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2015年高三数学理科第一轮复习集合与函数部分测试及详细解答(1)——《集合与函数》


高三数学第一轮复习单元测试(1)— 《集合与函数》

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 A ? {1, 2},则满足 A ? B ? {1, 2,3} 的集合 B 的个数是 A.1 2.已知集合 M={x| A.? B.3 C.4 D.8 ( ) ( )

/>
x ,N={y|y=3x2+1,x?R} ,则 M?N= ? 0} 3 ( x ? 1)
B.{x|x?1} C. {x|x?1}

D.{x| x?1 或 x?0}

3.有限集合 S 中元素个数记作 card ?S ? ,设 A 、 B 都为有限集合,给出下列命题: ① A ? B ? ? 的充要条件是 card ? A ? B? = card ? A ? + card ?B ? ; ② A ? B 的必要条件是 card ? A? ? card ?B ? ; ③ A ? B 的充分条件是 card ? A? ? card ?B ? ; ④ A ? B 的充要条件是 card ? A? ? card ?B ? . 其中真命题的序号是 A.③、④ B.①、② C.①、④ 4.已知集合 M={x|x<3} ,N={x|log2x>1} ,则 M∩N= A. ? B. {x|0<x<3} C. {x|1<x<3} 5.函数 y ? log 2 A. y ? D.②、③ ( D. {x|2<x<3} ( B. y ? )

x ( x ? 1) 的反函数是 x ?1



2x ( x ? 0) 2x ? 1 2x ? 1 ( x ? 0) 2x

2x ( x ? 0) 2x ? 1 2x ? 1 ( x ? 0) 2x
( )

C. y ?

D. y ?

6.函数 f ( x) ?

3x 2 1? x

? lg(3x ? 1) 的定义域是
B. ( ? ,1)

A. (? ,?? )

1 3

1 3

C. ( ? , )

1 1 3 3

D. ( ?? ,? ) ( )

1 3

7.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. y ? ? x 3 , x ? R B. y ? sin x, x ? R
-1-

C. y ? x, x ? R 8.函数 y ? f ( x) 的反函数 y ? f
?1

D. y ? ( ) , x ? R

( x) 的图象与 y 轴交于点
) D.1 C.2

1 x 2

,则方程 f ( x) ? 0 的根是 x ? ( P(0,2) (如图 2 所示) A.4 B.3

9.已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2ax ? 4(0 ? a ? 3), 若 x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 1 ? a, 则 A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D. f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 的大小不能确定 )

10.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文 ?密文(加密) ,接收方由密文 ?明 文(解密) ,已知加密规则为:明文 a, b, c, d 对应密文 a ? 2b, 2b ? c, 2c ? 3d , 4d . 例如, 明文 1, 2,3, 4 对应密文 5, 7,18,16. 当接收方收到密文 14,9, 23, 28 时,则解密得到的明文 为 A. 7,6,1, 4 B. 6, 4,1,7 C. 4,6,1,7 D. 1,6, 4,7 11.如图所示,单位圆中弧 AB 的长为 x,f(x)表示弧 AB 与弦 AB 所 围成的弓形面积的 2 倍,则函数 y=f(x)的图象是( ) ( )

12.关于 x 的方程 x ? 1 ? x ? 1 ? k ? 0 ,给出下列四个命题:
2 2

?

?

2

①存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根; ②存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不同的实根; ③存在实数 k ,使得方程恰有 5 个不同的实根; ④存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不同的实根. 其中假命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上.
-2-





13.函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ?


1 ,若 f ? x?


f ?1? ? ?5, 则 f ? f ?5?? ? _______.


14.设 f(x)=log3(x+6)的反函数为 f 1(x) ,若〔f 1(m)+6〕 〔f 1(n)+6〕=27, 则 f(m+n)=___________________. 15.设 g ( x) ? ?

? e x , x ? 0. ?lnx, x ? 0.

则 g ( g ( )) ? __________.

1 2

x? ? 2 ? 的定义域为_____________ . 16.设 f ? x ? ? lg 2 ? x ,则 f ? ? ?? f? ? 2? x ? 2? ? x? 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)
2 已知函数 f ( x) ? x ? (lg a ? 2) x ? lg b 满足 f (?1) ? ?2 且对于任意 x ? R , 恒有

f ( x) ? 2 x 成立. (1)求实数 a , b 的值; (2)解不等式 f ( x) ? x ? 5 .

18(本小题满分 12 分) 20 个下岗职工开了 50 亩荒地,这些地可以种蔬菜、棉花、水稻,如果种这些农作 物每亩地所需的劳力和预计的产值如下: 每亩需劳力 蔬 菜 棉 花
1 2

每亩预计产值 1100 元 750 元
-3-

1 3

水 稻

1 4

600 元

问怎样安排,才能使每亩地都种上作物,所有职工都有工作,而且农作物的预计总 产值达到最高?

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1 (a, b为实数), x ? R,
2

( x ? 0) ? f ( x) F ( x) ? ? ? ? f ( x) ( x ? 0)

(1)若 f (?1) ? 0, 且函数 f ( x ) 的值域为 [0, ? ?) ,求 F ( x ) 的表达式; (2)在(1)的条件下, 当 x ? [?2, 2] 时, g ( x) ? f ( x) ? kx 是单调函数, 求实数 k 的取 值范围; (3)设 m ? n ? 0 , m ? n ? 0, a ? 0 且 f ( x ) 为偶函数, 判断 F (m) + F ( n) 能否大于零?
-4-

20. (满分 12 分) 已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x. (1)若 f(2)-3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a); (2)设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)= x0,求函数 f(x)的解析表达式.

-5-

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 5 . (1)在区间 [ ? 2, 6 ] 上画出函数 f ( x) 的图像; (2)设集合 A ? x f ( x) ? 5 ,

?

?

B ? ( ? ?, ? 2 ] ? [ 0, 4 ] ? [ 6, ? ? ) . 试判断集合 A 和 B

之间的关系,并给出证明; (3)当 k ? 2 时,求证:在区间 [ ? 1, 5 ] 上, y ? kx ? 3k 的图像位于函数 f ( x) 图像的 上方.

-6-

22. (本小题满分 14 分) 设 a 为实数,记函数 f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x 的最大值为 g(a). (1)设 t= 1 ? x ? 1 ? x ,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t) ; (2)求 g(a) ;

1 (2)试求满足 g (a) ? g ( ) 的所有实数 a. a

-7-

参考答案(1)
1.C. A ? {1, 2}, A ? B ? {1, 2,3} ,则集合 B 中必含有元素 3,即此题可转化为求集合 个数问题,所以满足题目条件的集合 B 共有 2 2.C.M={x|x?1 或 x?0} ,N={y|y?1}故选 C 3.B.选由 card 4.D.
2

A ? {1, 2}的子集

? 4 个.故选择答案 C.

? A ? B? = card ? A? + card ?B ? + card ? A ? B? 知 card ? A ? B? = card ? A? + card ?B ? ? card ? A ? B ? =0 ? A ? B ? ? .由 A ? B 的定义知 card ? A? ? card ?B ? .
N ? ? x log 2 x ? 1? ? ? x x ? 2? ,用数轴表示可得答案 D.
-8-

5.A.∵ y ? log 2 ∵x

x x ?1



2x x ? 2y 即 y ? x x ?1 2 ?1

?1



x 1 x ? 1? ? 1 即 y ? log 2 ?0 x ?1 x ?1 x ?1
x 2x ( x ? 1) 的反函数为 y ? x (x ? 0) . x ?1 2 ?1

∴函数 y ? log 2 6.B.由 ? ?

1? x ? 0 1 ? ? ? x ? 1 ,故选 B. 3 x ? 1 ? 0 3 ?

7.B.在其定义域内是奇函数但不是减函数;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在其定义域内不是奇 函数,是减函数;故选 A. 8. C. 利用互为反函数的图象关于直线 y=x 对称, 得点 (2 , 0) 在原函数 所以根为 x=2.故选 C

y ? f ( x) 的图象上, 即 f ( 2) ? 0 ,

9. B.取特值 a ? 1, x1 ? ?2, x2 ? 2, f ?2? ? f ?? 2?,选 B;或二次函数其函数值的大小关系,分类研究对 成轴和区间的关系的方法, 易知函数的对成轴为 x 分类研究 x1

? ?1 ,开口向上的抛物线,

由 x1

? x2 , x1+x2=0,需

? x2 和对成轴的关系,用单调性和离对成轴的远近作判断,故选 B; 10.B.理解明文 ? 密文(加密) ,密文 ? 明文(解密)为一种变换或为一种对应关系,构建方程组求解,
? x ? a ? 2b ? 依 提 意 用 明 文 表 示 密 文 的 变 换 公 式 为 ? y ? 2b ? c , 于 是 密 文 14 , 9 , 23 , 28 满 足 , 即 有 ? ? z ? 2c ? 3d ? ?m ? 4d
?14 ? a ? 2b ?d ? 7 ?9 ? 2b ? c ?c ? 1 ,选 B; ? ? ,? ? ? 23 ? 2 c ? 3 d ? ?b ? 4 ? ? ?28 ? 4d ?a ? 6
11 . D . 当 x=

? 1 时 , 阴 影 部 分面 积 为 个 圆 减 去 以 圆 的 半 径为 腰 的 等 腰 直 角三 角 形 的 面积 , 故 此时 4 2 ? ? 1 ? ? 2 ? ,即点( ? , ? ? 2 )在直线 y=x 的下方,故应在 C、D 中选;而当 x= 3? 时, , f ( ) ? 2[ ? ] ? ? 2 2 2 2 4 2 2 2 3 阴 影 部 分 面 积 为 个 圆 加 上 以 圆 的 半 径 为 腰 的 等 腰 直 角 三 角 形 的 面 积 , 即 4 3? ? ?2 3? 3? ,即点( f ( ) ? 2 ? [? ? ]?? ?2 ? , ? ? 2 )在直线 y=x 的上方,故选 D. 2 2 2 2

12.B.本题考查换元法及方程根的讨论,要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力;据题意可令

x 2 ? 1 ? t (t ? 0) ①,则方程化为 t 2 ? t ? k ? 0 ②,作出函数 y ? x 2 ? 1 的图象,结合函数的图
象可知: (1)当 t=0 或 t>1 时方程①有 2 个不等的根; (2)当 0<t<1 时方程①有 4 个根; (3)当 t=1 时, 方程①有 3 个根. 故当 t=0 时,代入方程②,解得 k=0 此时方程②有两个不等根 t=0 或 t=1,故此时原方程有 5 个根;当方 -9-

1 2 此时方程②有两根且均小于 1 大于 0, 故相应的满足方程 x ? 1 ? t 4 1 1 的解有 8 个,即原方程的解有 8 个;当 k ? 时,方程②有两个相等正根 t= ,相应的原方程的解有 4 4 2
程②有两个不等正根时, 即0 ?

k?

个;故选 B. 13.由 f ? x ? 2 ? ?

1 得 1 f ? x ? 4? ? ? f ( x) ,所以 f (5) ? f (1) ? ?5 ,则 f ? x? f ? x ? 2?
1 1 ?? . f (?1 ? 2) 5
- +n

f ? f ? 5? ? ? f (?5) ? f (?1) ?
- -

14.f 1(x)=3x-6 故〔f 1(m)+6〕?〔f 1(x)+6〕=3m?3n=3m ?m+n=3?f(m+n)=log3(3+6)=2. 15. g ( g ( )) ? g (ln ) ? e

=27

1 2

1 2

ln

1 2

?

1. 2

x ? 2? x ?2 ? ? 2, ? ? 2 ? x ? 2 ? 0 得, f ( x) 的定义域为 16.由 。故 ? ,解得 x ? ? ?4, ?1? ? ?1,4? . 2 ? 2? x 2 ? ?2 ? ? 2. ? x ?

故 f ? x ? ? f ? 2 ? 的定义域为 ? ? ? ?
?2? ? x?

?? 4,?1? ? ?1,4? .
∴ 有

17 . ( 1 ) 由

a ? 10. … ②又 f ( x) ? 2 x 恒成立 , b 2 2 x ? x ? lg a ? lg b ? 0 恒成立,故 ? ? (lg a) ? 4 lg b ? 0 .

f (?1) ? ?2, 知 , lg b ? lg a ? 1 ? 0, … ①

将①式代入上式得: (lg a) 即 b ? 10 , (2) 代入②

? 2 lg b ? 1 ? 0 , a ? 100 . 得,
2

即 (lgb ? 1)

2

? 0, 故 lg b ? 1.
∴x
2

f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 1, f ( x) ? x ? 5, 即 x 2 ? 4x ? 1 ? x ? 5,
解得:
? 4 ? x ? 1,

? 3x ? 4 ? 0,

∴不等式的解集为 {x | ?4 ? x ? 1} .

18.设种蔬菜、棉花、水稻分别为 x 亩,y 亩,z 亩,总产值为 u, 依题意得 x+y+z=50,

∴ x ? 0,y=90-3x ? 0,z=wx-40 ? 0,得 20 ? x ? 30,∴当 x=30 时,u 取得大值 43500,此时 y=0,z=20. ∴安排 15 个职工种 30 亩蔬菜,5 个职工种 20 亩水稻,可使产值高达 45000 元. 19 (1) ∵

1 1 1 x ? y ? z ? 20 ,则 u=1100x+750y+600z=43500+50x. 2 3 4

f (?1) ? 0 ,
? 2 ?? ? b ? 4a ? 0

∴ a ? b ? 1 ? 0, 又 x ? R, , ∴ b ? 4(b ? 1) ? 0 ,
2

∴ ?a ? 0

f ( x) ? 0 恒成立, b ? 2, a ? 1 ∴ f ( x) ? x 2 ? 2x ? 1 ? ( x ? 1) 2 .

2 ( x ? 0) ?( x ? 1) ∴ F ( x) ? ? ? 2 ?? ( x ? 1) ( x ? 0) ?

(2) 则 g ( x)

? f ( x) ? kx ? x 2 ? 2x ? 1 ? kx ? x 2 ? (2 ? k ) x ? 1
,

? (x ?

2?k 2 (2 ? k ) 2 ) ?1? 2 4

- 10 -

当 (3) ∵

k?2 k?2 ? 2或 ? ?2 时, 2 2

即k

? 6 或 k ? ?2 时, g( x ) 是单调函数.
2 ? ?? ax ? 1 ( x ? 0)

2 ?ax ? 1 ( x ? 0) f ( x) 是偶函数∴ f ( x) ? ax2 ? 1, F ( x) ? ? ?

,

∵m?n

? 0, 设 m ? n , 则 n ? 0 .又 m ? n ? 0, m ? ?n ? 0, ∴ | m | ? | ?n | F (m) + F ( n)

? f (m) ? f (n) ? (am2 ? 1) ? an2 ? 1 ? a(m2 ? n 2 ) ? 0 ,∴ F(m) + F(n ) 能大于零.
20. (1)因为对任意 xε R,有 f(f(x)- x2 + x)=f(x)- x2 +x,所以 f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2. 又由 f(2)=3,得 f(3-22+2)-3-22+2,即 f(1)=1. 若 f(0)=a,则 f(a-02+0)=a-02+0,即 f(a)=A. (2)因为对任意 xε R,有 f(f(x) )- x2 +x)=f(x)- x2 +x. 又因为有且只有一个实数 x0,使得 f(x0)- x0. 所以对任意 xε R,有 f(x)- x2 +x= x0. 在上式中令 x= x0,有 f(x0)-x 0 + x0= x0,
2

又因为 f(x0)- x0,所以 x0- x 0 =0,故 x0=0 或 x0=1.

2

若 x0=0,则 f(x)- x2 +x=0,即 f(x)= x2 –x. 但方程 x2 –x=x 有两上不同实根,与题设条件矛质, 故 x2≠0. 21. (1 ) (2) 方程 由于 若 x2=1,则有 f(x)- x2 +x=1,即 f(x)= x2 –x+1.易验证该函数满足题设条件. 综上,所求函数为 f(x)= x2 –x+1(x ? R).

f ( x) ? 5 的解分别是 2 ?

14, 0, 4 和 2 ? 14 ,

f ( x) 在 ( ? ?, ? 1 ] 和 [ 2, 5 ] 上单调递减, 在 [ ? 1, 2 ] 和 [ 5, ? ? ) 上单调递增,因此
A ? ? ?, 2 ? 14 ? [ 0, 4 ] ? 2 ? 14, ? ? .
由于 2 ?

?

?

?

?

14 ? 6, 2 ? 14 ? ?2, ? B ? A .
5 ] 时, f ( x) ? ? x 2 ? 4x ? 5 .
2

(3)[解法一] 当 x ? [ ? 1,

g ( x) ? k ( x ? 3) ? (? x 2 ? 4x ? 5)

4?k? k 2 ? 20k ? 36 , ? x 2 ? (k ? 4) x ? (3k ? 5) ? ? ?x ? ? ? ? 2 ? 4

? k ? 2, ?
① 当 ?1?

4?k ?1. 又 ? 1 ? x ? 5 , 2

4?k 4?k , ? 1 ,即 2 ? k ? 6 时,取 x ? 2 2 k 2 ? 20k ? 36 1 2 ? ? ?k ? 10? ? 64 . g ( x) min ? ? 4 4

?

?

? 16 ? (k ? 10) 2 ? 64, ? (k ? 10) 2 ? 64 ? 0 , 则 g ( x) min ? 0 .

- 11 -

4?k g ( x) min = 2k ? 0 . ? ?1 ,即 k ? 6 时,取 x ? ?1 , 2 由 ①、②可知,当 k ? 2 时, g ( x) ? 0 , x ? [ ? 1, 5 ] . 因此,在区间 [ ? 1, 5 ] 上, y ? k ( x ? 3) 的图像位于函数 f ( x ) 图像的上方.
② 当 [解法二] 当 x ? [ ? 1,

5 ] 时, f ( x) ? ? x 2 ? 4x ? 5 .

由?

? y ? k ( x ? 3), 2 得 x ? (k ? 4) x ? (3k ? 5) ? 0 , 2 y ? ? x ? 4 x ? 5 , ?



? ? (k ? 4) 2 ? 4(3k ? 5) ? 0 ,解得 k ? 2 或 k ? 18 ,

在区间 [ ? 1,

5 ] 上,当 k ? 2 时, y ? 2( x ? 3) 的图像与函数 f ( x) 的图像只交于一点 (1, 8 ) ; k ? 18 当 时, y ? 18( x ? 3) 的图像与函数 f ( x ) 的图像没有交点. 如图可知,由于直线 y ? k ( x ? 3) 过点 ( ? 3, 0 ) ,当 k ? 2 时,直线 y ? k ( x ? 3) 是由直线 y ? 2( x ? 3) 绕点 ( ? 3, 0 ) 逆时针方向旋转得到. 因此,在区间 [ ? 1, 5 ] 上, y ? k ( x ? 3) 的图像 位于函数 f ( x ) 图像的上方.
22. (1)∵ t ∵t
2

? 1 ? x ? 1 ? x ,∴要使 t 有意义,必须 1 ? x ? 0 且 1 ? x ? 0 ,即 ? 1 ? x ? 1
∴ t 的取值范围是 [

? 2 ? 2 1 ? x 2 ? [2,4] ,且 t ? 0 ……①
1? x2 ?

2 ,2] 。

由①得:

1 2 1 1 t ? 1 ,∴ m(t ) ? a ( t 2 ? 1) ? t ? at 2 ? t ? a , t ? [ 2 ,2] 。 2 2 2
1 2 at ? t ? a , t ? [ 2

(2)由题意知 g ( a ) 即为函数 m(t ) ? ∵直线 t 1)当 a 由t

2 ,2] 的最大值,

??

1 1 2 是抛物线 m(t ) ? at ? t ? a 的对称轴,∴可分以下几种情况进行讨论: a 2

? 0 时,函数 y ? m(t ) , t ? [ 2 ,2] 的图象是开口向上的抛物线的一段,

??

1 ? 0 知 m(t ) 在 t ? [ 2 ,2] 上单调递增,故 g (a) ? m(2) ? a ? 2 ; a
? 0 时, m(t ) ? t , t ? [ 2 ,2] ,有 g (a ) =2;

2)当 a 3)当 a

? 0 时, ,函数 y ? m(t ) , t ? [ 2 ,2] 的图象是开口向下的抛物线的一段,

若t

??

1 2 ? (0, 2 ] 即 a ? ? a 2

时, g ( a )

? m( 2 ) ? 2 ,

若t

??

1 1 1 , ? ( 2 ,2] 即 a ? (? 2 ,? 1 ] 时, g (a) ? m(? ) ? ?a ? a a 2a 2 2
- 12 -

若t

??

1 1 ? (2,??) 即 a ? (? ,0) 时, g (a) ? m(2) ? a ? 2 . a 2
1 (a ? ? ) 2 . 2 1 , (? ?a?? ) 2 2 2 (a ? ? ) 2

? ? a?2 综上所述,有 g ( a ) = ? 1 ? ?? a ? 2 a ? ? 2 ? ?
(3)当 a

??

1 3 ? 2; 时, g ( a ) ? a ? 2 ? 2 2

当?

1 1 2 1 2 2 1 , ?( ,1] ,∴ ? a ? ? ),? ? a ? ? 时, ? a ? [ , 2a 2a 2 2 2 2 2
时, g ( a )

2 g (a) ? ?a ? 1 ? 2 (?a) ? (? 1 ) ? 2 ,故当 a ? ? 2 2a 2a
当a

? 2;

1 1 1 ? 0 ,由 g (a) ? g ( ) 知: a ? 2 ? ? 2 ,故 a ? 1 ; a a a 1 1 1 当 a ? 0 时, a ? ? 1 ,故 a ? ?1 或 ? ?1 ,从而有 g (a) ? 2 或 g ( ) ? 2 , a a a 1 2, 要使 g ( a ) ? g ( ) ,必须有 a ? ? 2 , 1 ? ? 2 ,即 ? 2 ? a ? ? a 2 2 a 2 1 此时, g (a) ? 2 ? g ( ) 。 a
? 0 时,
综上所述,满足 g (a) ? g ( ) 的所有实数 a 为: ?

1 a

2?a??

2 或 a ? 1. 2

- 13 -


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