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一般形式柯西不等式


一般形式的柯西不等式

从 平 面 向 量 的 几 何 背能 景得 到 ? ? ? ? ?? , 将 平 面 向 量 的 坐 标 代, 入化 简 后 得 二 维 形 式
2 2 2 2 的 柯 西 不 等( 式 :1 a ? a2 ) (b1 ? b2 ) ? (a1b1 ? a2b2 )2 当且仅当 a1b2 ? a 2 b1时, 等 号 成 立

.

类似地 ,从 空 间 向 量 的 几 何 背也 景能 得 到

? ? ? ? ? ? ,将 空 间 向 量 的 坐 标 代, 入
化简后得
2 2 2 2 2 2 (a1 ? a2 ? a3 ) (b1 ? b2 ? b3 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2

当且仅当 ? , ?共 线 时 , 即? ? 0, 或 存 在 一 个 数 k, 使 得a i ? kbi ( i ? 1,2,3)时, 等 号 成 立 .

猜想柯西不等式的一般形式
2 2 2 2 2 2 (a1 ? a2 ? ?? an )(b1 ? b2 ? ?bn ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ?anbb )2

2 2 2 分析: 设A ? a1 ? a2 ? ?? an,B ? a1b1 ? a2b2 ? ?anbn 2 2 2 2 AC ? B C ? b1 ? b2 ? ?? bn, 则不等式就是 构造二次函数
2 2 2 f ( x ) ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) x 2 ? 2(a1b1 ? a 2 b2 ? ? an bn ) x 2 2 ? (b12 ? b2 ? ? bn ) 又f ( x) ? (a1 x ? b1 )2 ? (a2 x ? b2 )2 ? ?? (an x ? bn )2 ? 0

? 二次函数f ( x )的判别式? ? 0, 即
2 ? ( b1

2 2 2 4( a1b1 ? a2b2 ? ? anbn )2 ? 4( a1 ? a2 ? ? an )

?

2 b2

???

2 bn ) ?

0

定 理(一 般 形 式 的 柯 西 不 等 ) 式
2 2 2 2 2 2 (a1 ? a2 ? ?? an )(b1 ? b2 ? ?bn ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ?anbb )2

设a1 , a 2 , a 3 , ? , a n , b1 , b2 , b3 , ? , bn是 实 数 ,则

当且仅当 bi ? 0( i ? 1,2, ? , n)或 存 在 一 个 数 k , 使 得a i ? kbi ( i ? 1,2, ? , n)时, 等 号 成 立 。

例1 已 知a1 , a2 ,? , an都 是 实 数 ,求 证 1 2 2 2 2 (a1 ? a2 ? ? ? an ) ? a1 ? a2 ? ? ? an n

证 明: (1 ? 1 ? ? ? 1 )(a ? a ? ? ? a )
2 2 2 2 1 2 2 2 n

? (1 ? a1 ? 1 ? a2 ? ? ? 1 ? an )

2

2 2 2 ? n(a1 ? a2 ? ?? an ) ? (a1 ? a2 ? ?? an )2 1 2 2 2 2 ? (a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? a1 ? a2 ? ? ? a n n

例2 已 知a , b, c , d是 不 全 相 等 的 正 数 ,证明 a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ab ? bc ? cd ? da
证明 : (a ? ? c ? d )(b ? c ? d ? a ) ? (ab ? bc ? cd ? da )2 a b c d ? a , b, c , d是不全相等的正数,? ? ? ? 不成立 b c d a ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 )2 ? (ab ? bc ? cd ? da )2 即 a ? b ? c ? d ? ab ? bc ? cd ? da
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

例3 已知x ? 2 y ? 3z ? 1, 求x ? y ? z 的最小值
2 2 2

证 明: ( x 2 ? y 2 ? z 2 )(12 ? 2 2 ? 3 2 ) ? ( x ? 2 y ? 3 z ) 2 ? 1 1 2 2 2 ?x ? y ?z ? 14 x y z 1 1 3 当 且 仅 当 ? ? 即x ? , y ? , z ? 时 1 2 3 14 7 14 1 2 2 2 x ? y ? z 取最小值 14

P 41 6. 设x1 , x 2 ,?xn ? R ? , 且x1 ? x2 ? ? ? xn ? 1,
2 2 2 x1 x2 xn 1 求 证: ? ? ?? ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? xn n ? 1
2 2 2 x1 x2 xn 证 明: ( n ? 1) ? ( ? ? ?? ) 1 ? x1 1 ? x2 1 ? xn 2 2 x1 x2 ? (1 ? x1 ? 1 ? x2 ? ? ? 1 ? xn ) ? ( ? ? 1 ? x1 1 ? x2 2 xn x1 x2 ?? ) ? ( 1 ? x1 ? ? 1 ? x2 ? 1 ? xn 1 ? x1 1 ? x2

xn ? ? ? 1 ? xn ? )2 ? ( x1 ? x2 ? ? ? xn )2 ? 1 1 ? xn 2 2 2 x1 x2 xn 1 ? ? ? ?? ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? xn n ? 1

补充 例1 已知实数a , b, c , d , e满足a ? b ? c ? d ? e ? 8, 例题 2 2 2 2 2
a ? b ? c ? d ? e ? 16, 求e的取值范围.

解 : ? 4(a2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ) ? (1 ? 1 ? 1 ? 1)(a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ) ? (a ? b ? c ? d) 2 即4(16 ? e 2 ) ? (8 ? e )2 , 即64 ? 4e 2 ? 64 ? 16e ? e 2 16 2 ? 5e ? 16e ? 0, 故 0 ? e ? 5

1 4 9 例2 已知x, y, z ? R? , 且x ? y ? z ? 1, 求证 ? ? ? 36 x y z
证法一 : 用柯西不等式 1 4 9 1 4 9 ? ? ? ( x ? y ? z )( ? ? ) x y z x y z 1 2 3 2 ?( x? ? y? ? z? ) ? 36 x y z 1 2 1 2 1 1 1 当且仅当x ? y ? z , 即x ? , y ? , z ? 时, 4 9 6 3 2 等号成立.
2

1 4 9 例2 已知x, y, z ? R? , 且x ? y ? z ? 1, 求证 ? ? ? 36 x y z
证 法 二: 代 入 法 1 4 9 1 4 9 ? ? ? ( x ? y ? z) ? ( x ? y ? z) ? ( x ? y ? z) x y z x y z y 4x z 9x 4z 9 y ? 14 ? ( ? )?( ? )?( ? ) x y x z y z ? 14 ? 4 ? 6 ? 12 ? 36 1 1 1 当且仅当 y ? 2 x , z ? 3 x , 即x ? , y ? , z ? 时 , 等 号 成 立 . 6 3 2


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