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北京市海淀区2013届高三5月期末练习(二模)数学(文)试题(含答案)


海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 (文科) 参考答案及评分标准 2013.5 说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数. 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分, 共 40 分) 题号 答案
[来源:学科网 ZXXK]

1 B

2 A

3 C
[来源:学_科_网]<

br />
4 B

5 D

6 C

7 B

8 D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分) 注:11 题少写一个,扣两分,错写不给分 13 题开闭区间都对 9. ?1 ? i 10.乙
1 ;( ? π 2π , ) 3 3

11. ?16 或 16 14. 1;0 ? k ? 2

12. 2 2

13. 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.(本小题满分 13 分) 解:(I)设 {an } 的公差为 d
S10 ? a1 ? a9 2 ? 10 ? 100

因为

a1 ? 1



……………………2 分 ……………………4 分

所以 a1 ? 1, a10 ? 19 所以 d ? 2 所以 an ? 2n ? 1
2 (II)因为 Sn ? n ? 6n

……………………6 分

2 当 n ? 2 时, Sn ?1 ? ( n ? 1) ? 6( n ? 1)

所以 an ? 2n ? 7 , n ? 2 又 n ? 1 时, a1 ? S1 ? ?5 ? 2 ? 7 所以 an ? 2n ? 7
2 所以 Sn ? an ? n ? 4n ? 7

……………………9 分

……………………10 分

2 2 所以 n ? 4n ? 7 ? 2n ,即 n ? 6n ? 7 ? 0

所以 n ? 7 或 n ? ?1 , 所以 n ? 7 , n ? N ……………………13 分

? ? 16. 解:(I)因为 ?ADB ? 75 ,所以 ?DAC ? 45

在 ?ACD 中, AD ? 2 ,
CD ? AD sin 30
?

根据正弦定理有 sin 45 所以 CD ? 2 (II)所以 BD ? 4 又在 ?ABD 中,

?

……………………4 分 ……………………6 分 ……………………7 分

?ADB ? 75

?


1 2

sin 75 ? sin(45 ? 30 ) ?

?

?

?

6? 4

2

……… ……………9 分

所以

S ?ADB ?

AD ? BD ? sin 75 ?

?

3 ?1

……………………12 分

所以

S ?ABC ?

3 2

S ?ABD ?

3 3?3 2

……………………13 分
AC ? AD sin 30
?

同理,根据根据正弦定理有 sin105
? ? ?

?



sin105 ? sin(45 ? 60 ) ?

6? 4

2

……………………8 分 ……………………10 分 ……………………11 分

所以 AC ? 3 ? 1 又 BD ? 4 , BC ? 6
1 2
?

所以

S ?ABC ?

AC ? BC ? sin 30 ?

3 3?3 2

……………………13 分

17.解:(I)因为点 P 在平面 ADC 上的正投影 O 恰好落在线段 AC 上 所以 PO ? 平面 ABC ,所以 PO ? AC …………………2 分

因为 AB ? BC , 所以 O 是 AC 中点, 所以 OE / / PA 同理 OF / / AD 又 OE ? OF ? O , PA ? AD ? A 所以平面 OEF / / 平面 PDA (II)因为 OF / / AD , AD ? CD 所以 OF ? CD 又 PO ? 平面 ADC , CD ? 平面 ADC 所以 PO ? CD 又 OF ? PO ? O 所以 CD ? 平面 POF (III)存在,事实上记点 E 为 M 即可 因为 CD ? 平面 POF , PF ? 平面 POF 所以 CD ? PF
EF ? 1 2

…………………3 分 …………………4 分

…………………6 分

…………………7 分

…………………8 分

…………………10 分 …………………11 分

又 E 为 PC 中点,所以

PC

…………………12 分
1 2

同理,在直角三角形 POC 中, 所以点 E 到四个点 P, O , C , F 的距离相等

EP ? EC ? OE ?

PC



…………………13 分

…………………14 分

18.解:(I)当因为 a ? 1 ,

f '( x ) ?

1 x

, g ( x) ?

1 x
2

…………………2 分

若函数 f ( x ) 在点 M ( x0 , f ( x0 )) 处的切线与函数 g ( x ) 在点 P ( x0 , g ( x0 )) 处的切线平行,

1

?

1 x0
2

所以

x0

,解得 x0 ? 1

此时 f ( x ) 在点 M (1, 0) 处的切线为 y ? x ? 1
g ( x)

在点 P (1, ?1) 处的切线为 y ? x ? 2 …………………4 分
f ( x) ? g ( x) ? 3 2

所以 x0 ? 1

(II)若

?x ? (0, e]

,都有
3 2 ? ln x ? a x ? 3

F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ?



2,

只要 F ( x ) 在 (0, e] 上的最小值大于等于 0
F '( x ) ? 1 x ? a x
2

?

x?a x
2

…………………6 分

则 F '( x ), F ( x ) 随 x 的变化情况如下表:
x
F '( x ) F ( x) (0, a )
?

a

( a , ?? )

?

0 极大值

?
?

…………………8 分 当 a ? e 时,函数 F ( x ) 在 (0, e) 上单调递 减, F (e) 为最小值
F (e) ? 1 ? a e ? 3 2 ?0 a? e 2

所以 所以 a ? e

,得

…………………10 分

当 a ? e 时,函数 F ( x ) 在 (0, a ) 上单调递减,在 ( a , e) 上单调递增 ,
F ( a ) ? ln a ? a a ? 3 2 ?0

F (a )

为最小值,所以

,得 a ? e ………………12 分 ………………13 分

所以 e ? a ? e 综上, e ? a

x

2

2 19.解:(I)因为椭圆 C : a

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0)

的四个顶点恰好是一边长为 2,

一内角为 60 的菱形的四个顶点, 所
x
2 2

?


? y ?1

a?

3 ,b ? 1

,





C









3

………………4 分

(II)设 A( x1 , y1 ), 则 B ( ? x1 , ? y1 ), 当直线 AB 的斜率为 0 时, AB 的垂直平分线就是 y 轴,
y

轴与直线 l : x ? y ? 3 ? 0 的交点为 P (0, 3) ,

? 又因为 | AB |? 3,| PO |? 3 ,所以 ?PAO ? 60 ,

所以 ?PAB 是等边三 角形,所以直线 AB 的方程为 y ? 0 当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时,设 AB 的方程为 y ? kx
?x 2 ? y ?1 ? ? 3 2 2 ? y ? kx 所以 ? ,化简得 (3k ? 1) x ? 3
2

………………6 分

所以

| x1 |?

3 3k ? 1
2

| AO |?

1? k

2

3 3k ? 1
2

?

3k ? 3
2

,则
y?? 1 k x

3k ? 1
2

………………8 分

设 AB 的垂直平分线为

,它与直线 l : x ? y ? 3 ? 0 的交点记为 P ( x0 , y0 )

3k ? x ? ? 0 y ? ?x ? 3 ? ? k ?1 ? ? 1 ? ? y ? ?3 0 ?y ? ? x k ? k ?1 , ? 所以 ,解得 ?

| PO |?

9k ? 9
2



( k ? 1)

2

………………10 分

因为 ?PAB 为等边三角形, 所以应有 | PO |? 3 | AO |

|

9k ? 9
2

代入得到

( k ? 1)

2

?

3

3k ? 3
2

3k ? 1
2
[来源:学科网 ZXXK]

,解得 k ? 0 (舍), k ? ?1 ……………13 分

此时直线 AB 的方程为 y ? ? x

综上,直线 AB 的方程为 y ? ? x 或 y ? 0

………………14 分

20.解:(I) 法 1:
1 ?2 2 1 3 0 ?7 1 ????? ?
改变第4列

1 ?2

2 1

3 0

7 ?1

????? ?

改变第2行

1 2

2 ?1

3 0

7 1

法 2:
1 ?2 2 1 3 0 ?7 1 ????? ?
改变第2行

1 2

2 ?1

3 0

?7 ?1

????? ?

改变第4列

1 2

2 ?1

3 0

7 1

法 3:
1 ?2 2 1 3 0 ?7 1 ????? ?
改变第 列 1

?1 2

2 1

3 0

?7 1

????? ?

改变第4列

?1 2

2 1

3 0

7 ?1

(写出一种即可) (II)

…………………3 分

每一列所有数之和分别为 2,0, ?2 ,0,每一行所有数之和分别为 ?1 ,1; ①如果操作第三列,则
a 2?a a ?1
2

a 2?a

?a a
2

2

1? a

2

则第一行之和为 2a ? 1 ,第二行之和为 5 ? 2a ,
? 2a ? 1 ? 0 ? ?5 ? 2a ? 0 ,解得 a ? 1, a ? 2 .

…………………6 分

② 如果操作第一行
?a 2?a 1? a 1? a
2 2

a a?2

a a
2

2 2

则每一列之和分别为 2 ? 2a , 2 ? 2a , 2a ? 2 , 2a 解得 a ? 1 综上 a ? 1 ………………9 分 …………………10 分

2

(III) 证明:按要求对某行(或某列)操作一次时,则该行的行和(或该列的列和) 由负整数变为正整数,都会引起该行的行和(或该列的列和)增大,从 而也就使得

[来源:Z#xx#k.Com]

数阵中 mn 个数之和增加,且增加的幅度大于等于 1 ? ( ?1) ? 2 ,但是每次操作都只 是改变数表中某行(或某列)各数的符号,而不改变其绝对值,显然,数表中 mn

个数之和必然小于等于

?? | a
i ?1 j ?1

m

n

ij

|

,可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止

之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数,故结论成立 …………………13 分


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