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2012年大连—沈阳高三联合模拟考试数学答案


一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.已知 i 为虚数单位,复数 在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.设集合 , ,则 等于( ) A. C. B. D.

3.“ ”是“ ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.执行右边的程序框图,输出 S 的值为( ) A. 14 B. 20 C. 30 D. 55 5.已知向量 ,向量 ,且 ,则实数 x 等于( ) A. 0 B. 4 C. -1 D. -4 6.若 是等差数列 的前 n 项和, 则 的值为( ) A.12 B.22 C.18 D.44 7. 函数 的零点所在的区间是( ) A. B. C. D.

8.已知 为两条不同直线, 为两个不同平面,则下列命 题中不正确的是( ) A. 若 ,则 B. 若 ,则 C. 若 ,则 D. 若 ,则 9.将函数 图象上的所 有点向左平移 个单位长度,再把所得图像向上平移 1 个单位长度,所得图 象的函数解析式是( ) A. C. B. D.

10.已知某几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为 24,则该几何体的底面积是( ) A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 11.已知抛物线 的焦点为 F,准线为 l ,点 P 为抛物线上一点,且 ,垂足为 A,若直线 AF 的斜 率为 ,则|PF|等于( ) A. B.4 C. D.8

12.若对任意的 ,函数 满足 ,且 ,则 ( )

A.0 B. 1 C.-2013 D.2013 第Ⅱ 卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填写在答题卡的相应位置) 13.一组数据为 15,17,14,10,15,17,17,14,16,12,设其平均数为 m,中位数为 n,众数为 p, 则 m,n,p 的大小关系是_____________. 14.已知变量 满足 则 的最小值是____________. 15.若双曲线 的一条渐近线方程为 ,则此双曲线的离心率是____________. 16.设函数 ,观察: …… 依此类推,归纳推理可得当 且 时, . 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分.解答题应写出文字说明、证明过程、或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 的前 n 项和 . (1)求数列 的通项公式; (2)若数列 是等比数列,公比为 ,且满足 ,求数列 的前 n 项和 . 18.(本小题满分 12 分) 设关于 的一元二次方程 . (1)若 , 都是从集合 中任取的数字,求方程有实根的概率; (2)若 是从区间[0,4]中任取的数字, 是从区间[1,4]中任取的数字,求方程有实根的概率. 19.(本小题满分 12 分) 设函数 (1)写出函数 的最小正周期及单调递减区间; (2)当 时,函数 的最大值与最小值的和为 ,求不等式 的解集.

20. (本小题满分 12 分) 如图所示,在四棱锥 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧面 底面 ABCD,且 ,若 E,F 分 别为 PC,BD 的中点. (1)求证: 平面 PAD; (2)求证:平面 PDC 平面 PAD; ( 3)求四棱锥 的体积.

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 过点 ,且离心率 . (1)求椭 圆 的标准方程; (2)是否存在过点 的直线 交椭圆于不同的两点 M、N,且满足 (其中点 O 为坐标原点) ,若存 在,求出直线 的方程,若不存在,请说明理由. 22. (本小题满分 14 分) 已知函数 在 处取得极小值 2. (1)求函数 的解析式; (2)求函数 的极值; (3)设函数 ,若对于任意 ,总存在 ,使得 ,求实数 的取值范围.

普通高中 2012-2013 学年第一学期三明一、二中联合考试 高三数学(文)试题答案 又当 时, ,满足上式 ∴ ……5 分 ……7 分 ……4 分

(2)由(1)可知 , , 又 ∴ ……8 分

又数列 是公比为正数等比数列 ∴ 又 ∴ ∴ ……9 分 ……10 分 ……12 分

∴ 数列 的前 n 项和

18、解: (1)设事件 A=“方程有实根”,记 为取到的一种组合,则所有的情况有: (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4) , , , , , , , (3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4) ……2 分 , , , , , , , 一共 16 种且每种情况被取到的可能性相同 ……3 分 ∵ 关于 的一元二次方程 有实根



……4 分

∴ 事件 A 包含的基本事件有: (1,1)(2,1)(2,2)(3,1)(3,2)(3,3)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)共 , , , , , , , , , 10 种…5 分

∴ 方程有实根的概率是

……6 分

(2)设事件 B=“方程有实根”,记 为取到的一种组合 ∵ 是从区间[0,4]中任取的数字, 是从区间[1,4]中任取的数字 ∴ 所在区域是长为 4,宽为 3 的矩形区域,如图所示: 点 又满足: 的点的区域是如图所示的阴影部分 ∴ ∴ 方程有实根的概率是 (第(2)题评分标准说明:画图正确得 3 分,求概率 3 分,本小题 6 分) 19、解: (1) ……1 分 ……3 分 ……4 分 令 , ∴, ∴ 函数 的递减区间为: (2)由 得: ……8 分 ……9 分 ∴ , 又 ∴ 等式 的解集为 不 ……12 分 ……11 分 ……6 分

20、解: (1)连接 EF,AC ∵ 四棱锥 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形且点 F 为对角线 BD 的中点 ∴ 对角线 AC 经过 F 点 ……1 分

又在 中,点 E 为 PC 的中点

∴ EF 为 的中位线 ∴ ……2 分

又 ……3 分 ∴ 平面 PAD ……4 分

(2)∵ 底面 ABCD 是边长为 a 的正方形 ∴ ……5 分

又侧面 底面 ABCD, ,侧面 底面 ABCD=AD ∴ 又 ∴ 平面 PDC 平面 PAD ……8 分 ……7 分

(3)过点 P 作 AD 的垂线 PG,垂足为点 G ∵ 侧面 底面 ABCD, ,侧面 底面 ABCD=AD ∴ ,即 PG 为四棱锥 的高 又 且 AD=a ∴ ……10 分 ……9 分

∴ ……12 分 21、解: (1)∵椭圆 过点 ,且离心率 ∴ ……2 分 解得: , ……4 分 ……5 分

∴ 椭圆的方程为:

(2)假设存在过点 的直线 交椭圆于不同的两点 M、N,且满足 . ……6 分 若直线 的斜 率不存在,且直线过点 ,则直线 即为 y 轴所在直线 ∴ 直线 与椭圆的两不同交点 M、N 就是椭圆短轴的端点 ∴ ∴ ∴ 直线 的斜率必存在,不妨设为 k ∴ 可设直线 的方程为: ,即 联立 消 y 得 ∵ 直线与椭圆相交于不同的两点 M、N ∴ 得: …… ① ……8 分 ……7 分

设 ∴ ∴ 又 ∴ 化简得 ∴ 或 ,经检验均满足①式 ∴ 直线 的方程为: 或 ∴ 存在直线 : 或 满足题意. ……10 分 ……11 分 ……12 分 ……9 分

22、解: (1)∵ 函数 在 处取得极小值 2 ∴ 又 ∴ 由② 式得 m=0 或 n=1,但 m=0 显然不合题意 ∴ ,代入① 式得 m=4 ∴ ……2 分 ……3 分 ……1 分

经检验,当 时,函数 在 处取得极小值 2 ∴ 函数 的解析式为 ……4 分

(2)∵ 函数 的定义域为 且由(1)有 令 ,解得: ……5 分

∴ x 变化时, 的变化情况如下表: ……7 分 当 x -1 1 —0+0— 减 极小值-2 增 极大值 2 减 ∴ 时,函数 有极小值-2;当 时,函数 有极大值 2 ……8 分 当 (3)依题意只需 即可. ∵ 函数 在 时, ;在 时, 且

∴ 由(2)知函数 的大致图象如图所示:

∴ 时,函数 有最小值-2 当 又对任意 ,总存在 ,使得

……9 分

∴ 时, 的最小值不大于-2 ……10 分 当 又 ① 时, 的最小值为 当 ∴得 ; ② 时, 的最小值为 当 ∴得 ; ③ 时, 的最小值为 当 ∴得 或 又∵ ∴ 此时 a 不存在 ……13 分 ……12 分 ……11 分

综上所述,a 的取值范围是 . ……14 分


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