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正弦定理


1.1.1正弦定理
主讲老师:陈震

复习引入
如图,固定△ABC的边CB及∠B, 使边AC绕着顶点C转动.
A

C

B

A C

B

复习引入
如图,固定△ABC的边CB及∠B, 使边AC绕着顶点C转动.

思考:
∠C的大小与它的对边AB的长度 之间有怎样的数量关系?
A C B

A C

B

复习引入
如图,固定△ABC的边CB及∠B, 使边AC绕着顶点C转动.

思考:
∠C的大小与它的对边AB的长度 之间有怎样的数量关系? 显然,边AB的长度随着其对角 ∠C的大小的增大而增大. A
A C B

C

B

复习引入
如图,固定△ABC的边CB及∠B, 使边AC绕着顶点C转动.

思考:
∠C的大小与它的对边AB的长度 之间有怎样的数量关系? 显然,边AB的长度随着其对角 ∠C的大小的增大而增大. A 能否用一个等式把 这种关系精确地表示出 C 来? B
A C B

讲授新课

思考1:
那么对于任意的三角形,以上关 系式是否仍然成立?

讲授新课

思考1:
那么对于任意的三角形,以上关 系式是否仍然成立? 可分为锐角三角形和钝角三角形 两种情况.

讲授新课

思考2:
还有其方法吗?

讲授新课

思考2:
还有其方法吗? 用向量来研究这问题.

正弦定理:

正弦定理: 在一个三角形中,各边和它所对 角的正弦的比相等,即

正弦定理: 在一个三角形中,各边和它所对 角的正弦的比相等,即

a b c ? ? sin A sin B sin C

思考: 正弦定理的基本作用是什么?

思考: 正弦定理的基本作用是什么? ①已知三角形的任意两角及其一边可 以求其他边,如 b sin A a? sin B

思考: 正弦定理的基本作用是什么? ①已知三角形的任意两角及其一边可 以求其他边,如 b sin A a? sin B ②已知三角形的任意两边与其中一边 的对角可以求其他角的正弦值,如 a sin A ? sin B b

解三角形: 一般地,已知三角形的某些边

和角,求其他的边和角的过程叫作
解三角形.

讲解范例: 例1. 在△ABC中,已知A=32.0 , B=81.8 ,a=42.9cm,解三角形.
o o

练习: 在△ABC中,已知下列条件,解三角 形(角度精确到1 , 边长精确到1cm):
o

(1) A=45 ,C=30 ,c=10cm;
(2) A=60 ,C=45 ,c=20cm.
o o

o

o

讲解范例: 例2. 在△ABC中,已知a=20cm, b=28cm,A=40 ,解三角形(角
o

度精确到1 , 边长精确到1cm).

o

练习: 在△ABC中,已知下列条件,解三角 形(角度精确到1 , 边长精确到1cm):
o

(1) a=20cm,b=11cm,B=30 ;
(2) c=54cm,b=39cm,C=115 .
o

o

思考: 在△ABC中,

a b c ? ? ? k ( k ? 0), sin A sin B sin C
这个k与△ABC有什么关系?

课堂小结
1. 定理的表示形式:

a b c ? ? sin A sin B sin C a?b?c ? ? k ( k ? 0) sin A ? sin B ? sin C

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课堂小结
2. 正弦定理的应用范围: ①已知两角和任一边,求其它两边及 一角; ②已知两边和其中一边对角,求另一 边的对角.

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课后作业
1. 阅读必修5教材P.2到P.4; 2. 教材P.10习题1.1A组第1、2题.

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