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数列的概念与简单表示法教案


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授课教案
学员姓名:__________ 学员年级:__________ 教学标题 授课教师:_ 所授科目: 上课时间:___年__月___日___时___分至___时___分共___小时
数列的概念与简单表示法

1. 熟练掌握:了解数列(含等差数列、等比数列)的概念和几种简单的表 教学目标 示方法(列表、图象、通项公式) ,了解数列是一种特殊的函数; 2. 理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系;
3. 能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前 n 项和的问题。

教学重难点 上次作业检查

重点掌握: 正确数: 正确率:

考点内容: 问题描述:

授课内容: 一 复习上次课内容: 二 梳理知识(新课内容) 1.数列的定义:按照一定顺序排列着的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列 的项. 2.数列的分类

分类原则 按项数分类

类型 有穷数列 无穷数列 递增数列

满足条件 项数有限 项数无限

an+1>an an+1<an an+1=an
存在正数 M,使|an|≤M 其中 n∈N+

按项与项间的 大小关系分类 按其他标准分 类

递减数列 常数列 有界数列 摆动数列

an 的符号正负相间,如 1,-1,1,-1,…

3.数列的表示法:数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法. 4. 数列的通项公式: 如果数列{an}的第 n 项 an 与 n 之间的函数关系可以用一个式子 an=f(n) 来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 5. Sn 与 an 的关系:若 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ??? an ,则 an ? ?
(n ? 1), ?S1 , . ?Sn ? Sn?1 , (n ? 2).

6.数列是特殊的函数:在数列 ?an ? 中,对于 每一个正整数 n 都有一个数 an 与之对应,因 此,数列可以看成 定义域为自然数集或自然数集的子集 ,当自变量照从小到大的顺序依 次取值时,所对应的一列函数值.反过来,对于函数 y ? f ( x) ,如果 f (i),(i ? 1, 2,3,?) 有意义,
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那么我们可以得到一个数列 f (1) , f (2) , f (3) ,., f (n) ,.. .. ..(强调有序性). 三 典型例题 1. 已知数列{an}的前 4 项分别为 2,0,2,0, 则下列各式不可以作为数列{an}的通项公式的是 ( ).
n+1

A.an=1+(-1)

B.an=2sin


2 B

C.an=1-cos nπ

?2,n为奇数 ? D.an=? ? ?0,n为偶数

解析 根据数列的前 4 项验证.答案

2. 已 知 数 列 {an} 的 前 n 项 和 Sn 满 足 : Sn + Sm = Sn + m , 且 a1 = 1 , 那 么 a10 等 于 ( ) A.1 B.9 C.10 D.55 【解析】∵Sn+Sm=Sn+m,∴S1+S9=S10,整理得 S10-S9=a10=S1=a1=1.故选 A. 3.已知数列{an}的前 n 项和 an=n +kn,若对所有的 n∈N ,都有 an+1>an,则实数 k 的取值 范围是________. 答案 k>-3. 4. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n -2n+1,则其通项公式为________. 解析 当 n=1 时,a1=S1=3×1 -2×1+1=2; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n -2n+1-[3(n-1) -2(n-1)+1]=6n-5,显然当 n=1 时, 不满足上式.
? ?2,n=1, 故数列的通项公式为 an=? ?6n-5,n≥2. ?
2 2 2 2 2 *

5. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, an?1 ?

an ? 3 3an ? 1

(n ? N * ) ,则 a 20 = ? 3 。

分析:由 a1=0, a n ?1 ?

an ? 3 3an ? 1

(n ? N ? ) 得 a2 ? ? 3, a3 ? 3, a4 ? 0,? ? ? ? ? ? 由此可知:

数列 {an } 是周期变化的,且三个一循环,所以可得: a20 ? a2 ? ? 3.

6. 写出下面各数列的一个通项公式: (1)3,5,7,9,…; 3 1 3 1 3 (3)-1, ,- , ,- , ,…; 2 3 4 5 6
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1 3 7 15 31 (2) , , , , ,…; 2 4 8 16 32 (4)3,33,333,3 333,….

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解 :(1) an=2n+1. (3) an=(-1) ·
n

2 -1 (2) an= n . 2
n

n

2+? -1?

n

1 n .(4) an= (10 -1). 3

1 7. 数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an+1= Sn(n=1,2,3,…),求通项 an . 3 1 1 【解析】∵an+1= Sn,∴an= Sn-1(n≥2), 3 3 1 1 ∴an+1-an= (Sn-Sn-1)= an(n≥2), 3 3 4 1 1 1 ∴an+1= an(n≥2).又 a1=1,a2= S1= a1= , 3 3 3 3

?1,n=1, ? 4 ∴{an}是从第 2 项起,公比为 的等比数列.∴an=?1 4 n-2 3 ?3·(3) ,n≥2. ?
? 8. 已知数列 ?an ? 满足 2a1 ? 22 a2 ? 23 a3 ?? ??2n an ? 4n ?1,求 ?an ? 的通项公式.

?? 【解析】 2a1 ? 22 a2 ? 23 a3 ?? ? 2n?1 an?1 ? 2n an ? 4n ?1

① ②

? n>1时, 2a1 ? 2 a2 ? 2 a3 ?? ??2 an?1 ? 4
2 3

n?1

n?1

?1

n n n ?1 n ① ? ②得 2 an ? 4 ? 4 , an ? ?2 (n=1时也成立)

3 4

9. 根据下列条件,确定数列{an}的通项公式. (1)a1=1,an+1=3an+2;(2)a1=1,an= 3n+2,且 a1=2,求 an. [审题视点] (1)可用构造等比数列法求解.(2)可转化后利用累乘法求解.(3)可利用累加 法求解. 解 (1)∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1),∴ 公比 q=3, 又 a1+1=2,∴an+1=2·3 (2)∵an=
n-1

n-1 an-1(n≥2);(3)已知数列{an}满足 an+1=an+ n

an+1+1 =3,∴数列{an+1}为等比数列, an+1

,∴an=2·3

n-1

-1.

n-1 n-2 1 an-1(n≥2),∴an-1= an-2,…,a2= a1.以上(n-1)个式子相乘得 an= n n-1 2

1 2 n-1 a1 1 a1· · ·…· = = . 2 3 n n n (3)∵an+1-an=3n+2,∴an-an-1=3n-1(n≥2), ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=

n? 3n+1?
2

(n≥2).当 n=1 时,a1=

1 2

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3 2 n ×(3×1+1)=2 符合公式,∴an= n + . 2 2 已知数列的递推关系,求数列的通项时,通常用累加、累乘、构造法求解.当出 现 an=an-1+m 时,构造等差数列;当出现 an=xan-1+y 时,构造等比数列;当出现 an=an-
1

+f(n)时,用累加法求解;当出现

an =f(n)时,用累乘法求解. an-1

?10?n 10. 已知数列{an}的通项 an=(n+1)? ? (n∈N+),试问该数列{an}有没有最大项?若有, ?11?
求最大项的项数;若没有,说明理由. [审题视点] 作差:an+1-an,再分情况讨论.

?10?n+1 ?10?n ?10?n9-n. 解 ∵an+1-an=(n+2)? ? -(n+1)? ? =? ? ?11? ?11? ?11? 11
当 n<9 时,an+1-an>0,即 an+1>an; 当 n=9 时,an+1-an=0,即 an+1=an; 当 n>9 时,an+1-an<0,即 an+1<an; 故 a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,所以数列中有最大项为第 9,10 项.

(1)数列可以看作是一类特殊的函数,因此要用函数的知识,函数的思想方法来 解决. (2)数列的单调性是高考常考内容之一,有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借 助数列的单调性来解决,判断单调性时常用①作差法,②作商法,③结合函数图象等方法. 四 课堂练习(可以另附资料) 五 课堂小结(对本次课知识、考点、方法等进行归纳) 1、一个联系 数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数,当自变量 依次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数列.因此,在研究函数问题时既要注意 函数方法的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性.

2、两个区别 (1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的两个数列,这有别于集 合中元素的无序性. (2)数列中的数可以重复出现,而集合中的元素不能重复出现. 3、由递推式求通项 an 的方法: (1)an+1-an=f(n)型,采用叠加法;

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an+1 (2) =f(n)型,采用叠乘法; an (3)an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0)型,采用待定系数法转化为等比数列解决. 六 下次课内容: 课后作业: 学员课堂表现:

签字确认

学员_____________

教师_____________

班主任_____________

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