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天津市红桥区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷


天津市红桥区 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 3 分,满分 36 分) 1. (3 分)下列各命题正确的是() A.终边相同的角一定相等 B. 第一象限角都是锐角 C. 锐角都是第一象限角 D.小于 90 度的角都是锐角 2. (3 分)求值 sin210°=() A. B.﹣ C. D.﹣

3.

(3 分) A. B.

=() C. D.

4. (3 分)如图所示,四边形 ABCD 是梯形,AD∥BC,则

=()

A.

B.

C.

D.

5. (3 分)若 A. B. C.

,则 等于() D.

6. (3 分)已知 , 都是单位向量,则下列结论正确的是() A. ? =1 B.
2

=

2

C. ∥

D. ? =0

7. (3 分)已知 cosα= ,cos(α+β)= ,且 α,β 为锐角,那么 sinβ 的值是() A. B. C. D.﹣

8. (3 分)函数 A. B.x=0

图象的一条对称轴方程是() C. D.

9. (3 分)已知 sinθ+cosθ= ,且 θ∈(0,π) ,则 tanθ 的值为() A. B. C .﹣ D.﹣

10. (3 分)有下列四种变换方式: ①向左平移 ,再将横坐标变为原来的 ; ; ;

②横坐标变为原来的 ,再向左平移 ③横坐标变为原来的 ,再向左平移 ④向左平移

,再将横坐标变为原来的 ; 的图象的是() C.②和③ D.②和④

其中能将正弦曲线 y=sinx 的图象变为 A.①和② B.①和③

11. (3 分)下列函数中,图象的一部分如图所示的是()

A.y=sin(x+



B.y=sin(2x﹣



C.y=cos(4x﹣



D.y=cos(2x﹣



12. (3 分)在上满足 sinx≥ 的 x 的取值范围是() A. B. C. D.

二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分) 13. (4 分)| |=1,| |=2, ,且 ,则 与 的夹角为.

14. (4 分)已知| |=4,| |=5, 与 的夹角为 60°,那么|3 ﹣ |=. 15. (4 分)一个扇形的弧长与面积的数值都是 5,这个扇形中心角的弧度数是.

16. (4 分)α 是第二象限角,P(x,

)为其终边上一点,且 cosα=

,则 sinα=.

17. (4 分)若 tanα=2,tan(β﹣α)=3,则 tan(β﹣2α)的值为. 18. (4 分)函数 y=t an4x 的最小正周期 T=. 19. (4 分)函数 y=sinx,x∈,则 y 的取值范围是. 20. (4 分)下列各组函数中,偶函数且是周期函数的是. (填写序号) ①y=sinx;②y=cosx;③y=tanx;④y=sin|x|;⑤y=|sinx|.

三、解答题(本大题共 4 小题,共 32 分,解答时写出必要的过程) 21. (8 分)化简:
2

?sin(α﹣2π)?cos(2π﹣α)+cos (﹣α)﹣



22. (7 分)四边形 ABCD 中, (1)若 ,试求 x 与 y 满足的关系式; ,求 x,y 的值及四边形 ABCD 的面积.

(2)满足(1)的同时又有

23. (7 分)已知 cos(α﹣ (1)求 cos( ) ;

)=﹣ ,sin(

)= ,





(2)求 tan(α+β) . 24. (10 分)已知函数 f(x)=2 sinxcosx+2cos x﹣1. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)的单调减区间; (3)在如图坐标系里用五点法画出函数 f(x) ,x∈的图象. x ﹣
2

天津市红桥区 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 3 分,满分 36 分) 1. (3 分)下列各命题正确的是() A.终边相同的角一定相等 B. 第一象限角都是锐角 C. 锐角都是第一象限角 D.小于 90 度的角都是锐角 考点: 任意角的概念;象限角、轴线角. 专题: 阅读型. 分析: 明确终边相同的角、锐角、第一象限角、小于 90°的角的定义,通过举反例排除某些选项,从而 选出答案. 解答: 解:∵30°和 390°是终边相同的角,但 30°≠390°,故可排除 A. 第一象限角 390°不是锐角,故可排除 B. ﹣30°是小于 90°的角,但它不是锐角,故可排除 D. 锐角是第一象限角是正确的, 故选 C. 点评: 本题考查终边 相同的角、锐角、第一象限角、小于 90°的角的定义,通过举反例说明某个命题不 成立,是一种简单有效的方法. 2. (3 分)求值 sin210°=() A. B. ﹣ C. D.﹣

考点: 运用诱导公式化简求值. 分析: 通过诱导公式得 sin 210°=﹣sin(210°﹣180°)=﹣sin30°得出答案. 解答: 解:∵sin 210°=﹣sin(210°﹣180°)=﹣sin30°=﹣ 故答案为 D

点评: 本题主要考查三角函数中的诱导公式的应用.可以根据角的象限判断正负.

3. (3 分) A. B. C.

=() D.

考点: 二倍角的余弦. 分析: 看清本题的结构特点符合平方差公式,化简以后就可以看出是二倍角公式的逆用,最后结果为 cos ,用特殊角的三角函数得出结果.

解答: 解:原式= =cos = ,

故选 D 点评: 要深刻理解二倍角公式和两角和差的正弦和余弦公式, 从形式和意义上来认识, 对公式做到正用、 逆用、变形用,本题就是逆用余弦的二倍角公式.

4. (3 分)如图所示,四边形 ABCD 是梯形,AD∥BC,则

=()

A.

B.

C.

D.

考点: 向量的加法及其几何意义. 专题: 规律型. 分析: 根据图形,由向量加法的三角形法则依次求和,即可得到和向量的表达式,从图形中找出相对应 的有向线段即可 解答: 解:由题意, 如图 = = .

故选 B. 点评: 本题考点是向量的加法及其几何意义,考查向量加法的图形表示及加法规则,是向量加法中的基 本题型.

5. (3 分)若 A. B. C.

,则 等于() D.

考点: 平面向量的坐标运算;平面向量坐标表示的应用.

专题: 计算题. 分析: 以 和 为基底表示 ,设出系数,用坐标形式表示出两个向量相等的形式,根据横标和纵标分别 相等,得到关于系数的二元一次方程组,解方程组即可. 解答: 解:∵ ∴ , ,

∴(﹣1,2)=m(1,1)+n(1,﹣1)=(m+n,m﹣n) ∴m+n=﹣1,m﹣n=2, ∴m= ,n=﹣ , ∴ 故选 B. 点评: 用一组向量来表示一个向量,是以后解题过程中常见到的,向量的加减运算是用向量解决问题的 基础,要学好运算,才能用向量解决立体几何问题,三角函数问题等.

6. (3 分)已知 , 都是单位向量,则下列结论正确的是() A. ? =1 B.
2

=

2

C. ∥

D. ? =0

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: , 都是单位向量,结合单位向量的概念,向量数量积,向量共线的基础知识解决

解答: 解:根据单位向量的定义可知,| |=| |=1,但夹角不确定. 且 = =1,

故选 B. 点评: 本题只要掌握单位向量的概念,向量数量积,向量共线的基础知识便可解决.属于概念考查题.

7. (3 分)已知 cosα= ,cos(α+β)= ,且 α,β 为锐角,那么 sinβ 的值是() A. B. C. D.﹣

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由同角三角函数的基本关系可得 sinα 和 sin (α+β) 的值, 代入 sinβ=sin=sin (α+β) cosα﹣cos (α+β) sinα 计算可得. 解答: 解:∵α,β 为锐角,cosα= ,

∴sinα=

= ,

又 cos(α+β)= ,∴sin(α+β)= , ∴sinβ=sin =sin(α+β)cosα﹣cos(α+β)sinα = =

故选:A 点评: 本题考查两角和与差的三角函数公式,涉及同角三角函数的基本关系,属基础题.

8. (3 分)函数 A. B.x=0

图象的一条对称轴方程是() C. D.

考点: 正弦函数的对称性. 专题: 计算题. 分析: 直接利用正弦函数的对称轴方程,求出函数 即可. 解答: 解:y=sinx 的对称轴方程为 x=kπ 所以函数 解得 x= , 的图象的一条对称轴的方程,

的图象的对称轴的方程是 ,k∈Z,k=0 时

显然 C 正确, 故选 C 点评: 本题是基础题,考查三角函数的对称性,对称轴方程的求法,考查计算能力,推理能力. 9. (3 分)已知 sinθ+cosθ= ,且 θ∈(0,π) ,则 tanθ 的值为() A. B. C. ﹣ D.﹣

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 利用同角三角函数间的基本关系可求得 sinθ﹣cosθ = ,从而可求得 sinθ 与 cosθ,继而可得答案. 解答: 解:∵sinθ+cosθ= ,① ∴1+sin2θ= ∴sin2θ=﹣ , ,又 0<θ<π ,

∴sinθ>0,cosθ<0, ∴(sinθ﹣cosθ) =1﹣sin2θ= ∴sinθ﹣cosθ= ,② 由①②得:sinθ= ,cosθ=﹣ . ∴tanθ=﹣ . 故选:C. 点评: 本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值.考查了考生对三角函数基础公式的熟练应用, 属于中档题. 10. (3 分)有下列四种变换方式: ①向左平移 ,再将横坐标变为原来的 ; ; ;
2



②横坐标变为原来的 ,再向左平移 ③横坐标变为原来的 ,再向左平移 ④向左平移

,再将横坐标变为原来的 ; 的图象的是() C.②和③ D.②和④

其中能将正弦曲线 y= sinx 的图象变为 A.①和② B.①和③

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题. 分析: 直接利用函数的图象的平移变换,由正弦曲线 y=sinx 的图象变为 可得到选项. 解答: 解:正弦曲线 y=sinx 的图象向左平移 来的 ,变为 的图象; ,变为 ,得到函数 的图象,再将横坐标变为原 的图象,即

将正弦曲线 y=sinx 的图象横坐标变为原来的 ,得到函数 y=sin2x 的图象,再向左平移 的图象;

故选 A. 点评: 本题主要考查三角函数的平移.三角函数的平移原则为左加右减上加下减.注意两种变换的方式 的区别. 11. (3 分)下列函数中,图象的一部分如图所示的是()

A.y=sin(x+



B.y=sin(2x﹣

) C.y=cos(4x﹣

) D.y=cos(2x﹣



考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据题意,设出 y=sin(ωx+α) ,利用函数图象求出 ω 与 α,得出函数解析式,从而选出正确的答 案. 解答: 解:根据题意,设 y=sin(ωx+α) ,α∈(﹣ ∴ = ﹣(﹣ )= , , ) ;

解得 T=π, ∴ω= 又 x= ∴ =2; 时,y=sin(2× , ; ) , ﹣2x)=cos(2x﹣ ) . +α)=1,

+α=

解得 α=

∴y=sin(2x+ 即 y=cos=cos(

故选:D. 点评: 本题考查了利用函数的图象求三角函数解析式的问题,是基础题目.

12. (3 分)在上满足 sinx≥ 的 x 的取值范围是() A. B. C. D.

考点: 正弦函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: 利用三角函数线,直接得到 sinx≥ 的 x 的取值范围,得到正确选项. 解答: 解:在上满足 sinx≥ ,由三角函数线可知,满足 sinx≥ ,的解,在图中阴影部分, 故选 B

点评: 本题是基础题,考查三角函数的求值,利用单位圆三角函数线,或三角函数曲线,都可以解好本 题,由于 是特殊角的三角函数值,可以直接求解.

二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分) 13. (4 分)| |=1,| |=2, ,且 ,则 与 的夹角为 120°.

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 计算题. 分析: 根据 , 且 可得 进而求出 =﹣1 然后再代入向量的夹角公式 cos< >

=

再结合<

>∈即可求出<

>.

解答: 解:∵ ∴ ∴( ∵| |=1 ∴ =﹣1 )? =0

,且

∵| |=2 ∴cos< >= >∈ >=120° =﹣

∵< ∴<

故答案为 120°

点评: 本题主要考查了利用数量积求向量的夹角,属常考题,较易.解题的关键是熟记向量的夹角公式 cos< >= 同时要注意< >∈这一隐含条件!

14. (4 分)已知| |=4,| |=5, 与 的夹角为 60°,那么|3 ﹣ |=



考点: 平面向量数量积的含义与物理意义;向量的模;向量的线性运算性质及几何意义. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 由数量积的运算,可先求 解答: 解:由题意可得: =9×4 ﹣6×4×5×cos60°+5 =109 故 = ,
2 2

,求其算术平方根即得答案. = =9

故答案为: 点评: 本题考查向量的数量积的运算和模长公式,属基础题.

15. (4 分)一个扇形的弧长与面积的数值都是 5,这个扇形中心角的弧度数是 .

考点: 弧长公式. 专题: 三角函数的求值. 分析: 设这个扇形中心角的弧度数为 α,半径为 r.利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出. 解答: 解:设这个扇形中心角的弧度数为 α,半径为 r. ∵一个扇形的弧长与面积的数值都是 5, ∴5=αr,5= 解得 α= . 故答案为: . 点评: 本题考查了弧长公式、扇形的面积计算公式,属于基础题. ,

16. (4 分)α 是第二象限角,P(x,

)为其终边上一点,且 cosα=

,则 sinα=



考点: 任意角的三角函数的定义;象限角、轴线角. 专题: 计算题. 分析: 先求 PO 的距离,根据三角函数的定义,求出 cosα,然后解出 x 的值,注意 α 是第二象限角,求 解 sinα. 解答: 解:由题意|op|= ,所以 cosα= = ,

因为 α 是第二象限角,解得:x=﹣ sinα= =

,cosα=﹣



故答案为: 点评: 本题考查任意角的三角函数的定义,象限角、轴线角,考查计算能力,是基础题.

17. (4 分)若 tanα=2,tan(β﹣α)=3,则 tan(β﹣2α)的值为 .

考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 计算题. 分析: 把 tanα=2,tan(β﹣α)=3 代入 tan(β﹣2α)=tan(β﹣α﹣α)= 得结果. 解答: 解:tan(β﹣2α)=tan(β﹣α﹣α)= ,故答案为 . = = 求

点评: 本题考查两角差正切公式的应用,角的变换是解题的关键.

18. (4 分)函数 y=tan4x 的最小正周期 T=



考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件根据函数 y=Atan(ωx+φ)的周期为 解答: 解:函数 y=tan4x 的最小正周期 T= 故答案为: . ,属于 , ,可得结论.

点评: 本题主要考查函数 y=Atan(ωx+φ)的周期性,利用了函数 y=Atan(ωx+φ)的周期为 基础题. 19. (4 分)函数 y=sinx,x∈,则 y 的取值范围是. 考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件利用正弦函数的定义域和值域,求得 y 的取值范围. 解答: 解:由 x∈,可得 y=sinx∈, 故答案为: . 点评: 本题主要考查正弦函数的定义域 和值域,属于基础题.

20. (4 分)下列各组函数中,偶函数且是周期函数的是②⑤. (填写序号) ①y=sinx;②y=cosx;③y=tanx;④y=sin|x|;⑤y=|sinx|. 考点: 三角函数的周期性及其求法;函数奇偶性的性质;余弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 判断各个函数的奇偶性和周期性,从而得出结论. 解答: 解:由于 y=sinx 为奇函数,故排除①; 由于 y=cosx 为偶函数,且它的周期为 2π,故满足条件; 由于 y=tanx 为奇函数,故排除③; 由于 y=sin|x|不是周期函数,故排除④; 由于函数 y=|sinx|为偶函数,且周期为 ?2π=π ,故满足条件, 故答案为:②⑤. 点评: 本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性,属于基础题. 三、解答题(本大题共 4 小题,共 32 分,解答时写出必要的过程) 21. (8 分)化简:
2

?sin(α﹣2π)?cos(2π﹣α)+cos (﹣α)﹣



考点: 运用诱导公式化简求值;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 原式利用诱导公式化简,再利用同角三角函数基本关系变形,整理即可得到结果. 解答: 解:原式=﹣ ?(﹣sinα)?cosα+cos α+
2

=sin α+cos α+

2

2

=1+



点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,以及同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握诱导公式是解 本题的关键.

22. (7 分)四边形 ABCD 中, (1)若 ,试求 x 与 y 满足的关系式; ,求 x,y 的值及四边形 ABCD 的面积.

(2)满足(1)的同时又有

考点: 平行向量与共线向量;数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 计算题. 分析: (1)根据所给的三个向量的坐标,写出要用的 系式,整理成最简形式. (2)写出 向量的坐标,根据两个向量垂直的充要条件写出关系式,结合上一问的结果,联立解方程, 的坐标,根据两个向量平行的充 要条件写出关

针对于解答的两种情况,得到四边形的面积.

解答: 解: (1)∵ ∴x?(﹣y+2)﹣y?(﹣x﹣4)=0, 化简得:x+2y=0; (2) ,

∵ ∴(x+6)?(x﹣2)+(y+1)?(y﹣3)=0 化简有:x +y +4x﹣2y﹣15=0, 联立
2 2

解得



∵ 则四边形 ABCD 为对角线互相垂直的梯形 当

此时





此时



点评: 本题考查向量垂直和平行的充要条件,结合向量的加减运算,利用方程思想,是一个综合问题, 运算量比较大,注意运算过程不要出错,可以培养学生的探究意识和应用意识,体会向量的工具作用.

23. (7 分)已知 cos(α﹣ (1)求 cos( ) ;

)=﹣ ,sin(

)= ,





(2)求 tan(α+β) . 考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)由条件求得 sin( )和 cos( )的值,再根据 cos( )=cos,

利用两角差的余弦公式求得结果. (2)由(1)可得 ∈( , )以及 sin = 的值,可得 tan

的值,再利用二倍角公式求得 tan(α+β)的值. 解答: 解: (1)∵cos(α﹣ ∴sin( ∴cos( =cos( )= )=cos ) cos( ∈( )+sin( , ) ,∴sin )sin( = )=﹣ + = , = . ,cos( )=﹣ ,sin( )= . )= , , ,

(2)由(1)可得

∴tan

=

=

,∴tan(α+β)=

=



点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用,属于中档题. 24. (10 分)已知函数 f(x)=2 sinxcosx+2cos x﹣1. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)的单调减区间; (3)在如图坐标系里用五点法画出函数 f(x) ,x∈的图象. x ﹣
2

考点: 三角函数中的恒等变换应用;五点 法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质.

分析: (1)首先利用函数关系式的恒等变换,把函数关系式变形成正弦型函数,进一步求出函数的最 小正周期. (2)直接利用(1)的函数关系式利用整体思想求正弦型函数的单调区间. (3)利用列表,描点.连线求出函数的图象. 2 解答: 解: (1)f(x)=2 sinxcosx+2cos x﹣1 = 所以: (2)令: 解得: (k∈Z) (k∈Z)

所以:函数的单调递减区间为: (k∈Z) (3)列表: 描点并连线 x 2x+ sin(2x+ 2sin(2x+ ﹣ ﹣π ) 0 ) ﹣ ﹣1 0 0 0 ﹣2 1 0 π 0 2 0

点评: 本题考查的知识要点:函数关系似的恒等变换,正弦型函数的周期和单调区间的应用,利用五点 法画出函数的图象.属于基础题型.


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