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海南省海南中学2013-2014学年高二上学期期末考试试题 数学(文) Word版含答案


海南中学 2013-2014 学年第一学期期末考试

高二文科数学必修 3 试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给 出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 225 与 135 的最大公约数是( (A)5 (B)9 ) (C)15 (D)45

2.从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球, 那么互斥而不对 立的两个事件是( )

(A)至少有一个黑球与都是黑球 (B)至少有一个红球与都是黑球 (C)至少有一个黑球与至少有 1 个红球 (D)恰有 1 个黑球与恰有 2 个黑球 3.以下茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名学生在一次英语听力测试中的 成绩(单位:分). 已知甲组数据的中位数为 15, 乙组数据的 平均数为 16.8,则 x 、 y 的值分别为( A. 2,5 B. 5,5 C. 5,8 D. 8,8 )
x

甲组 9 2 4 0 1 2 9 5 4

乙组

y

8

7

4. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一 种产品,数量分别为 120 件,80 件,60 件。为了解它们的产品质量 是否存在显著差异, 用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本进行 调查,其中从丙车间的产品中抽取了 3 件,则 n=( )

A.9

B.10

C.12

D.13

5.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩 分成 6 组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计,得到如图所示的 频率分布直方图。已知高一年级共有学生 600 名,据此估计,该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为( A.588 C.450 B.480 D.120 )

6. 已知 x与y 之间的几组数据如下表:
x

1 0

2 2

3 1

4 3

5 3

6 4

y

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为
? ?a ? ? bx ?, 若某同学根据上表 y

中的前两组数据?1,0? 和? 2,2? 求得的直线方程为 y? ? b?x ? a?, 则以下结论正

确的是(


? ? b?, a ? ? a? B. b ? ? b?, a ? ? a? C. b ? ? b?, a ? ? a? D.b

? ? b?, a ? ? a? A. b

7.任取一个三位正整数 N,对数 log2N 是一个正整数的概率是(
1 225 1 (C) 300

)

(A)

3 899 1 (D) 450

(B)

8.将八进制数 135(8)化为二进制数为( (A)1 110 101(2) (C)111 001(2)

)

(B)1 010 101(2) (D)1 011 101(2)

9. 阅读如图所示的程序框图 ,运行相应的程序,如 果输入某个正整数 n 后,输出的 S∈错误!未找到 引用源。,那么 n 的值为 A.3 B.4 C.5 ( D.6 )

10. 甲乙两人玩猜数字游戏, 先由甲心中想一个数 字,记为 a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为 b,其 中 a,b∈{1,2,3,4,5,6},若 a=b 或 a=b-1,就称甲乙“心有灵犀”现在 任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( (A)
7 36

)
5 12

(B)

1 4

(C)

11 36

(D)

11. 现给出一个算法的算法语句如下,此算法的运行结果是( (A)11 (B)12 (C)13 (D)14

)

12. 节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯, 这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后 的 4 秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在 4 秒内为间隔闪亮 , 那么这两串彩灯同时通电后 , 它 们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是 ( A.
1 4

) D.
7 8

B.

1 2

C.

3 4

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确的答 案填在题中的横线上) 13.下面给出了解决问题的算法: S1 S2 输入x 若 x ? 1 则执行S3,否则执行S4

S3 使y=2x-3 S4 使 y ? x 2 ? 3x ? 3 S5 输出y 当输入的值为 时,输入值与输出值相等。

14. 抽样统计甲、 乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位:环),结果 如下: 运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 乙 87 89 91 90 90 91 89 88 93 92 .

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为

15. 设函数 y=f(x)在区间[0,1]上的图像是连续不断的一条曲线,且 恒有 0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法近似计算由曲线 y=f(x)及直线 x=0,x=1,y=0 所围成部分的面积 S.先产生两组(每组 N 个)区间[0,1] 上的均匀随机数 x1,x2,?xN 和 y1,y2,?,yN,由此得到 N 个点 (xi,yi)(i=1,2,?N).再数出其中满足 yi≤f(xi)(i=1,2,?N)的点数 N1, 那么 由随机模拟方法可得到 S 的近似值为_____.

16. 从某校参加数学竞赛的试卷中抽取一个样本, 考查竞赛的成绩分 布,将样本分成 6 组,得到频率分布直方图如图,从左到右各小组的 小长方形的高的比为 1∶1∶3∶6∶4∶2,最右边的一组的频数是 8. 估计这次数学竞赛成绩的平均数 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)已知算法框图如下: (1)若算法计算
1 1 1 1 ? ? ??? 的值,请将菱形框(条件 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 99 ?100

框)处的条件写出来 (2)若菱形框(条件框)处的条件为“ k ? 2014 ” ,则输出的结果为 多少?

18.从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi (单 位:千元)与月储蓄 yi (单位:千元)的数据资料,算得 ? xi ? 80 ,
i ?1 10

? yi ? 20 , ? xi yi ? 184 , ? xi2 ? 720 .
i ?1 i ?1
i ?1

10

10

10

(Ⅰ)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ; (Ⅱ)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关; (Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.

附:线性回归方程 y ? bx ? a 中, b ?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

, a ? y ? bx ,

? ?a ?. 其中 x , y 为样本平均值,线性回归方程也可写为 ? y ? bx

19. (12 分)甲乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出 1 到 5 根手指, 若和为偶数算甲赢,否则算乙赢. (1)若以 A 表示和为 6 的事件,求 P(A); (2)这种游戏规则公平吗?试说明理由.

20. (12 分)已知集合 {(x,y)|x∈[0,2],y∈[-1,1]}. (1)若 x,y∈Z,求 x+y≥0 的概率;(2)若 x,y∈R,求 x+y≥0 的概率.

21.(12 分)某中学的高二(1)班男同学有 45 名,女同学有 15 名,老师 按照分层抽样的方法组建了一个 4 人的课外兴趣小组. (1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数;

(2)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定选出两名同学做某 项实验,方法是先从小组里选出 1 名同学做实验,该同学做完后,再 从小组内剩下的同学中选一名同学做实验, 求选出的两名同学中恰有 一名女同学的概率; 22.(12 分)某班同学利用国庆节进行社会实践,对[25,55]岁的人 群随机抽取 n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查, 若生 活习惯符合低碳观念的称为“低碳族” ,否则称为“非低碳族” ,得到 如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:

(1)补全频率分布直方图并求 n、a、p 的值; (2)从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 6 人参 加户外低碳体验活动,其中选取 2 人作为领队,求选取的 2 名领队中

恰有 1 人年龄在[40,45)岁的概率. 1 选 D.2 选 D. 3 选 C..4 选 D 5 选 B. 6 选 C.7 选 C.8 选 D. 9 选 B. 10 选 C. 11 选 A.12 选 C. 13. 答案:0.73 14【答案】2. 15【解析】这种随机模拟的方法,是在[0,1]内生成了 N 个点,而 满足几条曲线围成的区域内的点是 N1 个,所以根据比例关系
S S矩形 ?
N N1 ,而矩形的面积为 1,所以随机模拟方法得到的面积为 1 . N N

答案:

N1 N

16.【解析】(1)从左到右各小组的频率分别为
1 1 3 6 4 2 , , , , , ; 17 17 17 17 17 17 8 样本容量为 ? 68. 平均数的估计值是 2 17 1 1 3 6 4 2 ? 45 ? ? 55 ? ? 65 ? ? 75 ? ? 85 ? ? 95 ? 75 . 17 17 17 17 17 17

17【解析】这是一个累加求和问题,共 99 项相加,可设计一个计数 变量,一个累加变量,用循环结构实现这一算法. 程序框图如图所示:

17.(10 分)甲乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出 1 到 5 根手指, 若和为偶数算甲赢,否则算乙赢. (1)若以 A 表示和为 6 的事件,求 P(A); (2)这种游戏规则公平吗?试说明理由. 【解析】(1)基本事件与点集 S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤5,1≤y≤ 5}中的元素一一对应. 因为 S 中点的总数为 5×5=25(个), 所以基本事件总数为 25. 事件 A 包含的基本事件共 5 个: (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1). 所以 P ? A ? ?
5 1 ? . 25 5

(2)B 与 C 不是互斥事件.因为事件 B 与 C 可以同时发生,如甲赢一次, 乙赢两次的事件即符合题意. (3)这种游戏规则不公平.由(1)知和为偶数的基本事件为 13 个:

(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4) ,(5,1), (5,3),(5,5). 所以甲赢的概率为
12 13 ,乙赢的概率为 , 25 25

所以这种游戏规则不公平.

18.从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi (单 位:千元)与月储蓄 yi (单位:千元)的数据资料,算得 ? xi ? 80 ,
i ?1 10

? yi ? 20 , ? xi yi ? 184 , ? xi2 ? 720 .
i ?1 i ?1 i ?1

10

10

10

(Ⅰ)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ; (Ⅱ)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关; (Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.

附:线性回归方程 y ? bx ? a 中, b ?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

, a ? y ? bx ,

? ?a ?. 其中 x , y 为样本平均值,线性回归方程也可写为 ? y ? bx

【解析】(Ⅰ)由题意知, n ? 10, x ?
n 2

1 n 80 1 n 20 xi ? ? 8, y ? ? yi ? ? 2, ? n i ?1 10 n i ?1 10
n

又 l xx ? ? xi 2 ? n x ? 720? 10? 82 ? 80, l xy ? ? xi yi ? n x y ? 184? 10? 8 ? 2 ? 24,
i ?1 i ?1

由此得 b ?

l xy l xx

?

24 ? 0.3, a ? y ? b x ? 2 ? 0.3 ? 8 ? ?0.4 80

故所求回归方程为 y ? 0.3x ? 0.4 .

(Ⅱ)由于变量 y 的值随 x 的值增加而增加 (b ? 0.3 ? 0) ,故量 x 与 y 之间 是正相关. (Ⅲ)将 x?7 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为
y ? 0.3 ? 7 ? 0.4 ? 1.7 (千元).

19. 某产品的三个质量指标分别为 x,y,z,用综合指标 S=x+y+z 评价该 产品的等级.若 S≤4,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取 10 件产品作为样本,其质量指标列表如下: 产品编号 质量指标 (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) (x, y, z) 产品编号 质量指标 (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2) (x, y, z) (1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率. (2)在该样品的一等品中,随机抽取 2 件产品, ①用产品编号列出所有可能的结果; ②设事件 B 为“在取出的 2 件产品中,每件产品的综合指标 S 都等于 4”,求事件 B 发生的概率. 【解析】(1)计算 10 件产品的综合指标 S,如下表
A1 A3 A2 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

产品编号

S

4

4

6

3

4

5

4

5

3

5

其中 S≤4 的有 A1,A2,A4,A5,A7,A9,共 6 件,故该样本的一等品率为错 误!未找到引用源。=0.6,从而可估计该批产品的一等品率为 0.6. (2) ①在该样本的一等品中 , 随机抽取 2 件产品的所有可能结果为 (A1,A2),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A7),(A1,A9),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A7),(A2,A9),( A4,A5),(A4,A7),(A4,A9),(A5,A7),(A5,A9),(A7,A9),共 15 种. ②在该样本的一等品中 , 综合指标 S 等于 4 的产品编号分别为 A1,A2,A5,A7,则事件 B 发生的所有可能结果为 (A1,A2),(A1,A5),(A1,A7),(A2,A5),(A2,A7),(A5,A7),共 6 种. 所以 P( B) ?
6 2 ? . 15 5

20. 18.(12 分)(2011·通州模拟)已知集合 {(x,y)|x∈[0,2],y∈ [-1,1]}. (1)若 x,y∈Z,求 x+y≥0 的概率; (2)若 x,y∈R,求 x+y≥0 的概率. 20.【解析】(1)设事件“x+y≥0,x,y∈Z”为 A x,y∈Z,x∈[0,2] ,即 x=0,1,2; y∈[-1,1],即 y=-1,0,1 则基本事件如表,

基本事件总和 n=9, 其中满足“x+y≥0”的基本事件 n=8 P(A)=
m 8 ? n 9 8 9

故 x,y∈Z,x+y≥0 的概率为 . (2)设事件“x+y≥0,x,y∈R”为 B, x∈[0,2] ,y∈[-1,1] 基本事件用下图四边形 ABCD 区域表示,

SABCD=2×2=4 事件 B 包括的区域如阴影部分 S 阴影=SABCDP ? B? ?
1 1 7 ? 1? 1 ? 4 ? ? , 2 2 2

S阴影 7 / 2 7 7 ? ? ,故 x,y∈R,x+y≥0 的概率为 . 8 SABCD 4 8

21.(12 分)某中学的高二(1)班男同学有 45 名,女同学有 15 名,老师 按照分层抽样的方法组建了一个 4 人的课外兴趣小组.

(1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数; (2)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定选出两名同学做某 项实验,方法是先从小组里选出 1 名同学做实验,该同学做完后,再 从小组内剩下的同学中选一名同学做实验, 求选出的两名同学中恰有 一名女同学的概率; (3)试验结束后,第一次做试验的同学得到的试验数据为 68,70,71,72,74,第二次做试验的同学得到的试验数据为 69,70,70,72,74,请问哪位同学的实验更稳定?并说明理由. 21.【解析】(1) P ? 男同学,则
n 4 1 1 ? ? ∴某同学被抽到的概率为 .设有 x 名 m 60 15 15

45 x ? ,∴x=3, 60 4

∴男、女同学的人数分别为 3,1. (2)把 3 名男同学和 1 名女同学记为 a1,a2,a3,b, 则选取两名同学的基 本事件有 (a1,a2),(a1,a3),(a1,b),(a2,a1),(a2,a3),(a2,b),(a3,a1),(a3,a2),(a3, b),(b,a1),(b,a2),(b,a3)共 12 种,其中有一名女同学的有 6 种. ∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为 P ? (3) x1 ?
68 ? 70 ? 71 ? 72 ? 74 ? 71, 5 69 ? 70 ? 70 ? 72 ? 74 x2 ? ? 71 , 5
2 1

6 1 ? 12 2

s

? 68 ? 71? ?

2

??? 74 ? 71? ? 4, 5
2

s

2 2

? 69 ? 71? ?

2

??? ? 74 ? 71? ? 3.2 , 5
2

∴第二位同学的实验更稳定.

22.(12 分)某班同学利用国庆节进行社会实践,对[25,55]岁的人 群随机抽取 n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查, 若生 活习惯符合低碳观念的称为“低碳族” ,否则称为“非低碳族” ,得到 如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:

(1)补全频率分布直方图并求 n、a、p 的值; (2)从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 6 人参 加户外低碳体验活动,其中选取 2 人作为领队,求选取的 2 名领队中 恰有 1 人年龄在[40,45)岁的概率. 22.【解析】(1)第二组的频率为 1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)× 5=0.3,所以高为
0.3 ? 0.06 .频率直方图如下: 5

第一组的人数为

120 200 ? 200 ,频率为 0.04×5=0.2,所以 n ? ? 1 000. 0.6 0.2

由题可知,第二组的频率为 0.3,所以第二组的人数为 1 000× 0.3=300,所以 p ?
195 ? 0.65. 300

第四组的频率为 0.03×5=0.15,所以第四组的人数为 1 000× 0.15=150,所以 a=150×0.4=60. (2)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低 碳族” 的比值为 60∶30=2∶1, 所以采用分层抽样法抽取 6 人, [40,45) 岁中有 4 人, [45,50)岁中有 2 人. 设[40,45)岁中的 4 人为 a、b、c、d, [45,50)岁中的 2 人为 m、n, 则选取 2 人作为领队的有(a,b)、 (a,c)、 (a,d)、 (a,m)、 (a,n)、 (b,c)、 (b,d)、 (b,m)、 (b,n)、(c,d)、 (c,m)、(c,n)、(d,m)、 (d,n)、(m,n), 共 15 种; 其中恰有 1 人年龄在 [40,45)岁的有(a,m)、 (a,n)、 (b,m)、 (b,n)、(c,m)、(c,n)、(d,m)、(d,n),共 8 种. 所以选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在[40,45)岁的概率为 P ?
8 . 15


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