当前位置:首页 >> 农林牧渔 >>

曲面论的基本定理 曲线论中, 我们在 R - x2


§2.7 曲面论的基本定理
曲线论中, 我们在 R3 的合同变换群观点下讨论了曲线的两个基本不变量—曲率和挠率; 反过来, 曲线论的基本定理告诉我们, 这两个基本量可以完全刻画曲线, 即“给出两个连续 函数 k (s) > 0, τ (s) , 则能确定惟一(允许相差一个合同变换) 一条曲线 C : r = r (s) , 以 s 作 为弧长参数, 且以 k (s

), τ (s) 为其曲率和挠率.” 曲面论中, 我们同样讨论了曲面的两个基本不变量—第一基本型和第二基本型, (至于 曲面上曲线的弧长、两条曲线的夹角、曲面域的面积、法曲率、主曲率、高斯曲率, 平均 曲率等都是由第一基本型和第二基本型完全确定的量), 它们既刻画了曲面上曲线的弧长 微元, 又反映了曲面在空间中的形状, 类似于曲线论的基本定理, 我们自然提出如下问题: 给出两个关于 du, dv 的二次微分形式, E (u, v )du2 + 2F (u, v )dudv + G(u, v )dv 2 , L(u, v )du2 + 2M (u, v )dudv + N (u, v )dv 2 , 能否确定一个曲面 S : r = r (u, v ) , 使得它以这两个微分形式作为它的第一和第二基本形 式? 如果这样的曲面存在的话, 它是否惟一? 事实上, 要确定一张曲面 S : r (u, v ) = {x(u, v ), y (u, v ), z (u, v )} 只需要确定三个函数 x(u, v ), y (u, v ), z (u, v ) , 而给出了两个微分形式相当于给出了六个函数 E (u, v ), F (u, v ), G(u, v ); L(u, v ), M (u, v ), N (u, v ) . 因此可以想象到, 若由给出的六个函数可以确定一张曲 面, 以它们为第一及第二基本形式系数, 那么这六个函数之间一定存在着某种关系, 而且可 以猜想到这六个函数之间应满足三个关系. 本节的目的在于找出这三个关系, 即Gauss方程 和Codazzi方程, 然后证明当六个函数满足Gauss方程和Codazzi方程时, 则存在一张曲面, 它的第一和第二基本形式正好是给出的两个二次微分形式, 并且在相差一个 R3 的合同变 换下, 曲面是惟一的. 【注 1】 曲线论的情形, 要确定一条曲线 C : r (s) = {x(s), y (s), z (s)} , 只需要确定三 个函数 x(s), y (s), z (s) , 而我们给出了三个条件, 即以已知连续函数 k = k (s) 和 τ = τ (s) 分 别作为曲线的曲率和挠率, 以 s 作为曲线的弧长. 因此, 一般来说我们能确定曲线. 另一种观点, 既然曲率和挠率分别刻画了曲线的弯曲程度和扭曲程度, 而曲线在空间只 表现为这两种形态, 因此, 用这两个基本量可以确定曲线. 2.7.1 曲面 论的基 本公式 112

在曲线论中, 我们在曲线上每一点取三个互相垂直的单位矢量 α, β , γ , 并且把它们 对于曲线的弧长的导矢量写成它们自己的线性组合. 这样就得到了曲线论的基本公式— Frenet-Serret公式, 它们在曲线论中占有中心的位置. 在曲面论里, 我们在曲面上每一点已经引进了三个不共面的矢量 r u , r v , n . 我们若把这 三个矢量对 u, v 的偏导矢量写成这三个矢量的线性组合, 将得到五个公式, 它们可以称为曲 面论的基本公式— Gauss 公式和 Weigarten公式. 但是, 由于矢量 r u , r v 一般不是单位矢 量, 也不垂直, 也由于一般不能找到参数 u, v 像曲线弧长那样具有普遍的不变意义, 如果我 们不引进一整套完全新的记号, 所得到的公式是比较复杂而难以运用的. 为此我们引进如 下一系列新记号. 原记号 r = r (u, v ), n = n(u, v ), ru , rv ; nu , nv , E, F, G; EG ? F 2 , LN ? M 2 , dr = r u du + r v dv, ru × rv , n= |r u × r v | I = (dr )2 = Edu2 + 2F dudv + Gdv 2 , II = Ldu2 + 2M dudv + N dv 2 , L, M, N, r uu , r uv , r vv 新记号 r = r (u1 , u2 ) n = n(u1 , u2 ) r i (i = 1, 2); ni (i = 1, 2) g11 , g12 , g22 ; b11 , b12 , b22
2 g11 g22 ? g12 ≡g

r ij (1 ≤ i, j ≤ 2)

b11 b22 ? b2 12 ≡ b
2

dr =
i=1

r i dui

r1 × r2 n= √ g
2

I = (dr )2 =
i,j =1 2

gij dui duj

II =
i,j =1

bij dui duj

为了书写方便, 我们将采用Einstein求和约定: 在一个单项式中, 若一个指标字母(以 i, j, · · · 或 α, β, · · · 表 示)作 为 上 标 和 下 标 各 出 现 一 次, 则 该 式 就 表 示 对 这 个 指 标 字 母 从1到2的求和式, 而上下指标多对重复出现就表示该式是多重求和式, 这样我们将省略求 和号 . 需要注意的是, 不同的求和要用不同的重复上下指标字母. 113

现在我们可以直接令 ? ? ? ?r ij = ? ? ?ni =
j 其中 Γk ij , λij , ?i 都是待定系数. 2 k=1 2 j =1

Γk ij r k + λij n, i, j = 1, 2 (7.1) i = 1, 2

?j i rj ,

? 确定 λij ? 确定 Γk ij

(7.1)的前一式两边与 n 作内积, 即得 λij = bij (第二基本形式系数). ?gij = r il · r j + r i · r jl , ?ul ?gil = r ij · r l + r i · r lj , ?uj ?gjl = r ji · r l + r j · r li , ?ui
2

edgij = r i · r j gil = r i · r l gjl = r j · r l 注意到 r ij = r ji , 所以 1 2

? ? ?

l = 1, 2 l = 1, 2 ed l = 1, 2

?gil ?gjl ?gij + ? ?uj ?ui ?ul

= r ij · r l =
k=1

Γk ij gkl ,

? ?1, i = l 2 命 (g ij ) 是 (gij ) 的逆矩阵, 即 ,则 g ik gkl = δli = ?0, i = l k=1
2

Γk ij =
l=1

1 kl g 2

?gil ?gjl ?gij + ? ?uj ?ui ?ul

,

i, j, l = 1, 2

(7.2)

k Γk ij 称为Christo?el记号, 简称克氏记号, 显然 Γij 由曲面的第一类基本量完全确定. ? 确定 ?j 将(7.1)的后一式两边与 r k 作内积, 得到 i

?j i

2

=?
k=1

g jk bik .

至此我们得到了曲面论的 Gauss公式 和 Weigarten 公式(也称为曲面的 运动方程): ? 2 ? ?r ij = Γk (Gauss formula) ? ij r k + bij n,
k=1

? ? ?ni = ?

2

(7.3) g jk bki r j , 114 (Weigarten formula)

k,j =1

2.7.2 曲面 论的基 本方程 和 Gauss 定 理 现在我们利用曲面的运动方程来研究曲面的第一、第二基本形式系数之间的关系. 设 C k 阶 (k ≥ 2)曲面 S 的方程为 r = r (u1 , u2 ) , 则曲面的基本公式为 ? ?r ij = Γk r k + bij n ij ?n = ? bk r , (bk = g kl b ),
j j k j lj

(7.4)

对向量 r i , n 运用二阶连续偏导数可交换次序的法则, 必须成立 r ijl = r ilj , 因此必须有 ? Γk ij rk + ?ul ? Γk il rk + ?uj Γk ij ( Γk il ( ?bij n + bij (? ?ul ?bil Γm n + bil (? kl r m + bkj n) + ?uj Γm kl r m + bkl n) + bk l rk ) bk j r k ),

=

利用 r 1 , r 2 , n 是线性无关就得出 ? Γk ? Γk ij il + ? ?uj ?ul
k Γm ij Γml ? k k k Γm il Γmj = (bij bj ? bil bj ),

(7.5) (7.6)

?bij ?bil ? j + l ?u ?u

Γm ij bml ?

Γm il bmj = 0,

因此曲面 S 的第一, 第二基本形式系数 gij 、bij 必须满足(7.5), (7.6)两式, 我们称这两组 方程为 曲面的基本方程, 其中(7.5)式称为 Gauss 方程, (7.6)式称为 Codazzi 方程, 合称为 Gauss-Codazzi 方程, 或称为曲面的 结构方程. 【注 2】 当然我们从 nji = nij , 也可以推出第一, 第二基本形式系数所满足的关系 式, 但可以证明由 nij = nji 得出的关系式可由 Codazzi 方程推出, 因此得不出新的关系式 了. 参阅苏步青等著《微分几何》 P125?126 . 在(7.5)和(7.6)中, 由于 i, j, k, l = 1, 2 , 所以Gauss方程和Codazzi方程是两组方程, 这两 组方程形式上很复杂, 但实质上, Gauss方程中只有一个独立的方程, 而Codazzi方程中有两 个独立的方程, 下面我们分别给予说明. ? Codazzi方程
?bij ?ul

?

?bil ?uj

+

Γm ij bml ? 115

Γm il bmj = 0

显然当 j = l 时, Codazzi 方程为恒等式, 而且当 j 与 l 对调时, Codazzi 方程不变. 故可令 j = 1, l = 2 , 则 ?bi1 ?bi2 ? + ?u2 ?u1 ?b11 ?b12 ? + ?u2 ?u1 ?b21 ?b22 ? + ?u2 ?u1 Γm i1 bm2 ? Γm 11 bm2 ? Γm 21 bm2 ? Γm i2 bm1 = 0, Γm 12 bm1 = 0, Γm 22 bm1 = 0,

当 i = 1 时,

(7.7)

当 i = 2 时,

(7.8)

这说明Codazzi方程包含两个独立的关系式. ? Gauss方程 为考察高斯方程中独立关系式的个数, 我们先引进记号, 令
k = Rijl

? Γk ? Γk ij il ? + ?uj ?ul

k Γm ij Γml ?

k Γm il Γmj

k 为第二类黎曼曲率张量. 显然 Rk = ?Rk , 因此 Rk + Rk + Rk = 0 . 再定义 称 Rijl lij jli ijl ilj ijl 2

Rmijk =
l=1

l gml Rijk ,

称 Rmijk 为第一类黎曼曲率张量. 容易验证如下恒等式 Rijkl = Rklij , Rijkl = ?Rijlk , Rijkl = ?Rjikl ,

Rijkl + Riklj + Riljk = 0. 因此黎曼曲率张量的16个分量中只有一个独立分量, 即 R1212 = R2121 = ?R1221 = ?R2112 , 其余都是零, 故高斯方程中只有一个独立的关系式, 即是 R1212 = b12 b21 ? b11 b22 . 总结上述讨论我们得出: 第一、第二类基本量之间满足三个关系式, 即 ?b11 ?b12 ? + ?u2 ?u1 Γm 11 bm2 ? 116 Γm 12 bm1 = 0, (7.9)

?b21 ?b22 ? + ?u2 ?u1

Γm 21 bm2 ?

Γm 22 bm1 = 0,

(7.10) (7.11)

R1212 = R2121 = ?R1221 = ?R2112 . 定理 7.1 (高斯绝妙定理) 曲面的高斯曲率是内蕴量.
b11 b22 ?b2 12 2 g11 g22 ?g12

证明: K =

= ? R1212 g .

值得注意的是, 我们定义高斯曲率 K 为主曲率 k1 和 k2 的乘积, 即 K = k1 · k2 , 这涉及到 曲面的第二基本形式系数, 所以表面上看 K 不是内蕴量, 但由上述著名 Gauss 定理, 表明总 曲率 K 实质上仅由曲面的度量性质可决定, 即 K 是一个内蕴几何量, 这正是定理的绝妙所 在. 推论 7.2 推论 7.3 若两个曲面可建立等距对应, 则对应点的高斯曲率相等.(我们将在常曲率曲 曲面可与平面建立等距对应的充分必要条件是曲面为可展曲面. 面一节中给出一个反例, 来说明该推论的逆命题不成立)

最后, 如果我们选正交曲线网作参数曲线网, 并记 u1 = u, u2 = v, g11 = E, g12 = F, g22 = G, b11 = L, b12 = M, b22 = N , 则由 F = 0 , 于是 Gauss 方程中只有一个独立方程 1 ?√ EG √ ( E )v √ G √ ( G)u √ + E v =
u

LN ? M 2 , EG

(7.12)

而 Codazzi 方程中只有两个独立方程 ? ? M L ? √ ? √ E E ? ?
v N √ G u

?

u M √ G v

?N( ? L(





E )v G

G)u ? M (√EG = 0, E )v ? M (√EG = 0, √



G)u E

(7.13)

【例 1】

设曲面的第一基本形式为 I = λ2 (du2 + dv 2 ) , 其中 λ 是 (u, v ) 的函数. 证明 K=? 1 λ2 ?2 ?2 ln λ + 2 ln λ . 2 ?u ?v √ ( E )v √ G √ ( G)u √ + E v

曲面的高斯曲率

【证明】 由 F = 0 知参数曲线网正交, 根据(7.12), 曲面的高斯曲率为 1 K = ?√ EG ,
u

117

将 E = G = λ2 代入上式直接计算即可. 【例 2】 证明: 平均曲率为常数的曲面, 或者为全脐点曲面, 或者它的第一、第二基 I = λ(u, v )(du2 + dv 2 ), II = (1 + λH )du2 + (1 ? λH )dv 2 . 【证明】 λ>0

本形式可以表现为

首先选取局部正交参数曲线网作为曲率线网, 因此 F = M = 0 , 而且 √ ? k2 ( E )v = 0,
v

k1 = L/E, k2 = N/G, k1 + k2 = 2H . 将其代入(7.13)式, 这时Codazzi方程简化为 L √ E N √ G 直接计算便可得到 Lv = HEv , Nu = HGu , (7.14) (7.15)

√ ? k1 ( G)u = 0,
u

由于 H 是常数, 分别积分以上两式两端, 我们有 L = HE + φ(u), N = HG + ψ (v ), (7.16)

这里 φ(u) 和 ψ (v ) 是分别依赖于 u 和 v 的连续可微函数. 利用(7.16)可直接验证成立下式 φ(u) ψ (v ) =? , E G 情形 1 情形 2 若(7.17)式比值为零, 则 φ(u) = ψ (v ) = 0, 由(7.16), 曲面为全脐点曲面. 若(7.17)式比值不为零, 这时, 曲面上无脐点, 这时两个主曲率 k1 = k2 , 不妨设 1 φ(u) = L ? HE = k1 E ? (k1 + k2 )E 2 1 = (k1 ? k2 )E > 0, 2 类似地有 1 ψ (v ) = (k2 ? k1 )G < 0, 2 (7.17)

k1 > k2 , 那么, 从(7.16)式可以得到

118

进而, 存在正函数 ρ(u, v ) 使得 φ(u) ψ (v ) 1 =? = , E G ρ(u, v ) 于是 E = φ(u)ρ(u, v ), 令 u ?= 则 du ?= φ(u) du, dv ?= ?ψ (v ) dv, ? (? u, v ?) = ? (u, v ) φ(u) du, v ?= ?ψ (v ) dv, G = ?ψ (v )ρ(u, v ). (7.18)

φ(u) ?ψ (v ) > 0,

因而, u ?, v ? 可以作为曲面的新参数, 这时 ρ(u, v ) = λ(? u, v ?), 且曲面的第一基本形式是 edI = Edu2 + Gdv 2 = ρ(u, v )[φ(u)du2 ? ψ (v )dv 2 ]ed = λ(? u, v ?)[du ? 2 + dv ?2 ]. 曲面的第二基本形式是 edII = Ldu2 + N dv 2 = [HE + φ(u)]du2 + [HG + ψ (v )]dv 2 = [Hρ(u) + 1][ φ(u)du]2 + [Hρ(u) ? 1][ ?ψ (v )dv ]2 = [Hλ(? u, v ?) + 1]du ?2 + [Hλ(? u, v ?) ? 1]dv ?2 , 仍用 u, v 代替(7.19)和(7.20)中的 u ?, v ?, 定理得证. 2.7.3 曲面 论的基 本定理 通过前面的讨论我们知道, 如果函数 gij 与 bij (i, j = 1, 2) 是某个曲面的第一与第二基本 形式系数, 则它们必然会满足 Gauss-Codazzi 方程. 反之, 若在参数平面 (u1 , u2 ) 的一个单 连通区域内给出了六个函数 gij 与 bij (i, j = 1, 2) , 它们关于 i, j 对称, 且矩阵 (gij ) 是正定的, 同时满足 Gauss-Codazzi 方程, 那么能否找出一个曲面, 使它们的第一和第二基本形式恰为 I=
2 i,j =1

(7.19)

ed

(7.20)

gij dui duj 和 II =

2 i,j =1

bij dui duj 呢? 119

定理 7.4

(曲面论基本定理) 在单连通区域 D 内给出了 (u1 , u2 ) 的六个函数 gij 与 bij
2 i,j =1

(i, j = 1, 2) , 它们关于 i, j 对称, 且矩阵 (gij ) 是正定的, 同时它们满足 Gauss-Codazzi 方程, 则存在曲面 S , 它的第一和第二基本形式恰为 I = gij dui duj 和 II =
2 i,j =1

bij dui duj . 且

在空间中除去一个刚体运动外, 这样的曲面是唯一确定的. 基本定理告诉我们, 若空间中两个曲面 S1 与 S2 在对应点有相同的第一和第二基本形 式, 那么经过一个刚体运动一定可以把 S1 和 S2 重合起来, 换言之, 这两个曲面的形状完全 相同. 所以我们说曲面的形状完全由它的第一和第二基本形式所决定, 这就回答了本节最 初提出的问题. 【例3】 , 求该曲面. 【解】 已知 E = 1, F = 0, G = sin2 u; L = 1, M = 0, N = sin2 u, 其中 0 < u < π

120


相关文章:
微分几何习题解答(曲面论一)
微分几何习题解答(曲面论一)_理学_高等教育_教育专区...14 微分几何主要习题解答 2.求正螺面 r ={ u ...曲线互相垂直 3、在第一基本形式为 I = du 2 ?...
第三章曲面论
第四章曲面论基本定理 21页 免费 曲面论(三) 4页 免费 2-曲线论 暂无评价...这时 曲线的向量表达式为 r(x,y)=(x,y,f(x,y)) ③ 正则曲面 3 r (...
微分几何习题解答(曲线论)
微分几何主要习题解答 第一章 曲线论§2 向量函数 ...? ? ? ? ? r (t ) · n = 0 ,所以我们...曲线的向量表示为 r = {x, 2 , } ,曲面与两...
浙江师范大学《微分几何》考试卷05
。。 r r 3、若曲面 Σ 和曲面 Σ1 : X = ...v, uv}在 (u , v) = (2,1) 的切平面方程...4、曲线论的基本定理是 。 5、若曲线为贝特朗曲线...
论文开题报告1
二基本形 式在曲面论基本定理中的作用和曲率和挠率在曲线论基本定理中的作用....从而曲面方程为 r ? r?t ? . 2.曲面第一基本形式及性质 2.1 曲面...
1绪论-第一章-第二章讲稿
章:曲线论. 第三章至第五章:曲面论. 第六...? ? 表示成 r ? r ( x) ? ? x, f ( x...(1.11) 定理 1.1 E 3 中的刚体运动把一个正交...
微分几何_陈维桓_绪论-第一章-第二章 第三章讲稿
第二章:曲线论. 第三章至第五章:曲面论. 第六...函数是指从它的定义域 D 到 R 中的映射 r : ...x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1, ? ? 2 2 ? ?...
第二章 曲面论
曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面 r ={ u cos v ,u 解 sin ...3.在第一基本形式为I = du 为u = v的曲线的弧长。 2 2 2 2 2 + ...
微分几何
曲线一点邻近的结构 空间曲线论基本定理 (研究...曲面论 曲面的概念—— 曲纹坐标 曲线簇 坐标网 ...? 1 2 a2 ?2 ? ? ? ? x a ? r ? r ?...
绪论-第一章-第二章讲稿
第二章:曲线论. 第三章至第五章:曲面论. 第六...函数是指从它的定义域 D 到 R 中的映射 r : ...x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1, ? ? 2 2 ? x...
更多相关标签:
闭曲面分类定理 | 微积分基本定理 | 平面向量基本定理 | 代数基本定理 | 空间向量基本定理 | 微积分第一基本定理 | 算术基本定理 | 代数基本定理的证明 |