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徐闻中学、雷州一中2013届高二上学期第一次联考(理数)


徐闻中学、雷州一中 2013 届高二上学期第一次联考 数学(理科)
(满分 150 分 考试时间:120 分钟 )

? 参考公式: b ?

i ?1 n

? xi yi ? nx y
i ?1

n

? ? a ? y ? bx

?

x ? nx
2 i

2

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.给出下面一个程序: 此程序运行的结果是( A=5 B=8 X=A A=B B=X+A PRINT A,B END

)

A.5,8 B.8,5 C.8,13 D.5,13 2.两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20° ,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40° ,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( ) A.a km B. 2a km C.2a km D. 3a km

3. 用系统抽样法从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本, 160 名学生随机地从 1~160 将 编号,按编号顺序平均分成 20 组(1~8 号,9~16 号,?,153~160 号),若第 16 组抽出的 号码为 126,则第 1 组中用抽签的方法确定的号码是( A.5 B.6 C.7 D.8 )

4. 甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所 示: 甲 平均环数 x 方差 s2 8.4 3.6 乙 8.7 3.6 丙 8.7 2.2 丁 8.3 5.4 )

从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛,最佳人选是( A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

?x-y≥-1, ? 5.设变量 x,y 满足约束条件?x+y≤4, ?y≥2, ?
A.10 B.12 C.14 D.13

则目标函数 z=2x+4y 的最大值为(

)

6.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(

)

A.至多有一次中靶 C.只有一次中靶

B.两次都中靶 D.两次都不中靶

7.甲、乙两人下棋,甲不输的概率是 0.8,两人下成和棋的概率为 0.5,则甲胜的概率 为( ) A.0.3 B.0.8 C.0.5 D.0.4 8.在数列{an}中,an+1=can(c 为非零常数),前 n 项和为 Sn=3n+k,则实数 k 为( ) A.0 B.1 C.-1 D.2 ^ 9. 已知 x, 的取值如下表, y 从散点图可以看出 y 与 x 线性相关, 且回归方程为y=0.95x

? +a,则 a =(

) x y 0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7

A.3.25 B.2.6 C.2.2 D.0 10.若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数 m,n 作为点 P 的坐标,则点 P 落在圆 x2 +y2=16 内的概率为( ) 2 7 1 1 A. B. C. D. 9 36 6 4 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11.已知数列{an}是等差数列,若 a4+2a6+a8=12,则该数列前 11 项的和为_______.

12.程序框图(即算法流程图)如图所示,其输出结果是________.

13.函数 y=a1 x(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny-1=0 上,若 1 1 m ,n 均为正数,则 + 的最小值为________. m n 14.在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为 1,2,3,?,7 的 7 名火炬手.若从中任选 3 人,则选出的火炬手的编号能组成以 2 为公差的等差数列的概率为 三、解答题(共 6 小题,共 80 分) 15.(13 分)某种产品的广告费用支出 x 万元与销售额 y 万元之间有如下的对应数据: x 2 4 5 6 8



y

20

30

50

50

70

(1)画出上表数据的散点图; (2)根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程; (3)据此估计广告费用为 10 万元时,所得的销售收入. (参考数值: ?x2=145, ?xiyi=1270) i
i=1 i=1 5 5

16.(13 分) 某高校在 2011 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩, 按成绩分组,得到的频率分布表如下:

组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 合计

分组 [160,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180,185]

频数 5 ① 30 20 10 100

频率 0.050 0.350 ② 0.200 0.100 1.000

(1)请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据,在图上完成频率分布直方图; (2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样 抽取 6 名学生进入第二轮面试,求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? (3)在(2)的前提下,学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 考官进行面试,求 第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率? 17.(12 分)在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,△ABC 的面积 S 满足 S 3 = bccosA. 2 (1)求角 A 的值; (2)若 a= 3,设角 B 的大小为 x,用 x 表示边 c,并求 c 的最大值.

18.(14 分)某商店预备在一个月内分批购入每张价值为 20 元的书桌共 36 张,每批都购 入 x 张(x 是正整数),且每批均需付运费 4 元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批 购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入 4 张,则该月需用去运费和保管费共 52 元,现在全月只有 48 元资金可以用于支付运费和保管费. (1)求该月需用去的运费和保管费的总费用 f(x);

(2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由. 19.(14 分)设关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b2=0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,求上 述方程有实根的概率; (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个实数,b 是从区间[0,2]任取的一个实数,求上述方程有 实根的概率. 20.(14 分)已知直线 l 的方程为 3x-2y-1=0,数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(an,Sn) 在直线 l 上. (1)求数列{an}的通项公式; n?2Sn+1? bn (2)bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 f(n)= (n∈N+)的最大值. an Tn+24

参考答案
一、选择题 1.C [解析] 此程序先将 A 的值赋给 X,再将 B 的值赋给 A,再将 X+A 的值赋给 B, 即将原来的 A 与 B 的和赋给 B,最后 A 的值是原来 B 的值 8,而 B 的值是两数之和 13. 2.D [解析] 依题意得∠ACB=120° ,由余弦定理,得 2 2 2 ∴AB =AC +BC -2AC· BCcos120° =a2+a2+a2=3a2, ∴AB= 3a ,故选 D. 3.B [解析] 设第 1 组抽出的号码为 x,则第 16 组应抽出的号码是 8×15+x=126, 解得 x=6,故选 B. 4.C [解析] 由表格可知,丙的平均成绩最高,且丙的方差最小,所以最佳人选是丙, 故选 C. 5.D [解析] (1)不等式组所表示的平面区域,如图中的△ABC,根据目标函数的几何 z 1 z 意义, 为直线 y=- x+ 在 y 轴上的截距,故目标函数在点 C 处取得最大值,点 C 是直线 4 2 4 3 5 3 5 x-y=-1,x+y=4 的交点,解这个方程组得 C?2,2?,故 zmax=2× +4× =13. ? ? 2 2

6.D [解析] 射击两次有四种可能,(中、不中)、(不中、中)、(中、中)、(不中、不中), 其中“至少有一次中靶”,含有前三种情况,选项 A、B、C 中都有与其重叠的部分,只有 选项 D 中为其互斥事件,也是对立事件. 7.A [解析] 设甲胜的概率为 p,则由互斥事件至少有一个发生的概率公式得 p+0.5 =0.8,∴p=0.3,故选 A. 8.C [解析] 解法一:由 Sn=3n+k,得 a1=S1=3+k,a2=S2-S1=(32+k)-(3+k)= 6, a3=S3-S2=(33+k)-(32+k)=18. 由 an+1=can(c 为非零常数),知数列{an}是等比数列,则 a=a1a3,即 62=18(3+k),解得 k=-1,故选 C. 9.B [解析] x =2, y =4.5,因为回归方程经过点( x , y ),所以 a=4.5-0.95×2 =2.6,故选 B. 10.A [解析] 基本事件的总数是 36,点 P 落在圆内的基本事件是(1,1),(1,2),(1,3), 8 2 (2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)共 8 个,故所求的概率是 = . 36 9 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11.33 [解析] 由已知得 4a6=12,∴a6=3, ?a1+a11?×11 2a6×11 ∴S11= = =11a6=33. 2 2 12.127 [解析] 由程序框图知,循环体被执行后的值依次为 3、7、15、31、63、127, 故输出的结果是 127. 1 1 1 1 - 13. 4 [解析] 函数 y=a1 x 的图象过点(1,1),故 m+n=1,所以 + =(m+n)?m+n? ? ? m n n m 1 1 =2+ + ≥4,故 + 的最小值是 4. m n m n

14.B [解析] 基本事件总数为 C=35. 选出火炬手编号为 an=a1+2(n-1), a1=1 时,由 1,3,5,7 可得 2 种选法; a1=2 时,由 2,4,6 可得 1 种选法; 所以 P=

3 35

三、解答题(若有其他做法,请酌情给分) 15.[解答] (1)散点图如图所示:

………………4 分 2+4+5+6+8 (2) x = =5, 5 20+30+50+50+70 y= =44, 5
5

…………………………………………6 分

?x2 = 22 + 42 + 52 + 62 + 82 = 145, i
i


1

?xiyi=2×20+4×30+5×50+6×50+8×70=1 270,
i=1

5

?xi yi -5 x
i


5

y = 1270-5×5×44 = 8.5, 145-5×25 ……………………………9 分

1 5

b =

?
i


x2 -5 i 1

x

2

- a= y -b x =44-8.5×5=1.5, 因此回归直线方程为 y=8.5x+1.5. (3)当 x=10 时, y=8.5×10+1.5=86.5. ……………………………11 分 ……………………………13 分

16.[解答] (1)由题可知,第 2 组的频数为 0.35×100=35 人, 30 第 3 组的频率为 =0.300, 100

……………2 分

频率分布直方图如下:

……………………4 分 (2)因为第 3、4、5 组共有 60 名学生,所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生, 30 20 10 每组分别为:第 3 组: ×6=3(人),第 4 组: ×6=2(人),第 5 组: ×6=1(人), 60 60 60 所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人. …………7 分 (3)设第 3 组的 3 位同学为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 位同学为 B1、B2,第 5 组的 1 位同 学为 C1, 则从 6 位同学中抽两位同学有 15 种可能如下: (A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2, C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1), ………10 分 第 4 组至少有一位同学入选的有: (A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),(B1,C1),(B2, C1),9 种可能. 9 3 所以其中第 4 组的 2 位同学至少有一位同学入选的概率为 = . ………………13 分 15 5 3 1 17.[解答] (1)在△ABC 中,由 S= bccosA= bcsinA, ………………2 分 2 2 得 tanA= 3. …………………4 分 π ∵0<A<π,∴A= . …………………6 分 3 π (2)由 a= 3,A= 及正弦定理得 3 a c 3 = = =2, …………………8 分 sinA sinC 3 2 ∴c=2sinC. 2π ∵A+B+C=π,∴C=π-A-B= -x, 3 2π ? ∴c=2sin? 3 -x?. ……………………10 分 ? π 2π ∵A= ,∴0<x< , 3 3 π ∴当 x= 时,c 取得最大值,c 的最大值为 2. ……………………………12 分 6 36 18.[解答] (1)设题中比例系数为 k,若每批购入 x 张,则共需分 批,每批价值为 20x x 元, 36 由题意 f(x)= · 4+k· 20x. …………………………3 分 x 16 1 由 x=4 时,y=52 得 k= = , …………………………………5 分 80 5

144 ∴f(x)= +4x(0<x≤36,x∈N*). ……………………………………7 分 x 144 (2)由(1)知 f(x)= +4x(0<x≤36,x∈N*), x 144 ∴f(x)≥2 ×4x=48(元), …………………………………10 分 x 144 当且仅当 =4x,即 x=6 时,上式等号成立. …………………………………13 分 x 故只需每批购入 6 张书桌,可以使资金够用. …………………………………14 分 19.[解答] 设事件 A 为“方程 x2+2ax+b2=0 有实根”. 当 a>0,b>0 时,方程 x2+2ax+b2=0 有实根的充要条件为 a≥b. …………2 分 (1)基本事件共 12 个: (0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第 一个数表示 a 的取值, 第二个数表示 b 的取值. ………………… 5分 事件 A 中包含 9 个基本事件, 9 3 事件 A 发生的概率为 P(A)= = . …………………7 分 12 4 (2)试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}.…………………9 分 构成事件 A 的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}.……………………………11 分 1 3×2- ×22 2 2 所以所求的概率为 = . ……………………………14 分 3 3×2 20.[解答] (1)由题意知 3an-2Sn-1=0,① ……………………………………2 分 则 3an+1-2Sn+1-1=0,② ②-①得 an+1=3an, 所以数列{an}是公比为 3 的等比数列. …………………………………4 分 由 3a1-2S1-1=0,得 a1=1, - 所以 an=3n 1. …………………………………7 分 n?2Sn+1? (2)由①知,2Sn=3an-1,所以 bn= =3n, ………………………………9 分 an n?a1+an? 3n2+3n Tn= = . …………………………… 11 分 2 2 bn 3n 2n 2 2 f(n)= = 2 = 2 = ≤ . ……………………………13 分 16 9 Tn+24 3n +3n n +n+16 n+ +1 +24 n 2 16 当且仅当 n= ,即 n=4 时,等号成立. n ……………………………………14 分


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