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高中数学 3-1-1《数系的扩充与复数的概念》同步课件 新人教A版选修1-2


●课程目标
1.双基目标 (1)了解引进复数的必要性,了解数集的扩充过程:自 然数集(N)→整数集(Z)→有理数集(Q)→实数集(R)→复数集 (C).

(2)理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的
一些基本概念.例如:虚数单位、复数、虚数、纯虚数、 共轭复数、实部、虚部等等.理解复数相等的充要条件.

(

3)了解复数的代数表示法及其几何意义.
(4)掌握复数代数形式的四则运算法则,了解复数代数 形式的加法、减法运算的几何意义.了解在不同数集中运 算法则的联系和区别.

2.情感目标
(1)复数知识是现代科技中普遍使用的一种运算工具, 是进一步学习高等数学的基础,培养和发展学生的运算能 力,打好数学基础是高中阶段的基本要求. (2)通过数系的扩充过程,使学生感受人类认识问题、 发展科学的艰辛历程. (3)在教学过程中,充分展示每一数学问题的关键,给 学生讲清楚所面临的问题是什么和怎样解决问题.激发学

生的好奇心,培养学生学习数学的兴趣,引导学生发现和
提出问题,并独立思考和研究问题,鼓励学生创造性地解 决问题.

●重点难点
本章重点:了解引进复数的必要性,复数的有关概念, 复数的代数表示及几何意义以及复数代数形式的运算法则, 能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算. 本章难点:复数的几何意义;复数的加法(减法)的几

何意义;复数的除法的运算法则及复数的除法运算.

●学法探究
1.准确理解和掌握复数的分类标准是学好本章的前 提. 2.两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数 问题的主要方法,深刻体会这一转化思想.

3.数和形的有机结合,是把复数问题转化成几何问题
的重要途径之一,对于复数z=a+bi(a,b∈R)既要从整体 的角度去认识它,把z看成一个整体,又要从实部和虚部的 角度分解成两部分去认识它,这是解复数问题的重要思路 之一.

4.在进行复数加减运算时,可将虚数单位i看成一个
字母,然后去括号,合并同类项即可,复数加法、减法的 几何意义,可以用“三角形法则”解释.

3.1

数系的扩充与复数的概念

1.了解数系从自然数系到有理数到实数再到复数扩充
的基本思想. 2.理解复数的有关概念,掌握复数的代数表示. 3.理解复数相等的充要条件.

本节重点: 1.复数的概念与复数的代数形式.

2.复数的分类.
本节难点:复数的概念及分类,复数相等. 1.在理解复数有关概念的基础上,牢记实数、虚数、 纯虚数与复数的关系,特别要明确:实数也是复数,要把 复数与虚数加以区别,对于纯虚数bi(b≠0,b∈R)不要只

记形式,要注意b≠0.
2.复数相等的充要条件是本章学习的重点内容,是把 复数问题转化为实数问题的主要方法,在学习过程中要深 刻体会转化思想的应用.

1.本节一开始展示了数系的扩充过程,回顾了数的发
展,并指出当数集扩充到实数集时,由于负数不能开平方, 因而大量的代数方程无法求解,于是自然地引入了虚数单 位i,学习时,要通过列举大量的具体的数来理解各数集, 明确各数集的联系及区别,不要死记硬背.

2.复数的概念,代数形式a+bi,复数相等以及复数
是实数、虚数、纯虚数的概念是本节学习的核心,要通过 例、习题的解决加深理解,同时还要明确如果两个复数不 全是实数,就不能比较大小.

1.复数的概念及代数表示
(1)定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫 做虚数单位,满足i2= -1 .

(2)表示:复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R), 这一表示形式叫做复数的代数形式,a与b分别叫做复数z的 虚部 实部 与 .

2.复数的分类 ?实数(b=0) (1)复数a+bi ? ?纯虚数(a=0) ? ? (a,b∈R) ?虚数(b≠0)?非纯虚数(a≠0) ? ? ? (2)集合表示:

3.复数相等的充要条件
设a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di? a=c且b=d .

[例1] 下列命题中,正确命题的个数是 ②若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i;

(

)

①若x,y∈C则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1;

③若x2+y2=0,则x=y=0.
A.0 B.1 C.2 D.3

[分析] 由题目可获取以下主要信息:
①题中给出了三个命题; ②判断正确命题的个数. 解答本题只需根据复数的有关概念判断即可. [答案] A [解析] ①由于x,y∈C,所以x+yi不一定是复数的代 数形式,不符合复数相等的充要条件,①是假命题. ②由于两个虚数不能比较大小,

∴②是假命题.
③当x=1,y=i时 x2+y2=0成立,∴③是假命题.

[点评] 1.数系扩充的原则
(1)为了解决x2+1=0这样的方程在实数集中无解的问 题,人们引进了一个新数i,叫做虚数单位,并且规定i2 = -1.这样原数集中不能解决的问题在新数集中就能够解决 了.

(2)规定i与实数可以进行四则运算,在进行运算时,原
有的加、乘运算律仍然成立,即与原数集不矛盾.

2.关于复数的代数形式
复数z=a+bi(a,b∈R)中注意以下几点: (1)a,b∈R,否则不是代数形式. (2)从代数的形式可判定z是实数,虚数还是纯虚数. 反之,若z是纯虚数,可设z=bi(b≠0,b∈R);

若z是虚数,可设z=a+bi(b≠0,b∈R);
若z是复数,可设z=a+bi(a,b∈R).

[例 2] 2m-15)i

m2-m-6 m 取何实数时,复数 z= +(m2- m+3

(1)是实数?(2)是虚数?(3)是纯虚数?

[解析]

?m2-2m-15=0 ? (1)当? ?m+3≠0 ?



?m=5或m=-3 ? 即? ?m≠-3 ?



∴当 m=5 时,z 是实数.
?m2-2m-15≠0 ? (2)当? ?m+3≠0 ? ?m≠5且m≠-3 ? 即? ?m≠-3 ?

时,

∴当 m≠5 且 m≠-3 时,z 是虚数.

?m2-m-6=0 ? (3)当?m+3≠0 ?m2-2m-15≠0 ? ?m=3或m=-2 ? 即?m≠-3 ?m≠5且m≠-3 ?

时,

∴当 m=3 或 m=-2 时,z 是纯虚数.

[点评] ①判断一个含有参数的复数在什么情况下是
实数、虚数、纯虚数,首先要保证参数值使虚数表达式有 意义,如果忽略了实部分式中的分母m+3≠0,就会酿成根 本性的错误,其次对参数值的取舍,是取“并”还是 “交”,非常关键,多与少都是不对的,解答后进行验算

是很必要的.
②对于复数z=a+bi (a,b∈R),既要从整体的角度 去认识它,把复数z看成一个整体,又要从实部与虚部的角 度分解成两部分去认识它.这是解复数问题的重要思路之 一.

实数k为何值时,复数z=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i是 (1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?
[解析] 数. (2)当 k2-5k-6≠0,即 k≠6 且 k≠-1 时,z 是虚数.
?k2-3k-4=0, ? (3)? 2 ?k -5k-6≠0, ?

(1)当 k2-5k-6=0,即 k=6 或 k=-1 时,z 是实

即 k=4 时,z 是纯虚数.

?k2-3k-4=0, ? (4)当? 2 ?k -5k-6=0, ?

即 k=-1 时,z 是零.

[例3] 已知2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i, 求实数x,y的值. [解析] 因为 x,y 为实数,
所以 2x-1,y+1,x-y,-x-y 均为实数.
?2x-1=x-y, ? 由复数相等的充要条件,知? ?y+1=-x-y, ? ?x=3, ? 所以? ?y=-2. ?

[点评] 找到两复数的实部与虚部后,根据复数相等
的充要条件,实部与虚部分别相等即可求得x,y的值.

已知实数x,y满足(2x-1)+(3-y)i=y-i,求x,y的 值.
[解析] 因为 x,y 为实数,所以 2x-1,3-y 均为实数,由 ? 5 ?x= 解得? 2 . ?y=4 ?

?2x-1=y ? 复数相等的充要条件得? ?3-y=-1 ?

[例4] 在下列命题中,正确命题的个数是(
①两个复数不能比较大小;

)

②z1 、z2 、z3∈C,若(z1 -z2)2 +(z2 -z3)2 =0,则z1 =z3 ; ③若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±1; ④若a、b是两个相等的实数,则(a-b)+(a+b)i是纯

虚数.
A.0 B.1 C.2 D.3

[误解]

两个复数不能比较大小,故①正确;

由“(z1-z2)2+(z2-z3)2=0”可得:z1-z2=0 且 z2-z3 =0, ∴z1=z3,故②正确; 若(x2-1)+(x2+3x+2)i 是纯虚数,
?x2-1=0, ? 则? 2 ?x +3x+2≠0, ?

解得 x=1.故③不正确.

若a、b是两个相等的实数,则a-b=0,
但是当a=b=0时,a+b=0,此时(a-b)+(a+b)i是 实数. 所以(a-b)+(a+b)i不一定是纯虚数,故④不正确. 综上可知:只有①②正确,故选C.

[辨析] 两个复数当它们都是实数时,是可以比较大
小的,错解①中忽视了这一特殊情况导致错误;而错解② 中运算的依据“a2+b2=0,则a=0且b=0”在复数集中是 不成立的,例如“由i2+12=0,不能推出i=1=0.”错解中 忽视了实数集中的结论在扩充后的复数集中不一定成立这

个事实,从而导致错误.

[正解]

两个复数当它们都是实数时,是可能比较大

小的,故①是不正确的;反例法:“若(i-0)2+(0-1)2=0, 则i=1”显然是错误的,故②是不正确的;③④的判断同 错解. 综上可知:①②③④均不正确,故选A.

一、选择题
1.下列结论错误的是 ( A.自然数集是非负整数集 B.实数集与复数集的交集是实数集 )

C.实数集与虚数集的交集是{0}
D.纯虚数集与实数集的交集为空集 [答案] C [解析] 实数集与虚数集的交集为?.

2.(1+ 3)i 的实部与虚部分别是 ( A.1, 3 C.0,1+ 3 B.1+ 3,0 D.0,(1+ 3)i )

[答案] C
[解析] (1+ 3)i 可看作 0+(1+ 3)i=a+bi, 所以实部 a=0,虚部 b=1+ 3.

3.若复数(a+1)+(a2-1)i(a∈R)是实数,则a=(
A.-1 C.±1 [答案] C [解析] B.1 D.不存在

)

(a+1)+(a2-1)i(a∈R)为实数的充要条件是a2

-1=0,∴a=±1.

二、填空题
4.若a-2i=bi+1,a,b∈R,则a2+b2=______ [答案] 5

[解析]

∵a-2i=bi+1 故 a2+b2=5.

?a=1 ? ∴? ?b=-2 ?

5.方程2x2 -3x-2+(x2 -5x+6)i=0的实数解为x=
__________. [答案] 2
[解析] 本题是求方程的实数解,因 2x2-3x-2 和

x2-5x+6 都是实数,可由复数等于 0 的充要条件建立关 系式求解
?2x2-3x-2=0 ? 由题意得 ? 2 ?x -5x+6=0 ?

1 ? ?x=2或x= 2 解得 ? ?x=2或x=3 ?

∴x=

2.

三、解答题
6.实数m分别取什么数值时,复数z=(m2+5m+6)+ (m2-2m-15)i是: (1)实数; (2)虚数;

(3)纯虚数.

[解析]

(1)由 m2-2m-15=0, 得知 m=5 或 m=-

3 时,z 为实数; (2)由 m2-2m-15≠0,得知:m≠5 且 m≠-3 时, z 为虚数;
?m2-2m-15≠0, ? (3)由? 2 ?m +5m+6=0, ?

得知:m=-2 时,z 为纯

虚数.


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