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山东省青岛市2015年高考数学模拟试卷(理科)(一)


2015 年山东省青岛市高考数学模拟试卷(理科) (一)
一、选择题(本大题共 20 个小题,每小题 3 分,共 60 分.在每小题列出的四个选项中, 只有一项符合题目要求,请将符合题目要求的选项选出) 1.设集合 M={m∈Z|﹣3<m<2},N={n∈N|﹣1≤n≤3},则 M∩N=( ) A. {0,1} B. {﹣1,0,1} C. {0,1,2} D. {﹣1

,0,1,2} 2.已知 x,y∈R,则“x? y>0”是“x>0 且 y>0”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 )

3.函数 f(x)= A. B. C.

的定义域为(



D. [1,+∞)

4.已知α∈(﹣ A. ﹣ B. ﹣

,0) ,cosα= ,则 tanα等于( C. D.



5.直线 l1: (a﹣1)x+y﹣1=0 和 l2:3x+ay+2=0 垂直,则实数 a 的值为( A. B. C. D.



6.已知点 A(﹣1,1) ,B(﹣4,5) ,若

,则点 C 的坐标为(



A. (﹣10,13) B. (9,﹣12) C. (﹣5,7) D. (5,﹣7)

7.已知函数

,则 f(0)等于(



A. ﹣3 B.

C.

D. 3

8.甲、乙两人在一次赛跑中,从同一地点出发,路程 S 与时间 t 的函数关系如图所示,则 下列说法正确的是( )

A. 甲比乙先出发 B. 乙比甲跑的路程多 C. 甲、乙两人的速度相同 D. 甲比乙先到达终点

9.已知函数 A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣2

,若 f(2)=f(﹣2) ,则 k=(



10.二次函数 f(x)=ax +bx+c(a>0)的图象与 x 轴交点的横坐标为﹣5 和 3,则这个二次 函数的单调减区间为( ) A. (﹣∞,﹣1] B. [2,+∞) C. (﹣∞,2] D. [﹣1,+∞)

2

11.函数 y=sinxsin( A.

﹣x)的最小正周期是(



B. π C. 2π D. 4π

12. 从 2 名男生和 2 名女生中, 任意选择两人在星期六、 星期日参加某公益活动, 每天一人, 则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( ) A. B. C. D.

13.某工厂去年的产值为 160 万元,计划在今后五年内,每一年比上一年产值增加 5%,那 么从今年起到第五年这个工厂的总产值是( ) A. 121.55 B. 194.48 C. 928.31 D. 884.10 14.直线 x+y﹣2=0 与圆(x﹣1) +(y﹣2) =1 相交于 A,B 两点,则弦|AB|=( A. B. C. D.
2 2



15.已知二项式(

﹣ ) 的展开式的第 6 项是常数项,则 n 的值是(

n



A. 5 B. 8 C. 10 D. 15

16.已知实数 x,y 满足 A. 10 B. 8 C. 2 D. 0

,则 z=4x+y 的最大值为(



17.在正四面体 ABCD 中,点 E,F 分别是 AB,BC 的中点,则下列结论错误的是(



A. B. C. D.

异面直线 AB 与 CD 所成的角为 90° 直线 AB 与平面 BCD 成的角为 60° 直线 EF∥平面 ACD 平面 AFD 垂直平面 BCD

18.某商场以每件 30 元的价格购进一种玩具.通过试销售发现,逐渐提高售价,每天的利 润增大,当售价提高到 45 元时,每天的利润达到最大值为 450 元,再提高售价时,由于销 售量逐渐减少利润下降,当售价提高到 60 元时,每天一件也卖不出去.设售价为 x,利润 y 是 x 的二次函数,则这个二次函数的解析式是( ) A. y=﹣2(x﹣30) (x﹣60) B. y=﹣2(x﹣30) (x﹣45) C. y=(x﹣45) +450 D. y=﹣2(x﹣30) +450 19.函数 f(x)=sin(ωx+φ) (x∈R) (ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示,如果 )
2 2

,且 f(x1)=f(x2) ,则 f(x1+x2)=(

A.

B.

C.

D. 1

20.已知双曲线



=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线的 )

一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为( A. B.

C.

D.

二、填空题(本大题 5 小题,每题 4 分,共 20 分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上) 21.关于 x 的不等式 ax ﹣5x+b<0 的解集是(2,3) ,则 a+b 的值等于
2



22.已知 =(cosx,sinx) , =(cosx+ 值是 .

sinx,sinx﹣

cosx) ,x∈R,则< , >的

23.过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点,则

2

=



24.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为 为 .

,则正方体的棱长

25.从某校高三年级随机抽取一个班,对该班 50 名学生的高校招生体检表中的视力情况进 行统计,其频率分布直方图如图所示.若某高校 A 专业对视力的要求在 0.9 以上,则该班学 生中能报 A 专业的人数为 .

三、解答题(本大题 5 小题,共 40 分.请在答题卡相应的题号处写出解答过程) 26.已知等差数列{an}满足:a5=5,a2+a6=8. (1)求{an}的通项公式; (2)若 bn=2 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

27.已知函数 f(x)=x+ (1)求证:函数 y=f(x)是奇函数; (2)若 a>b>1,试比较 f(a)和 f(b)的大小.

28.已知△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 =(b+a,﹣c) , =(b﹣a, a+c) ,且 ;

(1)求角 B 的值;

(2)若 a=6,b=6

,求△ABC 的面积.

29.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O 为 AC 的中点,PO⊥平面 ABCD,PO=2,M 为 PD 的中点. (1)证明:PB∥平面 ACM; (2)证明:AD⊥平面 PAC.

30.焦点在 x 轴上的椭圆 C 的一个顶点与抛物线 E:x =4 直线 l 经过椭圆 C 的右焦点与椭圆 C 交于 M,N 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若 ? =﹣2,求直线 l 的方程.

2

y 的焦点重合,且离心率 e= ,

2015 年山东省青岛市高考数学模拟试卷(理科) (一)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 20 个小题,每小题 3 分,共 60 分.在每小题列出的四个选项中, 只有一项符合题目要求,请将符合题目要求的选项选出) 1.设集合 M={m∈Z|﹣3<m<2},N={n∈N|﹣1≤n≤3},则 M∩N=( ) A. {0,1} B. {﹣1,0,1} C. {0,1,2} D. {﹣1,0,1,2} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 由题意知集合 M={m∈z|﹣3<m<2},N={n∈N|﹣1≤n≤3},然后根据交集的定义和 运算法则进行计算. 解答: 解:∵M={﹣2,﹣1,0,1},N={﹣1,0,1,2,3}, ∴M∩N={﹣1,0,1}, 故选:B. 点评: 此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则,是一道比较基础的题. 2.已知 x,y∈R,则“x? y>0”是“x>0 且 y>0”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 )

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 我们可先判断 x? y>0”时,x>0 且 y>0 是否成立,再判断 x>0 且 y>0 时,x? y >0”是否成立,再根据充要条件的定义即可得到结论. 解答: 解:若 x? y>0”时,如 x=﹣1,y=﹣1, 则 x? y>0,即 x>0 且 y>0 不成立, 故命题:x? y>0”? 命题乙:x>0 且 y>0 为假命题; 若 x>0 且 y>0 成立,则 x? y>0 一定成立, 即? x? y>0 为真命题 故命题 x>0 且 y>0 成立? 命题 x? y>0 也为真命题 故“x? y>0”是“x>0 且 y>0”的必要不充分条件 故选:B 点评: 本题考查的知识点是充要条件的定义,我们先判断 p? q 与 q? p 的真假,再根据充 要条件的定义给出结论是解答本题的关键. 3.函数 f(x)= A. B. C. 的定义域为( )

D. [1,+∞)

考点: 函数的定义域及其求法.

专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 要使函数有意义,则需 2x﹣1≥0,且 1﹣x>0,解得即可得到定义域. 解答: 解:要使函数有意义,则需 2x﹣1≥0,且 1﹣x>0, 解得, ,

则定义域为[ ,1) . 故选 A. 点评: 本题考查函数的定义域的求法,注意偶次根式被开方式非负,对数的真数大于 0, 属于基础题.

4.已知α∈(﹣ A. ﹣ B. ﹣

,0) ,cosα= ,则 tanα等于( C. D.



考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用同角三角函数间的关系式可求得 sinα的值,继而可得 tanα的值. 解答: 解:∵α∈(﹣ ∴sinα=﹣ ∴tanα= =﹣ . ,0) ,cosα= , =﹣ ,

故选:A. 点评: 本题考查同角三角函数间的关系式,考查运算求解能力,属于基础题. 5.直线 l1: (a﹣1)x+y﹣1=0 和 l2:3x+ay+2=0 垂直,则实数 a 的值为( A. B. C. D. )

考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由已知得 3(a﹣1)+a=0,由此能求出结果. 解答: 解:∵直线 l1: (a﹣1)x+y﹣1=0 和 l2:3x+ay+2=0 垂直, ∴3(a﹣1)+a=0, 解得 a= . 故选:D. 点评: 本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意直线垂直的性质的合 理运用.

6.已知点 A(﹣1,1) ,B(﹣4,5) ,若

,则点 C 的坐标为(



A. (﹣10,13) B. (9,﹣12) C. (﹣5,7) D. (5,﹣7) 考点: 向量数乘的运算及其几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量的坐标公式进行求解即可. 解答: 解:设 C(x,y) ,则由 ,

得(x+4,y﹣5)=3(3,﹣4)=(9,﹣12) , 即 ,



,即 C(5,﹣7) ,

故选:D 点评: 本题主要考查向量的坐标公式以及向量运算,比较基础.

7.已知函数

,则 f(0)等于(



A. ﹣3 B.

C.

D. 3

考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题. 分析: 由已知中函数 的值,可令 g(x)=0,求出对应 x 值后,代入可得答案. 解答: 解:令 g(x)=1﹣2x=0 则 x= ,要求 f(0)

则 f(0)=

= =3

故选 D 点评: 本题考查的知识点是函数求值,其中根据 g(x)=0,求出对应 x 值,是解答本题的 关键.

8.甲、乙两人在一次赛跑中,从同一地点出发,路程 S 与时间 t 的函数关系如图所示,则 下列说法正确的是( )

A. 甲比乙先出发 B. 乙比甲跑的路程多 C. 甲、乙两人的速度相同 D. 甲比乙先到达终点 考点: 函数的表示方法. 专题: 规律型. 分析: 根据图象法表示函数,观察甲,乙的出发时间相同;路程 S 相同;到达时间不同, 速度不同来判断即可. 解答: 解:从图中直线的看出:K 甲>K 乙;S 甲=S 乙; 甲、乙同时出发,跑了相同的路程,甲先与乙到达. 故选 D. 点评: 本题考查函数的表示方法,图象法.

9.已知函数 A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣2

,若 f(2)=f(﹣2) ,则 k=(



考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据分段函数的解析式和 f(2)=f(﹣2)列出方程,由对数、指数的运算求出 k 的值. 解答: 解:∵
﹣2k﹣1

,且 f(2)=f(﹣2) ,



,则 2

=2,即﹣2k﹣1=1,

解得 k=﹣1, 故选:B. 点评: 本题考查分段函数的函数值,以及对数、指数的运算,属于基础题. 10.二次函数 f(x)=ax +bx+c(a>0)的图象与 x 轴交点的横坐标为﹣5 和 3,则这个二次 函数的单调减区间为( ) A. (﹣∞,﹣1] B. [2,+∞) C. (﹣∞,2] D. [﹣1,+∞) 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意得到函数的对称轴,结合二次项系数大于 0,从而求出函数的递减区间.
2

解答: 解:若二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标为﹣5 和 3, ∴对称轴 x= =﹣1,

∵a>0, ∴函数 f(x)在(﹣∞,﹣1]递减,在(﹣1,+∞)递增, 故选:A. 点评: 本题考查了二次函数的性质,求出函数的对称轴是解答本题的关键,本题是一道基 础题.

11.函数 y=sinxsin( A.

﹣x)的最小正周期是(



B. π C. 2π D. 4π

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由诱导公式及二倍角公式可求函数解析式为:y= sin2x,由三角函数的周期性及其 求法即可得解. 解答: 解:∵y=sinxsin( =sinxcosx = sin2x ∴最小正周期 T= . ﹣x)

故选:B. 点评: 本题主要考查了诱导公式及二倍角公式,三角函数的周期性及其求法的应用,属于 基本知识的考查. 12. 从 2 名男生和 2 名女生中, 任意选择两人在星期六、 星期日参加某公益活动, 每天一人, 则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( ) A. B. C. D.

考点: 等可能事件的概率. 专题: 概率与统计. 分析: 试验包含的所有事件是从 4 个人安排两人,共 12 种,其中事件“星期六安排一名男 生、星期日安排一名女生”包含 4 种,再由概率公式得到结果. 解答: 解:由题意知本题是一个古典概型, 试验包含的所有事件是从 4 个人安排两人,总共有 C4 A2 =12 种. 1 1 其中期六安排一名男生、星期日安排一名女生,总共有 C2 C2 =4 种, ∴其中至少有 1 名女生的概率 P= .
2 2

故选:A 点评: 古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数,本题可以列举出所有事件, 概率问题同其他的知识点结合在一起,实际上是以概率问题为载体. 13.某工厂去年的产值为 160 万元,计划在今后五年内,每一年比上一年产值增加 5%,那 么从今年起到第五年这个工厂的总产值是( ) A. 121.55 B. 194.48 C. 928.31 D. 884.10 考点: 等比数列的性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用;等差数列与等比数列. 分析: 由题意依次列出每年的产值,构成等比数列,求和可得. 解答: 解:由题意知,去年产值是 160 万, 第一年要比去年产值增加 5%,故第一年就是 160(1+0.05)=1.05×160 第二年又比第一年增加 5%,第二年是 160(1+0.05) (1+0.05)=160×1.05 , 5 依此类推,第五年是 160×1.05 , 在每年的产值,构造一个等比数列, ∴5 年总产值为:S= =884.10,
2

故选:D 点评: 本题主要考查函数的应用问题,根据条件结合等比数列的求和公式是解决本题的关 键. 14.直线 x+y﹣2=0 与圆(x﹣1) +(y﹣2) =1 相交于 A,B 两点,则弦|AB|=( A. B. C. D.
2 2



考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 利用点到直线的距离公式可得: 圆心到直线 x﹣y﹣1=0 的距离 d, 即可得出弦长|AB|. 解答: 解:由圆(x﹣1) +(y﹣2) =1,可得圆心 M(1,2) ,半径 r=1. ∴圆心到直线 x+y﹣2=0 的距离 d= = .
2 2

∴弦长|AB|=2

=2×

=



故选:D. 点评: 本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式,属于基础题.
n

15.已知二项式(

﹣ ) 的展开式的第 6 项是常数项,则 n 的值是(



A. 5 B. 8 C. 10 D. 15 考点: 二项式系数的性质.

专题: 计算题;二项式定理. 分析: 根据二项式展开式的通项公式 Tr+1 中第 6 项是常数项,列出方程,求出 n 的值. 解答: 解:∵二项式( ﹣ ) 的展开式通项公式为
n

Tr+1=

?

?

=(﹣1) ?

r

?



且第 6 项是常数项, ∴r=5 时, =0,

解得 n=15; ∴n 的值是 15. 故选:D. 点评: 本题考查了二项式定理的应用问题,也考查了逻辑推理与计算能力,是基础题目.

16.已知实数 x,y 满足 A. 10 B. 8 C. 2 D. 0 考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 画出足约束条件 即可求出 4x+y 的最大值. 解答: 解:已知实数 x、y 满足

,则 z=4x+y 的最大值为(



的平面区域,再将平面区域的各角点坐标代入进行判断,



在坐标系中画出可行域,如图中阴影三角形, 三个顶点分别是 A(0,0) ,B(0,2) ,C(2,0) , 由图可知,当 x=2,y=0 时, 4x+y 的最大值是 8. 故选:B.

点评: 本题考查线性规划问题,难度较小.目标函数有唯一最优解是最常见的问题,这类 问题一般要分三步:画出可行域、求出关键点、定出最优解. 17.在正四面体 ABCD 中,点 E,F 分别是 AB,BC 的中点,则下列结论错误的是( )

A. B. C. D.

异面直线 AB 与 CD 所成的角为 90° 直线 AB 与平面 BCD 成的角为 60° 直线 EF∥平面 ACD 平面 AFD 垂直平面 BCD

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 过 A 作 AG⊥CD,则 G 为 CD 中点,连接 AG,AF,BG,DF,则 BG⊥CD,DF⊥BC,利用 正四面体的性质对选项分别分析选择. 解答: 解:如图过 A 作 AG⊥CD,则 G 为 CD 中点,连接 AG,AF,BG,DF,则 BG⊥CD,DF⊥ BC, 所以 CD⊥平面 ABG,所以 CD⊥AB,故 A 正确; 正四面体 ABCD 中,A 在平面 BCD 的射影为 O,则 O 在 BG 上,并且 O 为△BCD 的中心,则直 线 AB 与平面 BCD 成的角为∠ABO,又 BO= ,即 =sin∠ABO,

所以∠ABO≠60°;故 B 错误; 正四面体 ABCD 中,点 E,F 分别是 AB,BC 的中点,所以 EF∥AC,EF? 平面 ACD,AC? 平面 ACD,所以 EF∥平面 ACD;故 C 正确; 因为几何体为正四面体,所以 A 在底面 BCD 的射影为底面的中心,所以 AO⊥平面 BCD,AO ? 平面 AFD,所以平面 AFD⊥平面 BCD;故 D 正确;

故选:B.

点评: 本题以正四面体为载体,考查了线面平行、面面垂直的判定定理的运用以及空间角 的求法;关键是转化为线线关系解决. 18.某商场以每件 30 元的价格购进一种玩具.通过试销售发现,逐渐提高售价,每天的利 润增大,当售价提高到 45 元时,每天的利润达到最大值为 450 元,再提高售价时,由于销 售量逐渐减少利润下降,当售价提高到 60 元时,每天一件也卖不出去.设售价为 x,利润 y 是 x 的二次函数,则这个二次函数的解析式是( ) A. y=﹣2(x﹣30) (x﹣60) B. y=﹣2(x﹣30) (x﹣45) C. y=(x﹣45) +450 D. y=﹣2(x﹣30) +450 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可设解析式为 y=a(x﹣45) +450,其中 a<0,代入(60,0)可得 a 值,可 得解析式. 解答: 解:由题意可得所求二次函数开口向下,顶点坐标为(45,450) , 故解析式为 y=a(x﹣45) +450,其中 a<0, 再由题意可得当 x=60 时,y=0, 代入解析式可得 0=225a+450,解得 a=﹣2, ∴所求解析式为 y=﹣2(x﹣45) +450, 变形可得 y=﹣2(x﹣30) (x﹣60) , 故选:A. 点评: 本题考查待定系数法求二次函数的解析式,属基础题.
2 2 2 2 2

19.函数 f(x)=sin(ωx+φ) (x∈R) (ω>0,|φ|<

)的部分图象如图所示,如果 )

,且 f(x1)=f(x2) ,则 f(x1+x2)=(

A.

B.

C.

D. 1

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的对称性. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 通过函数的图象求出函数的周期,利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相, 得到函数的解析式,利用函数的图象与函数的对称性求出 f(x1+x2)即可. 解答: 解:由图知,T=2× ∴ω=2,因为函数的图象经过(﹣ ∵ ∴ 所以 ,所以 ? = , , . , =π, ) ,0=sin(﹣ +? )

故选 C. 点评: 本题考查三角函数的解析式的求法,函数的图象的应用,函数的对称性,考查计算 能力.

20.已知双曲线



=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线的 )

一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为( A. B.

C.

D.

考点: 双曲线的标准方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先求出焦点坐标,利用双曲线
2 2 2



=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:

y=2x+10,可得 =2,结合 c =a +b ,求出 a,b,即可求出双曲线的方程. 解答: 解:∵双曲线的一个焦点在直线 l 上, 令 y=0,可得 x=﹣5,即焦点坐标为(﹣5,0) ,∴c=5, ∵双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,

∴ =2, ∵c =a +b ,
2 2 2

∴a =5,b =20, ∴双曲线的方程为 =1.

2

2

故选:D. 点评: 本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,属于中档题. 二、填空题(本大题 5 小题,每题 4 分,共 20 分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上) 21.关于 x 的不等式 ax ﹣5x+b<0 的解集是(2,3) ,则 a+b 的值等于 7 . 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据一元二次不等式与对应方程之间的关系,得出方程的两个根为 2 和 3, 再利用根与系数的关系求出 a、b 的值即可. 解答: 解:∵关于 x 的不等式 ax ﹣5x+b<0 的解集是(2,3) , 2 ∴关于 x 的方程 ax ﹣5x+b=0 的两个根为 2 和 3, ∴ =2+3, =2×3; 解得 a=1,b=6; ∴a+b=1+6=7. 故答案为:7. 点评: 本题考查了一元二次不等式与对应方程之间的关系应用问题,也考查了根与系数的 应用问题,是基础题目.
2 2

22.已知 =(cosx,sinx) , =(cosx+ 值是 .

sinx,sinx﹣

cosx) ,x∈R,则< , >的

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由条件求得 ? 、| |=1、| |的值,再根据 cos< , >= ,求得< ,

>的值. 解答: 解:由题意可得, ? | |=1,| |= =cosx(cosx+ sinx)=sinx(sinx﹣ =2, cosx)=1,

∴cos< , >=

=

= ,∴< , >=



故答案为:



点评: 本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角, 两个向量坐标形式的运算, 属于基础题.

23.过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点,则

2

=

﹣3 .

考点: 抛物线的简单性质;平面向量数量积的运算. 专题: 计算题. 分析: 由抛物线 y =4x 与过其焦点( 1,0)的直线方程联立,消去 y 整理成关于 x 的一元 二次方程,设出 A(x1,y1) 、B(x2,y2)两点坐标, 以求得答案. 解答: 解:由题意知,抛物线 y =4x 的焦点坐标为( 1,0) ,∴直线 AB 的方程为 y=k(x ﹣1) , 由 得 k x ﹣(2k +4)x+k =0,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,
2 2 2 2 2 2

=x1? x2+y1? y2,由韦达定理可



,y1? y2=k(x1﹣1) ? k(x2﹣1)=k [x1? x2﹣(x1+x2)+1]

2



=x1? x2+y1? y2=



故答案为:﹣3. 点评: 本题的考点是直线与圆锥曲线的关系,主要考查抛物线的标准方程,以及简单性质 的应用,关键是利用 =x1? x2+y1? y2,进而得解.

24.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为 .

,则正方体的棱长为

考点: 球内接多面体;球的体积和表面积. 专题: 空间位置关系与距离;立体几何. 分析: 设出正方体棱长,利用正方体的体对角线就是外接球的直径,通过球的体积求出正 方体的棱长. 解答: 解:因为正方体的体对角线就是外接球的直径, 设正方体的棱长为 a,所以正方体的体对角线长为: 球的体积为: 解得 a= . , a,正方体的外接球的半径为: ,

故答案为: . 点评: 本题考查正方体与外接球的关系,注意到正方体的体对角线就是球的直径是解题的 关键,考查空间想象能力与计算能力. 25.从某校高三年级随机抽取一个班,对该班 50 名学生的高校招生体检表中的视力情况进 行统计,其频率分布直方图如图所示.若某高校 A 专业对视力的要求在 0.9 以上,则该班学 生中能报 A 专业的人数为 20 .

考点: 频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: 根据频率分布直方图,求出视力在 0.9 以上的频率,即可得出该班学生中能报 A 专 业的人数. 解答: 解:根据频率分布直方图,得: 视力在 0.9 以上的频率为 (1.00+0.75+0.25)×0.2=0.4, ∴该班学生中能报 A 专业的人数为 50×0.4=20; 故答案为:20. 点评: 本题考查了频率分布直方图的应用问题,解题时应利用频率分布直方图,会求某一 范围内的频率以及频数,是基础题. 三、解答题(本大题 5 小题,共 40 分.请在答题卡相应的题号处写出解答过程) 26.已知等差数列{an}满足:a5=5,a2+a6=8. (1)求{an}的通项公式; (2)若 bn=2 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

考点: 数列的求和;等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用等差数列的通项公式即可得出; (2)利用等比数列的前 n 项和公式即可得出. 解答: 解: (1)由条件知: ∴{an}的通项公式为 an=n. ,得 ,

(2)∵





∴数列{bn}是以 b1=2,公比 q=2 的等比数列, ∴ .

点评: 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式,考查了推理能力与 计算能力,属于中档题.

27.已知函数 f(x)=x+ (1)求证:函数 y=f(x)是奇函数; (2)若 a>b>1,试比较 f(a)和 f(b)的大小. 考点: 函数奇偶性的判断;不等式比较大小. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据函数奇偶性的定义即可证明函数 y=f(x)是奇函数; (2)利用作差法即可比较大小. 解答: 证明: (1)函数 又 故函数 y=f(x)是奇函数.…(3 分) (2) f (a) ﹣f (b) = , 的定义域为:x∈R,x≠0,关于原点对称,

∵a>b>1,∴a﹣b>0,ab>1, ∴f(a)﹣f(b)>0, ∴f(a)>f(b) .…(8 分) 点评: 本题主要考查函数奇偶性的判断,以及函数值的大小比较,利用作差法是解决本题 的关键.

28.已知△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 =(b+a,﹣c) , =(b﹣a, a+c) ,且 ;

(1)求角 B 的值; (2)若 a=6,b=6 ,求△ABC 的面积. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形;平面向量及应用. 分析: (1)由题意可得 结合 B 的范围即可得解. ,由余弦定理可得 cosB,

(2)由正弦定理可求 sinA,结合 A 的范围可求 A,C,由三角形面积公式即可得解. 解答: 解: (1)因为 所以 即:a +c ﹣b =﹣ac, 所以 因为 0<B<π, 所以 (2)因为 .…(4 分) , ,
2 2 2

, ,

所以 因为 0<A<π,所以 所以 ,

, , .…(8 分)

点评: 本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式,平面向量及应用,解题时 要注意分析角的范围,属于中档题. 29.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O 为 AC 的中点,PO⊥平面 ABCD,PO=2,M 为 PD 的中点. (1)证明:PB∥平面 ACM; (2)证明:AD⊥平面 PAC.

考点: 直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 专题: 常规题型. 分析: (1)连接 BD、OM,由 M,O 分别为 PD 和 AC 中点,得 OM∥PB,从而证明 PB∥平面 ACM; (2)由 PO⊥平面 ABCD,得 PO⊥AD,由∠ADC=45°,AD=AC,得 AD⊥AC,从而证明 AD⊥平 面 PAC. 解答: 证明: (1)连接 BD 和 OM ∵底面 ABCD 为平行四边形且 O 为 AC 的中点

∴BD 经过 O 点 在△PBD 中,O 为 BD 的中点,M 为 PD 的中点 所以 OM 为△PBD 的中位线 故 OM∥PB ∵OM∥PB,OM? 平面 ACM,PB? 平面 ACM ∴由直线和平面平行的判定定理知 PB∥平面 ACM. (2)∵PO⊥平面 ABCD,且 AD? 平面 ABCD ∴PO⊥AD ∵∠ADC=45°且 AD=AC=1 ∴∠ACD=45° ∴∠DAC=90° ∴AD⊥AC ∵AC? 平面 PAC,PO? 平面 PAC,且 AC∩PO=O ∴由直线和平面垂直的判定定理知 AD⊥平面 PAC.

点评: 本题主要考查了直线和平面平行及垂直的判定定理.
2

30.焦点在 x 轴上的椭圆 C 的一个顶点与抛物线 E:x =4 直线 l 经过椭圆 C 的右焦点与椭圆 C 交于 M,N 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若 ? =﹣2,求直线 l 的方程.

y 的焦点重合,且离心率 e= ,

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 平面向量及应用;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)求得抛物线的焦点,由椭圆的离心率公式和 a,b,c 的关系,可得 a,b,进 而得到椭圆方程; (2)讨论直线的斜率不存在和存在,联立椭圆方程,运用韦达定理和向量的数量积的坐标 表示,计算可得斜率 k,进而得到所求直线方程. 解答: 解: (1)因为抛物线的焦点为 所以 ,又 ,a =b +c ,所以 a=2,
2 2 2



所以椭圆的标准方程为



(2)当直线的斜率不存在时,直线方程为 x=1,

解得 此时



, 不合题意.

设直线的方程为 y=k(x﹣1) , 则 M(x1,y1) ,N(x2,y2)满足: (1)代入(2)得: (3+4k )x ﹣8k x+4k ﹣12=0, 则 ,
2 2 2 2





所以 所以 ,



所以直线的方程为 或 . 点评: 本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率和方程的运用,联立直线方程, 运用韦达定理,同时考查向量的数量积的坐标表示,属于中档题.


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