-

5 3

a ?a a ?a 1 1 1 1 1 1 1 1 =( )+( ? ? ? ? ? )= 7 10 ? 8 9 a7 a8 a9 a10 a7 a10 a8 a9 a7 a10 a8 a9

=

a7 ? a10 ? a8 ? a9 5 5 =- 故答案为3 3 a8 a9
1 1 1 1 ? ? ? a7 a8 a9 a10
进行分组求和,再利用等比中项的性质可知

【思路点拨】先把

a7a10=a8a9,最后把 a7+a8+a9+a10=

15 9 ,a8a9=- 代入答案可得. 8 8

【题文】16.某学生对函数 f ( x) ? 2 x cos x 的性质进行研究,得出如下的结论: ①函数 f ( x) 在 ?? ? ,0? 上单调递增,在 ?0, ? ? 上单调递减; ②点 (

?
2

,0) 是函数 y ? f ( x) 图象的一个对称中心;

③函数 y ? f ( x) 图象关于直线 x ? ? 对称; ④存在常数 M ? 0 ,使 f ( x) ? M x 对一切实数 x 均成立. 其中正确的结论是__________ .(填写所有你认为正确结论的序号) 【知识点】函数的单调性与最值函数的奇偶性与周期性 B3 B4 【答案解析】④ f(x)=2x?cosx 为奇函数,则函数 f(x)在[-π,0],[0,π]上单调性相同, 所以①错.由于 f(0)=0,f(π)=-2π,所以②错.再由 f(0)=0,f(2π)=4π,所以 ③错. |f(x)|=|2x?cosx|=|2x|?|cosx|≤2|x|,令 M=2,则|f(x)|≤M|x|对一切实数 x 均成立, 所以④对.故答案为:④. 【思路点拨】由函数是奇函数可得函数 f(x)在[-π,0],[0,π]上单调性相同,所以①错; 通过给变量取特殊值,举反例可得②③不正确;令 M=2,则|f(x)|≤M|x|对一切实数 x 均成 立,所以④对. 【题文】三、解答题(本大题共 6 小题,其中 17 题 10 分,18-22 各 12 分,共 70 分) 【题文】17.(本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,边 a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边,且满足:

b cos C ? (3a ? c) cos B .
(1)求 cos B ; (2)若 BC ? BA ? 4 , b ? 4 2 ,求边 a , c 的值. 【知识点】解三角形 C8
7

【答案解析】(1)

?a ? 2 1 (2) ? ,或 3 ?c ? 6

?a ? 6 . ? ?c ? 2

(1)在△ABC 中,∵bcosC=(3a-c)cosB,由正弦定理可得 sinBcosC=(3sinA-sinC) cosB, ∴3sinA?cosB-sinC?cosB=sinBcosC, 化为: 3sinA?cosB=sinC?cosB+sinBcosC=sin(B+C) =sinA. ∵在△ABC 中,sinA≠0,故 cosB=

1 . 3

(2)由 BC ? BA =4,b=4 2 ,可得,a?c?cosB=4,即 ac=12.…①. 再由余弦定理可得 b2=32=a2+c2-2ac?cosB=a2+c2-

2ac ,即 a2+c2=40,…②. 3

由①②求得 a=2,c=6; 或者 a=6,c=2.综上可得, ?

?a ? 2 ,或 ?c ? 6

?a ? 6 . ? ?c ? 2

【思路点拨】(1)利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦,进而利用两角和公式化 简整理求得 cosB 的值. (2)由 BC ? BA =4 可得 ac=12,再由余弦定理可得 a2+c2=40,由此求得边 a,c 的值. 【题文】18.(本小题满分 12 分) 设数列 ?a n ? 的各项都是正数,且对任意 n ? N * ,都有 (an ? 1)(an ? 3) ? 4 S n ,其中 S n 为数 列 ?a n ? 的前 n 项和. (1)求证数列 ?a n ? 是等差数列; (2)若数列 ?

? 4 ? ? 的前 n 项和为 Tn 求 Tn 。 2 a ? 1 n ? ?
n n ?1

【知识点】数列求和 D4 【答案解析】(1)略(2)

(1)∵对任意 n∈N*,都有(an-1)(an+3)=4Sn,即 4S n = an 2 +2a n -3 . ∴当 n≥2 时,4an=4(Sn-Sn-1)=( an 2 +2a n -3) -( an ?12 +2a n- 1 -3) = an 2 +2a n - a 2 n ?1 -2an-1, 化为(an+an-1)(an-an-1-2)=0, ∵对任意 n∈N*,an>0.∴an+an-1>0.∴an-an-1=2.∴数列{an}是等差数列,公差为 2. (2)由(1),a1=3,d=2,∴an=3+2(n-1)=2n+1. ∴ an 2 -1=(2n+1) 2 -1 =4n(n+1),∴

4 1 1 4 = = ,n∈N*; ? an ? 1 4n(4n ? 1) n n ? 1
2

8

∴Tn=1-

1 n = n ?1 n ?1

【思路点拨】(1)由已知利用“当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1”即可求得 an 与 an-1 的关系,进而证 明数列{an}是等差数列. (2)利用(1)可得

4 1 1 4 = = ,n∈N*,再利用“裂项求和”即可得 ? an ? 1 4n(4n ? 1) n n ? 1
2

【题文】19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,

CD ? 平面 PAD , BC // AD , PA ? PD , O, E 分别为
AD, PC 的中点, PO ? AD ? 2 BC ? 2CD .
(1)求证: AB ? DE ; (2)求二面角 A ? PC ? O 的余弦值. 【知识点】空间中的平行关系空间中的垂直关系 G4 G5 【答案解析】(Ⅰ)略(2)

42 7

(Ⅰ)证明:设 BD∩OC=F,连接 EF, ∵E、F 分别是 PC、OC 的中点,则 EF∥PO, ∵CD⊥平面 PAD,CD?平面 ABCD,∴平面 ABCD⊥平面 PAD, 又 PA=PD,O 为 AD 的中点,则 PO⊥AD, ∵平面 ABCD∩平面 PAFD=AD,∴PO⊥平面 ABCD, ∴EF⊥平面 ABCD, 又 AB?平面 ABCD,∴AB⊥EF, 在△ABD 中,AB2+BD2=AD2,AB⊥BD, 又 EF∩BD=F,∴AB⊥平面 BED, 又 DE?平面 BED,∴AB⊥DE. (Ⅱ)解:在平面 ABCD 内过点 A 作 AH⊥CO 交 CO 的延长线于 H, 连接 HE,AE, ∵PO⊥平面 ABCD,∴POC⊥平面 ABCD, 平面 POC∩平面 ABCD=AH,∴AH⊥平面 POC, PC?平面 POC,∴AH⊥PC. 在△APC 中,AP=AC,E 是 PC 中点,∴AE⊥PC, ∴PC⊥平面 AHE,则 PC⊥HE. ∴∠AEH 是二面角 A-PC-O 的平面角. 设 PO=AD=2BC=2CD=2, 而 AE2=AC2-EC2, AE=

14 2 7 ,AH= ,则 sin∠AEH= , 2 2 7
9

∴二面角 A-PC-O 的余弦值为

42 . 7

【思路点拨】 (Ⅰ)设 BD∩OC=F,连接 EF,由已知条件推导出 EF∥PO,平面 ABCD⊥ 平面 PAD,PO⊥平面 ABCD,从而得到 EF⊥平面 ABCD,进而得到 AB⊥EF,再由 AB⊥ BD,能证明 AB⊥平面 BED,由此得到 AB⊥DE. (Ⅱ)在平面 ABCD 内过点 A 作 AH⊥CO 交 CO 的延长线于 H,连接 HE,AE,由已知条 件推导出∠AEH 是二面角 A-PC-O 的平面角.由此能求出二面角 A-PC-O 的余弦值. 【题文】20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax e
3 x ?1

? bx 3 ? c 在 x ? 1 处取得极值 2b ? c ? 7 , a, b, c 为常数,

(1)试确定 a, b 的值; (2)当 x ? ?? 4,?? ? 时,讨论函数 f ( x) 的单调区间; (3)若存在 x ? 0 ,使得不等式 f ( x) ? c ? 2c ? 1 成立,求 c 的取值范围.
2

【知识点】导数的应用 B12 【答案解析】(1)a=3,b=-4(2)[-4,1]上是减函数,在(1,+∞)上是增函数 (3)c≤0 或 c≥3 (1)f′(x)=3ax2ex-1+ax3ex-1+3bx2, ∵f(x)=ax3ex-1+bx3+c 在 x=1 处取得极值 2b+c+7, ∴?

?

f ?(1) ? 0

? f (1) ? 2b ? c ? 7

即?

?

4a ? 3b ? 0

?a ? b ? c ? 2b ? c ? 7

解得 a=3,b=-4.

(2)由(1)得 f(x)=3x3ex-1-4x3+c,f′(x)=9x2ex-1+3x3ex-1-12x2=3x2[(3+x)ex-1-4], ∴当-4≤x≤1 时,f′(x)≤0,当 x>1 时,f′(x)>0, ∴函数 f(x)在[-4,1]上是减函数,在(1,+∞)上是增函数. (3)由(2)可知,当 x=1 时,f(x)min=-1+c, ∴若存在 x>0,使得不等式 f(x)≤c2-2c-1 成立,则有,-1+c≤c2-2c-1,解得 c≤0 或 c≥3. 【思路点拨】 (1)利用导数与函数极值的关系列出方程组即可求出 a,b 的值; (2)由(1)得 f(x)=3x3ex-1-4x3+c,f′(x)=9x2ex-1+3x3ex-1-12x2=3x2[(3+x)ex-1-4], 利用导数即可求得函数的单调区间; (3)由(2)可知,当 x=1 时,f(x)min=-1+c,则有-1+c≤c2-2c-1,解得即可. 【题文】21.(本小题满分 12 分) 设点 F1 ( ?c,0), F2 (c,0) 分别是椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 (a ? 1) a2

的左、右焦点, P 为椭圆 C 上任意一点,且 PF1 ? PF2 的最小 值为 0 . (1)求椭圆 C 的方程;

10

(2)如图,动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,点 M,N 是直线 l 上的两 点,且 F1M ? l , F2 N ? l ,求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值. 【知识点】椭圆及其几何性质 H5 【答案解析】(1)

x2 2 +y =1 (2)2 2

(1)设 P(x,y),则 PF1 =(x+c,y),=(x-c,y), ∴ PF1 ? PF2 =x2+y2-c2=

a2 ?1 2 x +1-c2,x∈[-a,a],由题意得,1-c2=0?c=1?a2=2, 2 a

∴椭圆 C 的方程为

x2 2 +y =1 ; 2

(2) 将直线 l 的方程 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程 x2+2y2=2 中, 得 (2k2+1) x2+4kmx+2m2-2=0. 2 2 2 2 由直线 l 与椭圆 C 仅有一个公共点知,△=16k m -4(2k +1)(2m -2)=0, 化简得:m2=2k2+1. 设 d1=|F1M|=

?k ? m k 2 ?1

,d2=|F2N|=

k ?m k 2 ?1



当 k≠0 时,设直线 l 的倾斜角为 θ,则|d1-d2|=|MN|×|tanθ|,∴|MN|=

1 ?|d1-d2|, k

∴S=

2m 4m 4 1 1 ? ?d1-d2|?(d1+d2)= 2 = 2 = , k ?1 m ?1 m ? 1 2 k m

∵m2=2k2+1,∴当 k≠0 时,|m|>1,|m|+

1 >2,∴S<2. m

当 k=0 时,四边形 F1MNF2 是矩形,S=2. 所以四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值为 2. 【思路点拨】 (1) 利用 PF1 ? PF2 的最小值为 0, 可得 PF1 ? PF2 =x2+y2-c2=

a2 ?1 2 x +1-c2, 2 a

x∈[-a,a],即可求椭圆 C 的方程; (2)将直线 l 的方程 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程中,得到关于 x 的一元二次方程,由直线 l 与椭圆 C 仅有一个公共点知,△=0,即可得到 m,k 的关系式,利用点到直线的距离公式 即可得到 d1=|F1M|,d2=|F2N|.当 k≠0 时,设直线 l 的倾斜角为 θ,则|d1-d2|=|MN|×|tanθ|, 即可得到四边形 F1MNF2 面积 S 的表达式,利用基本不等式的性质,结合当 k=0 时,四边 形 F1MNF2 是矩形,即可得出 S 的最大值. 【题文】22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax(a ? 0) , g ( x) ? ln x , f ( x) 图象与 x 轴异于原点的交点 M 处的
2

11

切线为 l1 , g ( x ? 1) 与 x 轴的交点 N 处的切线为 l 2 , 并且 l1 与 l 2 平行. (1)求 f (2) 的值; (2)已知实数 t ? R ,求函数 y ? f ?xg ( x) ? t ? , x ? ?1, e? 的最小值; (3) 令 F ( x) ? g ( x) ? g ?( x) , 给定 x 1 , x2 ? (1, ??), x 1 ? x2 , 对于两个大于 1 的正数 ? , ? , 存 在 实 数 m 满 足 : ? ? mx1 ? (1 ? m) x 2 ,

? ? (1 ? m) x1 ? mx 2 , 并 且 使 得 不 等 式

F (? ) ? F ( ? ) ? F ( x1 ) ? F ( x 2 ) 恒成立,求实数 m 的取值范围.
【知识点】导数的应用 B12 【答案解析】(1)2(2)

1 (3)m∈(0,1) 4 1 x ?1

(1)y=f(x)图象与 x 轴异于原点的交点 M(a,0),f′(x)=2x-a y=g(x-1)=ln(x-1)图象与 x 轴的交点 N(2,0),g′(x-1)=

由题意可得 k l1 =k l2 ,即 a=1,∴f(x)=x2-x,f(2)=22-2=2 (2)y=f[xg(x)+t]=[xlnx+t]2-(xlnx+t)=(xlnx)2+(2t-1)(xlnx)+t2-t, 令 u=xlnx,在 x∈[1,e]时,u′=lnx+1>0, ∴u=xlnx 在[1,e]单调递增,0≤u≤e u2+(2t-1)u+t2-t 图象的对称轴 u= ①当 u=

1 ? 2t 1 ≤0 即 t≥ 时,y 最小=t2-t 2 2 1 ? 2t 1 ? 2e ②当 u= ≥e 即 t≤ 时,y 最小=e2+(2t-1)e+t2-t 2 2 1 ? 2t 1 ? 2e 1 ③当 0< <e 即 < t < 时, 2 2 2 1 ? 2t 1 y 最小=y| u= =2 4 1 x ?1 (3)F(x)=g(x)+g′(x)=lnx+ ,F′(x)= 2 ≥ 0 x x
所以 F(x)在区间(1,+∞)上单调递增∴当 x≥1 时,F(x)≥F(1)>0 ①当 m∈(0,1)时,有 α=mx1+(1-m)x2>mx1+(1-m)x1=x1, α=mx1+(1-m)x2<mx2+(1-m)x2=x2,得 α∈(x1,x2),同理 β∈(x1,x2), ∴由 f(x)的单调性知 0<F(x1)<F(α)、f(β)<f(x2) 从而有|F(α)-F(β)|<|F(x1)-F(x2)|,符合题设. ②当 m≤0 时,,α=mx1+(1-m)x2≥mx2+(1-m)x2=x2, β=mx2+(1-m)x1≤mx1+(1-m)x1=x1, 由 f(x)的单调性知,F(β)≤F(x1)<f(x2)≤F(α) ∴|F(α)-F(β)|≥|F(x1)-F(x2)|,与题设不符 ③当 m≥1 时,同理可得 α≤x1,β≥x2,
12

1 ,抛物线开口向上 2

得|F(α)-F(β)|≥|F(x1)-F(x2)|,与题设不符. ∴综合①、②、③得 m∈(0,1) 【思路点拨】 (1)利用导数的几何意义,分别求两函数在与两坐标轴的交点处的切线斜率, 令其相等解方程即可得 a 值,从而得到 f(2)的值; (2)令 u=xlnx,再研究二次函数 u2+(2t-1)u+t2-t 图象是对称轴 u= 抛物线,结合其性质求出最值; (3)先由题意得到 F(x)=g(x)+g′(x)=lnx+

1 ? 2t ,开口向上的 2

1 ,再利用导数工具研究所以 F(x)在 x

区间(1,+∞)上单调递增,得到当 x≥1 时,F(x)≥F(1)>0,下面对 m 进行分类讨论: ①当 m∈(0,1)时,②当 m≤0 时,③当 m≥1 时,结合不等式的性质即可求出 a 的取值 范围.

13


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