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2013-2014学年高中数学人教A版必修四同步辅导与检测:2.3.3平面向量共线的坐标表示


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平 面 向 量

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.3 平面向量共线的坐标表示

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1.理解向量共线定理. 2.掌握两个向量平行(共线)的坐标表示和会

应用其求解有关两向量共线问题.

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基础梳理 一、向量共线定理 向量a与非零向量b共线的条件是________. 练习1:已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b, 则y=________. 一、当且仅当存在实数λ,使a=λb 练习1:3

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思考应用

1.为什么要规定b为非零向量?
解析:若向量b=0,则由向量a,b共线得 a=λb=0,但向量a不一定为零向量.

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二、两个向量平行(共线)的坐标表示 设非零a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b等价于 ________. 练习2:向量a=(-1,x)与b=(-x,2)共线且方向 相同,则x=________.

二、x1y2-x2y1=0 练习2: 2

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思考应用 2.设非零a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则a∥b x y ? 1= 1 要满足什么条件? x2 y2

x1 y1 解析:a∥b? = 的适用范围是x2≠0, x2 y2 y2≠0,这与要求b是非零向量是等价的.

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自测自评 1.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4)。若λ为实 数,((a+λb)∥c),则λ=( )B
1 1 A. B. C.1 D.2 4 2 2.已知向量a=(3,4),b=(sinα,cosα),且a∥b,

则tanα=( 3 A. 4

)

3 B.- 4

A

4 C. 3

4 D.- 3

3.若A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则x的 值为( B )

A.-3

B.-1

C.1

D.3

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平面向量共线的坐标运算 若向量a=(2,-1),b = (x,2)c=(-3,y),

且a∥b∥c,求x,y的值.
分析:由平面向量共线的坐标运算可得. 解析:∵a∥b∥c,由向量共线的坐标表示得
? ?4+x=0 ∴? ?2y-3=0 ?

x=-4 ? ? ,解得? 3 . y= ? ? 2

点评:记住已知a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则a∥b?x1y2-x2y1=0.

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跟踪训练 1.已知a=(1,0),b=(2,1),当实数k为何值时,向量 ka-b与a+3b平行?并确定此时它们是同向还是反向. 分析:先求出向量ka-b与a+3b的坐标,然后 根据向量共线条件可求解.
解析:∵ a=(1,0),b=(2,1), ∴ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1), a+3b=(1,0)+3(2,1)=(7,3). ∵向量ka-b与a+3b平行, 1 k - 2 )+7=0,解得k=-3. ∴3( 1 1 ∵k=- ,ka-b=- (a+3b), 3 3 所以向量ka-b与a+3b反向.

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平面向量共线的证明 已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),求证

A、B、C三点共线.
→ → 分析:证向量AB与AC共线. 证明:∵ A(-1,-1),B(1,3),C(2,5), → → 2 , 4 ( ) ∴AB= ,AC=(3,6). → 2→ ∴AB= AC. 3 → → ∵AB,AC有公共点A, ∴A、B、C三点共线.

点评: 通过证有公共点的两向量共线,从而 证得三点共线. 金品质?高追求 我们让你更放心!

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跟踪训练 → → → 2.已知OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k), 当k为何值时,A、B、C三点共线?
→ → 分析:由A、B、C三点共线,可得AB与BC共线. → → → 解析:∵OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k), → → ∴AB=(4-k,-7),BC=(6,k-5). ∵A、B、C三点共线 ∴(4-k)(k-5)+42=0 解得k=11或k=-2.

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用共线向量的性质求坐标
1→ → 若M(3,-2),N(-5,-1), 且 MP= MN, 2 则P点的坐标是________. → → 解析:设P(x,y),则MN=(-8,1),MP=(x-3,y+2). → 1→ ∵ MP= MN, 2 1? 1 ? ∴(x-3,y+2)= (-8,1)= -4,2 . 2 ? ? 3? ? 解得P -1,-2 . ? ? 3? ? 答案: -1,-2 ? ? 点评:把求点的坐标转化为向量共线问题.

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跟踪训练
→ → 3.若M(3,-2),N(-5,-1),且MP=-2MN , 则P点的坐标是________.

解析:设P(x,y), → → 则MN=(-8,1),MP=(x-3,y+2). → → ∵ MP=-2MN, ∴(x-3,y+2)=-2(-8,1)=(16,-2). 解得P(19,-4) 答案:(19,-4)

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共线向量的综合应用 如果向量 AB=i-2j, BC =i+mj,其中i、j 分别是x轴、y轴正方向上的单位向量,试确定实数m的 值使A、B、C三点共线. 分析:把向量 AB =i-2j和 BC=i+mj转化为坐

标表示,再根据向量共线条件求解.

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→ → 解析:∵AB=i-2j,BC=i+mj, → → ∴AB=(1,-2),BC=(1,m). ∵ A、B、C三点共线, → → 即向量AB与BC共线 ∴m+2=0,解得m=-2.
点评:向量共线的几何表示与代数表示形式不

同但实质一样,在解决问题时注意选择使用.

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跟踪训练

4.已知A(1,1),B(3,-1),C(a,b). (1)若A、B、C三点共线,求a,b的关系式; → → (2)若AC=2AB,求点C的坐标.
→ → 2 ,- 2 ( ) 解析:(1)AB= ,AC=(a-1,b-1), ∵A、B、C三点共线, → → ∴AB与AC共线. ∴2(b-1)+2(a-1)=0,即a+b=2. → → (2)∵AC=2AB, ∴(a-1,b-1)=2(2,-2). ∴C(5,-3).

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◆数学?必修4?(配人教A版)◆ 一级训练
1.若a=(2,3),b=(4,-1+y),且a∥b,则

y=(

C
A.6

)
B.5 C.7 D.8

2.已知a=(1,2),b=(x,1),若a+2b与2a-b 1 平行,则x的值为________ 2 .

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1.要证A、B、C三点共线,只需证 AB=λ BC 即
可. 2.两向量共线有两种形式,在解题时要根据情 况适当选用.

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