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基于AR模型谱估计方法及其应用仿真


基于 AR 模型谱估计方法及其应用仿真
王凯 复旦大学

摘要:功率谱估计是建立在随机信号和周期信号的基础上,同时,也是数字信
号处理领域中重要的应用之一, 它被广泛的应用于各种信号处理中。但有时在实 际应用中我们大多数情况下不能获得具体的信号的表达式, 只能根据有限的数据 样本获得较好的谱估计的效果。 功率谱估计有几种常用的办法,现代功率

谱估计 的提出是因为方差和分辨率性能有缺陷不好的问题,现代谱估计可以分为两种, 一种是非参数模型谱估计,另一种是参数模型谱估计。而基于 AR 模型功率谱的 谱估计算是现代功率谱估计中最为常用的一种方法。本文介绍了现代谱估计理 论,以及模型的功率谱估计的概念与其参数,重点解析了现代谱估计方法的 AR 模型谱估计的方法, 解析 Burg 算法及其实现莱文森杜斌算法。利用 MATLAB 信号 处理工具箱的 AR 模型的仿真结果表明,没有明显的峰值频率偏移和错误,并具 有较高的频率分辨率,特别是在频率带宽性能得到了明显的改善,优于 Burg 算 法莱文森算法杜斌算法。

关键词

功率谱估计;数字信号处理;AR 模型

AR model spectrum estimation method and its application based

on Simulation

Sunkai Information Institute of Huaibei Normal University,235000

Abstract

Power spectrum estimation is also based on the random signal and

the periodic signal, digitalsignal, but alsoOne of the most important applications in the

field of signal processing, it is widely used in various signal processing. But sometimes in

practice.Can't we most cases obtained expression of a specific signal in practical

applications, onlylimited dataSamples obtained better effect of spectral estimation. Power

spectrum estimation is commonly used several methods, the modern power spectrum

Estimation This is because the variance and resolution performance defects are not

good, modern spectral estimation can be divided into two types,A non parametric model

spectral estimation, the other is a parametric model spectral estimation. Based on the AR

model power spectrumSpectrum estimation is the modern power spectrum is a kind of

commonly used method for theestimation of. This paper introduces modern spectral

estimation theory .Theory and model of the power spectrum estimation, the concept and

the parameter, focuses on the analysis of the modern spectral estimation methods AR

Model spectrum estimation, Burg algorithm and its implementation algorithm

of LevinsonDurbin. The use of MATLAB signal .The simulation model of AR processing

toolbox. The results show that, the peak frequency shift and no obvious errors, and

With the high frequency resolution, especially improved significantly in

the frequencybandwidth performance, better than the Burg algorithm

Falai Vincent Durbin algorithm algorithm.

Keywords

power spectrum estimation; digital signal processing; AR model;

目录
1 绪论 .............................................................................................................................................. 5

1.1 功率谱的简介................................................................................................................... 5 1.2 经典谱估计简介................................................................................................................ 5 1.3 现代谱估计简介................................................................................................................ 5 1.4 功率谱估计应用及用途 .................................................................................................... 5 1.5 平稳随机信号的参数模型 ................................................................................................ 6 2. MATLAB 软件介绍 ..................................................................................................................... 9 2.1 MATLAB 软件的简介 ....................................................................................................... 9 2.2 MATLAB 软件组成 ........................................................................................................... 9 2.2.1 MATLAB 的语言 ............................................................................................................ 9 2.2.2 MATLAB 的功能特点 .................................................................................................... 9 2.2.3 MATLAB 的技术特点 .................................................................................................... 9 2.2.4 MATLAB 的地位 .......................................................................................................... 10 3. AR 模型构建及仿真应用流程 .................................................................................................. 10 3.1 AR 模型的构建 ................................................................................................................ 10 3.2 AR 模型阶数的选择 ........................................................................................................ 12 3.3 AR 模型的稳定性分析 .................................................................................................... 12 3.4 莱文森杜斌算法及 MATLAB 仿真 ............................................................................ 14 3.4.1 莱文森杜斌算法的理论分析 ....................................................................................... 14 3.4.2 莱文森杜斌算法的 MATLAB 仿真 ............................................................................ 16 3.5 Burg 算法及 MATLAB 仿真 ........................................................................................... 17 3.5.1 Burg 算法的理论分析 ................................................................................................... 17 3.5.2 Burg 算法的 MATLAB 仿真 ...................................................................................... 19

1 绪论
1.1 功率谱的简介
历史悠久的功率谱估计技术,在过去的几年快速发展。很多诸如矩阵,概 率统计,随机信号等的功率谱估计,也被广泛的运用于通信,天文,勘探等诸多 领域,它们不断地完善着,更新着,并且不断地展现着自己的强大的生命力。 现代谱估计和它的应用非常广泛。从现代谱估计方法来分,可分为参数模 型谱估计和非参数模型谱估计。 现在功率谱的一个重要主城部分就是基于建立参数模型的估计,它的作用 就是提高频率的分辨率。模型的参数,包括 AR 模型,MA 模型,ARMA 模型。 AR 模型则是最常用的一种,本文采用的两种基于 AR 模型谱估计的算法:莱文森 - 德宾算法,burg 算法。

1.2 经典谱估计简介
经典谱估计分为直接法和间接法,主要的是基于傅里叶变换,当数据样本 很大时,结果一般是可以接受的,数据样本很少时,结果就不是那么好了,我们 只能认为除数据之外其余的都是不可参考的,这也是经典谱估计的一个缺陷。

1.3 现代谱估计简介
现代谱估计谱与传统相比,现代谱估计信号模式常用原始信号 模型,信号 被视为白噪声信号的输出通过一个系统通过观察输出信号 ,按照一定的标准,计 算相应的系统功能 , 然后由白噪声和要实现的功能系统输入输出信号获得功率 谱。由系统的功能和白噪声得到的输出序列,实际上是两个输出信号来作为原始 观察来继续或估计。数据长度增加,光谱分辨率可以提高!因此,现代谱估计比经 典谱估计更好一些。

1.4 功率谱估计应用及用途
功率谱估计被广泛地应用在各种信号处理。在许多地方的信号处理的需要, 预先知道的信号的功率谱密度。例如,当我们想知道的系统的 BSA Hw 的,通过 该系统的白色噪声的振幅频率特性, 然后从样品系统输出的估计的功率谱密度估 计, 在 PSD 的输出信号, 可以估算该系统的频率特性。 检测从宽带噪声窄带信号。 这是功率谱估计中的信号处理的一个重要应用。 但是这样的前提是要求功率谱有 着良好的分辨率, 否则是不可能被清楚地检测到。谱估计的分辨率的定义可大致 以两个独立的频谱最低频率分量之间的差距来区分, 提高谱估计的分辨率已经成 为当前谱估计是一个重要的研究方向。

1.5 平稳随机信号的参数模型
建立参数模型法的过程是: ① 假设 x?n? 是由一个输入序列 u ?n ? 激励的一个线性系统 H ?z ? 的输出 ② 当有已知的 x ?n ? ,或其自相关函数 rx ?m ? 来估计 H ?z ? 的参数。 ③ 由 H ?z ? 的参数来估计 x ?n ? 的功率谱。
H ?z ? 是一个因果的线性移位不变离散时间系统。首先,系统是稳定的,单位

抽样响应 h ?n ? 是确定性的。输出序列 x ?n ? 既可以是平稳的随机序列,也可以是确 定的时间序列。假设 x ?n ? 是确定性的,那么 u ?n ? 是一个冲激序列,如果 x ?n ? 是随 机的,那么 u ?n ? 是一个白噪声序列。 无论 x ?n ? 是确定性信号还是随机信号, u ?n ? 和 x ?n ? 之间总有以下的输入、输 出关系:

x?n ? ? ?? ak x?n ? k ? ? ? u ?n ? k ? bk k ?1 k ?0 x?n ? ? ? h?k ?u ?n ? k ?
k ?0 ?

p

q

(2-1)

(2-2)

对(2-1)及(2-2)式两边分别取 Z 变换,且假设 b0 ? 1 ,可以得到
H ? z ? ? B?z ? / A?z ? A? z ? ? 1 ? ? ak z
k ?1 p ?k

(2-3)

B ? z ? ? 1 ? ? bk z
k ?1

q

?k

H ?z ? ? ? h?k ? z
k ?0

?

?k

如果我们想让 H ?z ? 是一个最小的而且稳定的系统, 那么 A?z ? , B?z ? 的零点就应该 都在单位圆内。假设 u ?n ? 是一个方差为σ2的白噪声序列,因随机信号通过线性系

统的理论可知,输出序列 x ?n ? 的功率谱
j? ? ? B ? e ? ? ? ? B ? e e B ? p ?e ? ? A ?e ?A?e ? A?e j? ?
j? 2 j? ? j? 2 x ? j? j? 2 2

(2-4)

如果这样,假使模型的参数 a1 , a2 ,?, a p , b1 , b2 ,?, bq 及激励白噪声的方差σ2已知, 那么由上式即可求出输出序列 x ?n ? 的功率谱。在(2-1)式中,如果: ① b1 , b2 ,?, bq 全为零,那么(2-1)、(2-3)及(2-4)式分别变成:
x?n ? ? ?? ak x?n ? k ? ? u ?n ?
k ?1 p

(2-5)

1 H ?z ? ? ? A? z ?

1 1 ? ? ak z
k ?1 p ?k

(2-6)
2

p ?e
x

j?

??

?

2

p 1? ? a k e? jak k ?1

(2-7)

这上面的三个式子给出的模型叫做自回归模型,简称AR模型,也是全极点模 型。 “自回归”的涵义: 这个模型现在的输出是现在的输入和过去 p 个输出的加 权和。 ②如果 a1 , a2 ,?, a p 全部都是零,那么给出的这个模型就叫做移动平均模型, 简称MA模型,MA模型是全零点的模型。 ③如果 a1, a2 ,?, a p , b1, b2 ,?, bq 不都是零,则(2-1)式给出的模型叫做自回归移动平均模型,简称为ARMA模型。所以,ARMA模型是一个既有极点、又有零 点的模型。 显然,ARMA模型是一个极一零模型,反映了峰谷功率谱的价值,AR模型能够 反映在MA模式的高峰期,并反映在山谷中的频谱。 AR,MA和ARMA功率谱估计是

最重要的参数模型。 AR模型的正则方程是一个线性方程组,以及MA和ARMA模型 是一个非线性方程。由于AR模型有着不错的表现,AR模型是应用最广泛的研究, 是一种广泛使用的模型。

2. MATLAB 软件介绍
2.1 MATLAB 软件的简介
MATLAB 语言是美国的数学工程公司 Mathworks 推出的电脑软件,从 1984 年正式版到现在,其内容涉及矩阵代数,微积分,应用数学,科学和技术,有限 元法,信号与系统,神经网络,小波分析和应用,数字图像处理,计算机图形学, 电子电路,电气机械,自动化控制和通信技术,物理学,力学,机械振动。本文 讨论了 AR 模型谱估计建模方法也要使用 MATLAB 软件应用程序。 在高等学府,MATLAB 已经成为学生掌握基本技能。在研究设计单位和工业 部门,MATLAB 已经走出实验室,并得到了广泛的应用研究和解决具体工程问题。 在 MATLAB 的环境中,用户可以编程和图形的绘制。 AR 模型谱估计方法及 其仿真也在模拟编程和图形渲染环境中的应用。 这是 MATLAB 在本文中的关键点。

2.2 MATLAB 软件组成
MATLAB 主要由五部分组成,包括语言,库,图像处理,应用程序编程接口。

2.2.1 MATLAB 的语言
MATLAB 语言是主要使用的矩阵阵列的编程语言, 类似于 C 语言, 语言简单, 灵活,易读,可用于复杂的程序,也可以用来编写一个简单的程序。

2.2.2 MATLAB 的功能特点
(1)小的错误率,强大的数值计算功能。 (2)数据分析和科学计算可视化功能。 (3)强大的符号计算。 (4)强大的非线性动态系统建模和仿真功能。 (5)程序界面灵活。 (6)所述的文字处理功能。

2.2.3 MATLAB 的技术特点
(1)界面友好,编程效率高。 (2)强大的,可扩展强的功能。 (3)图形功能,灵活方便。 (4)在线帮助,有利于学习。

2.2.4 MATLAB 的地位
MATLAB 是大学生需要掌握的基本软件,也是信号和图像处理以及系统仿 真,科学计算的主流软件。

3. AR 模型构建及仿真应用流程
3.1 AR 模型的构建
假设 u ?n ? 、 x ?n ? 是平稳的随机信号, u ?n ? 是白噪声,方差是σ2,然后,我 们建立AR模型的参数 a k 和 x ?n ? 的自相关函数的关系,也就是AR模型的正则方 程。 将方程(2-5)两边同乘以 x?n ? m? ,并求平均值,得

r x ?m? ? E?x?n?x?n ? m?? ? E ??? ? ak x?n ? m ? k ? ? u?n ? m?? x?n??
??
k ?1

??

p

? ?

? ?
(4-1)

r ?m? ? ?? a E?x?m ? n ? k ?x?n??? E?u?n ? m?x?n??
x k ?1 p k

p

r x ?m? ? ?? ak r x ?m ? k ? ? r xu ?m?
k ?1

由于 u ?n ? 是方差为σ2的白噪声,由(2-2)式,则有

? ? h?k ?? ?m ? k ? ? ? h?? m ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? m ? E u n ? m x n ? E u n ? m h k u n ? k ? ? ? ? ? ? r xu k ?0 k ?0 ? ? 2

? ?0 E?u ?n ?x?n ? m ?? ? ? 2 ? ?? h?0?

m?0 m?0

(4-2)

由Z变换的定义 lim H ?z ? ? h?0? ,在(2-6)式中.当 z ? ? 时,有 h?0? ? 1 。综
x??

合(4-1)及(4-2)两式,有
? p ?? ? a k r x ?m ? k ? ? k ?1 r x ?m? ? ? p 2 ?? ? k ? ?? ? a r x k ? ? k ?1 m ?1 m?0

(4-3)

上式应用了自相关函数的偶对称性,即 r x ?m? ? r x ?? m?上式可写成矩阵形式:

?r x ?0? ? ?r x ?1? ? ?r x ?2? ?? ? ? p? ? ?r x

r ?1? r ?0? r ?1?
x x x

r ?2? r ?1? r ?0?
x x x

? ? ? ?

?1 ? ? r ? p? ? ? ? ? ?? r ? p ? 1? ? ?a ? ?0 ?? ? ? r ? p ? 2?? ?a ? ? ?0
x x 1 x

?
x x

?
x

?

r ? p ? 1? r ? p ? 2?

r ?0?

?? ? ? ?? ? ? ?? ?a p ? ?

2

? ? ? ? ? ?? ? ? ? 0 ? ? ? ?
2

(4-4)

以上两式都是AR模型的正则方程,也叫做Yule-Walker方程。系数矩阵不单单是 对称的,而且和任一条对角线上的,并且沿着主对角线平行的元素都是相等的, 这样的矩阵称为Toeplitz矩阵。若 x ?n ? 是复过程,那么 r x ?m ? ? r x ?? m ? ,系数矩
*

阵是Hermitian对称的Toeplitz矩阵。(4-4)式可简单地表示为

? 2? ? Ra ? ? ? ? ?o p ? ?
式中 a ? 1, a1, a2 ,?, a p , O p 为 p ?1 全零列向量, R 是 ?P ? 1?? ?P ? 1? 的自相关矩
r

?

?

阵。 从 这 里 我 们 可 以 看 到 , 一 个 p 阶 的 AR 模 型 共 有 p ? 1 个 参 数 , 即

a1, a2 ,?, a p ,? 2 ,只要我们知道 x ?n ? 的前 p ? 1 个自相关函数 rx ?0?, rx ?1?,?, rx ? p ? ,
由(4-2),(4-3)及(4-4)式的线性方程组就可以求出这 p ? 1 个参数,然后将它们 带入(2-7)式,就可以求出 x ?n ? 的功率谱。

3.2 AR 模型阶数的选择
AR模型的阶次 p 一般建立之前是未知的,以后需要选择一个较大的值,递 归的过程来确定。 莱文森在使用递归时间,首先设置每个组的由低阶到高阶值的 参数,最小预测误差功率 ? 的递减的。随着这个过程中,当 ? 达到所指定的期望 值,或是稳定时,那么即时阶次就是应选的正确阶次。 由于 ? 是单调下降的,所以, ? p 降到何值,难以确定,因此,有两个常用 的准则被提出,它们是: (1) 最终预测误差准则:
FPE?k ? ? ? N ? ?k ? 1? N ? ?k ? 1?

k

(2)信息论准则:
AIC ?k ? ? N ln

?? ?? 2k
k

式中 N 为数据 x N ?n ? 的长度,当阶次 k 由1 增加时,FPE?k ? 和 AIC?k ? 都将在 某一个 k 处取得极小值。将此时的 k 定为最佳阶次 p 。在实际的应用中,数据范 围比较小时,得到的阶次也就偏低,并且二者得出的结果差不多一致。所以,上 式仅为阶次的选择提供了方法,而对某一个具体信号 x ?n ? ,阶次的具体值,还要 在应用过程中作多次比较后,才能确定其值。

3.3 AR 模型的稳定性分析
一个方差是σ 2的白噪声 u ?n ? 激励一个全极模型 H ?z ? ,这就产生了AR模型的 输出 X ?n ? 。系统且理论的看, H ?z ? 必定是稳定的,即 H ?z ? 的极点必须在单位圆 内。我们为了保证 x ?n ? 是平稳的,便也要求 H ?z ? 的极点一定要在单位圆内。若
H ? z ? 有一个极点在单位圆外, 那么 x ?n ? 的方差将趋近于无穷, 因此 x ?n ? 是非平稳

的。 H ?z ? 的分母多项式 A?z ? 的系数是从(4-4)式的Yule-Walker方程中求解得 出来的,a1 , a2 ,?, a p 能否保证 A?z ? 的零点都在单位圆内, 这就取决自相关矩阵 R 的性质。 重新定义(4-4)式的自相关矩阵 R 为:

?r x ?0? ? ?r ?1? R p?1 ? ? ?x ? ? ?r x ? p ?

r ?1? r ?0?
x x

? ? ?

r ? p? ? ? r ? p ? 1??
x x

?

?

r ? p ? 1?
x

r ?0?
x

? ? ? ?

并给定行列式的值为 det ?Rp?1 ?。 得到以下三个结论来说明矩阵 R p ?1 的性质及与AR 模型稳定性的关系。 结论一: 如果 R p ?1 是正定的, 那么, 由Yule-Walker方程解出的 a1 , a2 ,?, a p 构 成的 p 阶AR模型是稳定的,且是唯一的。也即 A?z ? 的零点都在单位圆内。此性 质称为AR模型的最小相位性质。 结论二:若 x ?n ? 由 p 个复正弦组成,即

x?n? ? ? Ak exp j ?? k n ?? k ?
p 2 k ?1

?

?

式中 Ak ﹑ ?k 为常数, ?k 是在 ?? ? ~ ? ? 内均匀分布的零均值随机变量, x ?n ? 的自 相关函数为
2 r x ?m? ? ? Ak exp? j ?k m? p k ?1

则 由 前 p ? 1 个 值 rx ?0?, rx ?1?,?, rx ? p ? 组 成 的 自 相 关 矩 阵 R p ?1 是 奇 异 的 , 而

R1 , R2 ,?, Rp 是正定的,即

det Rp?1 ? 0, det?Rk ??0

? ?

k ? 1,2,?, p

结论三:如果 x ?n ? 由 p 个正弦组成(实的或复的),则 x ?n ? 是可以预测的,即预 测误差等于零。

3.4 莱文森杜斌算法及 MATLAB 仿真 3.4.1 莱文森杜斌算法的理论分析
假 定 am ?k ? 为 p 阶 AR 模 型 在 阶 次 为 m 时 的 第 k 个 系 数 ,

k ? 1,2,?, m, m ? 1,2,? p , ? m 为 m 阶时的前向预测的最小误差功率。由 (4-4)

式,当 m ? 1 时,有
?r x ?0? ? ?r x ?1? ? ?1 ? ?? ? r ?1? ? ?? ??? ? ? ? 1 ? ? 0 ? ?a ? ? r ? ?0 ? ?
x 1 x 1

得出

a ?1? ? ? r ?1? / r ?0? ? ? r ?0? ? r ?1? / r ?0? ? r ?0??1 ? a ?1??
1 x x 2 x 2 1 x x x 1

(4-5) (4-6)

假定初始条件,那么

? ? r ?0? ? ? ? ?1 ? a ?1??
0 x 2 1 0 1

再假定第 m 阶时的第 m 个系数,即 am ?m ? 为 km , km 称为反射系数,所以,由 Toeplitz 矩阵的性质,可得如下莱文森杜斌递推算法:

k

m

? m ?1 ? ?? am ?1 ?k ? r x ?m ? k ? ? r x?m ?? ? ? ? ? k ?1

(4-7)

?

am ?k ? ? am?1 ?k ? ? k m am?1 ?m ? k ?

m ?1

(4-8) (4-9)

?

m

??

m ?1

?1 ? k ?
2 m

莱文森杜斌算法从低阶开始递推,直到阶次 p ,给出一个阶次时的所有参数,即

am ?1?, am ?2?,?, am ?m?, m ? 1,2,?, p 。这一特点帮助我们选择AR模型的合适阶次。
由于线性预测的最小均方误差总是大于零的,由(4-9)式,必有

km ? 1
若 km ? 1 ,那么递推就停止。由反射系数的这一特点,可得出预测误差功率的 一个很重要的性质:

? ??
p

p ?1

?? ? ? ? ?
1

0

由以上可知,对一个 AR? p ? 过程 x ?n ? ,可等效地用三组参数来表示它: ① p ? 1 个自相关函数 rx ?0?, rx ?1?,?, rx ? p? ; ② p ? 1 个AR模型参数 a p ?1?, a p ?2?,?, a p ? p?,? 2 ; ③ 反射系数, k1 , k2 ,?, k p 及 rx ?0? 。 并且三组参数可以互相地导出。 (4-5)~(4-9)式的递推导是建立在 x ?n ? 的前 p ? 1 个自相关函数已知的基础上,在 实际应用中, 我们常常不能精确地确定 x ?n ? 的自相关函数, 只能确定的是 N 点数 据,即 xN ?n?, n ? 0,1,?, N ? 1 ,为此,我们可由:

?x ?m?, m ? 0,1,?, p ; ①首先由 x N ?n ? 估计 x ?n ? 的自相关函数,得 r
?x ?m ? 代替上述递推算法中的 rx ?m ? , ②用 r 重新求解Yule-Walker方程,此时求

? p ?1?, a ? p ?2?, a ? p ? p?, ? p ; 出的AR模型是真实参数的估计值,即 a
③将这些参数带入(2-7)式,得到 x ?n ? 的功率谱 Px e j? 的估计,即

? ?

? ? P ?e ? ?
j AR

?

?
p 2

2? p ? ? j lk 1? ? a k e N k ?1

?

?

?
p 2

N ?1 ? ? j 2? lk ? ak e N k ?0

对 ? 在单位圆上均匀抽样,设分点为 N 个,则得到离散谱

? ? e P ? ?
AR

j

2? l N

? ?? ?

?

?

p 2

2? p ? ? j lk 1? ? a ke N k ?1

?

?

?
p 2

N ?1 ? ? j 2? lk ? ak e N k ?0

式中 a0 ? 1, a p?1,?, aN ?1 ? 0 。这样,上式可用FFT快速计算。

3.4.2 莱文森杜斌算法的 MATLAB 仿真
莱文森杜斌算法的MATLAB仿真程序如附录: (一)莱文森杜斌算法所示。 (1) 当阶数=10时得到的仿真结果如图4-1所示。

图4-1 阶数=10时莱文森杜斌算法得到的仿真结果

(2) 当阶数=15时得到的仿真结果如图4-2 所示。

图4-2 阶数=15时莱文森杜斌算法得到的仿真结果 仿真结果:莱文森杜斌算法得到的频率谱线波动性小,能很好的分辨出两个 频率值, 而且没有出现假峰现象。当增大阶数时得到的结果跟阶数小的结果不相 上下,并没有增大频率分辨率,反而增大了计算次数。

3.5 Burg 算法及 MATLAB 仿真 3.5.1 Burg 算法的理论分析
Burg算法是较早提出的建立在数据基础上的AR系数求解的有效算法。 它的 特点是: ①令前后向预测误差功率之和

?
为最小。

fb

?

b 1? f ?? ? ? ? ? ? 2?

(4-10)

② p f 和 p b 的求和范围从 p 至 N ? 1 ,即 e f ?n ?, eb ?n ?前后都不加窗,这时:

?

f p b

?

1 N ?1 f ? N ? P n? p e p

?n? ?n?

2

(4-11) (4-12)

1 N ?1 b ?p? N ?P? ep n? p

2

③在上式中,当阶次 m 由 1 至 p 时, e f ?n ?, eb ?n ?下式的递推关系,即

e ?n? ? e ?n? ? k e ?n ? 1? e ?n? ? e ?n ? 1? ? k e ?n? e ?n? ? e ?n? ? x?n?
f f b m m f m ?1 m ?1 m m ?1 b b ? f m m ?1 b 0 0

(4-13) (4-14) (4-15)

式中 m ? 1,2,? , p 。
fb 如此, (4-10)式的 p fb 仅仅是反射系数 km , m ? 1,2,?, p 的函数。 在阶次 m 时, 令 pm

相对 km 为最小,就可估计出反射系数。 将(4-11)、(4-12)及(4-13)式代入(4-10)式,令 ?p fb ?km ? 0 可得使 ? fb 为最

? 为 小的 k m

? k

m

?

? 2 ? em ?1 ?n ? 1?
f

N ?1

f ? e m ?1 n?m

N ?1

?n?

n?m 2

? ? eb m ?1
n?m

N ?1

?n?1?

2

(4-16)

? ?1。 ? 满足 k 式中 m ? 1,2,? p 。按此式估计出的 k m m

? 后,在阶次 m 时的AR模型系数依旧由莱文森算法递推求出 ④按上式估计出 k m

? ? ? ? a ?k ? ? a ?k ? ? k a ?m ? k ? ? ? a ?m? ? k ? ? ? ? ? ? ?1 ? k ?
? m m m ?1 m m ?1 m 2 m m ?1 m

(4-17) (4-18) (4-19)

式中 k ? 1,2,?, m ? 1 。上面三式是假定在第 ?m ? 1? 阶时的AR参数已求出。 Burg算法的递推步骤是:
b ① 由初始条件 e0f ?n? ? e0 ?n? ? x?n? ,再由(4-16)式求出 k?1 ;

② 由 r x ?0? ?

?

1 N

? ? ? x?n? 得 m ? 1 时参数: a ?1? ? k , ?
N ?1 n ?0 2

1

1

? 2? ? ? ?1 ? k ? r x ?0? ; 1 1 ? ?

? 和(4-15)式求出 e f ?n ?, eb ?n ?,再由(4-16)式估计 k ? ; ③ 由k 1 2 1 1

④ 依照 (4-17) 、 (4-18) 及 (4-19) 式的莱文森递推关系,求出 m ? 2 时的
?2 。 ?2 ?1?, a ?2 ?2? 及 ? a

⑤ 重复以上过程,直到 m ? p ,求出所有阶次时的AR参数。 上述递推过程是建立在数据基础上的,避免了先估计自相关函数。 若假定(4-16)式的分母为:

f DEN m ? n? e m ?1 ?m

N ?1

?n?

2

? ? eb m?1
n?m

N ?1

?n?1?

2

? 递推计算: 可以证明 DENm 可以由 DENm ?1 和 k m ?1

? 2? ? f ? 1 ? DEBm ? ? DEN m?1 ? em?1 k m ? 1 ? ?
因此,可以有效地提高计算速度。

?m?

2

? eb m?1

?N ?1?

2

3.5.2 Burg 算法的 MATLAB 仿真
Burg算法的MATLAB仿真程序如附录:(二)Burg算法所示。 (1) 当阶数=10时得到的仿真结果如图4-3所示。

图4-3 阶数=10时Burg算法得到的仿真结果 (2) 当阶数=15时得到的仿真结果如图4-4 所示。

图4-4 阶数=15时Burg算法得到的仿真结果 仿真结果分析: 仿真结果:基于所述光谱分辨率的AR模型burg算法是非常高的,在频谱的波动,

并且能够区分两个频率值是明确的,有大量的假峰未出现。显示器可以是很好的 区分在上面的图象不同的情况下,2次频率的两个峰,就证明了阶数的增加,并 没有提高频率分辨率,但计算量增加。用莱文森 - 德宾算法与burg算法相比, burg因为它不使用自相关估计方法,结果与真正的值更接近,但也可以推断,所 以伯格算法比莱文森 - 德宾算法更好。

结论
本文主要介绍了 AR 模型谱估计方法的现代方法来估计谱估计。 由于经典谱估计 中的各种缺陷的存在,在最近几年的现代谱估计方法。在现代谱估计,主要介绍 了莱文森 - 德宾递归算法和 Burg 递推算法。 经典谱估计方法不符合经典谱估计, 具有分辨率低,并且功率谱密度的假设中的既不是平均的也不是限制,所以,经 典谱估计方差性能较差。 现代谱估计不再简单观察未知的外侧的区域被假定为零,但在第一,根据数据信 号来估计模型参数, 方法为信号功率谱估计的输出功率的模式,避免了数据观察 区以外的假设问题。克服经典谱估计的缺陷。 现代谱估计是参数模型谱估计方法的一个重要的内容,其中,隐藏的数据的 AR 模型的频谱估计方法和推断的自相关函数,在不存在的情况下的长度,可能会超 过一个给定的长度, 并分辨率不受由信号源的长度影响,该研究主要是现代谱估 计的功率谱估计方法基于 AR 模型,经典谱估计在这些方面是有些距离的。另一 方面从模拟结果可以看出表明频率莱文森 - 德宾的 AR 模型的功率谱曲线可以 大致明确区分间隔远,没有出现假峰,和列文森 - 杜宾递归算法来估计所述时 间 - 频率分布相比,谱估计等方法是优秀的,性能提升不少。唯一的缺陷是频 率间隔比较接近的分辨率和探测能力不是很好。此时,我们需要改进的 AR 模型 的阶次,伯格算法中的功率谱曲线分辨率比莱文森 - 德宾算法在同一时间分辨 率更好,低阶 AR 模型不仅能分辨出相对接近的频率而且谱线是光滑的。在高阶 情况下的功率谱估计的分辨率, 还有赤道的地区没有频率分量。但如果模型阶选 择过高或过低,则功率谱可能不反映峰值,有可能是一个假的峰值,所以谱估计 的质量受模型顺序,这是 AR 模型谱估计方法屈指可数的缺点之一。 现代谱估计涉及面广, 适用于主题及邻近地区非常广阔。 谱估计从现代的方法中, 一般可分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计,参数模型谱估计有 AR 模型, MA 模型, ARMA 模型, PRONY 指数模型;非参数化模型谱估计有最小方差方法, 多组分等的 MUSIC 法..一方面,从源来分,可分为两个一维谱估计,二维谱估 计和多信道估计;另一方面,从目前的情况的统计信息,大部分工作是基于 2 阶 矩(方差,相关函数,功率谱密度),因为该功率谱密度的基础上,是频率的函 数,缺少相位信息中,对应于,人们都在增加谱估计基于从高阶关于建立方法。 最后,通过的信号的特性的分析,因为在此之前,我们了解到基于平稳随机信号 来检查频谱分量, 它不随时间而改变。 对于非平稳随机信号, 随时间的光谱变化。 通过最近十年, 二十年的研究, 维格纳分布的时频分析的代表已逐步发展成为一 个新的研究方向,同时也将形成新的现代谱估计研究领域。


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