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江西省高安中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学(文)试题


江西省高安中学 2014-2015 学年度下学期期末考试

高一年级文科数学试题
一.选择题 (本大题共 12 小题,每小题5分,共 60 分) 1.不等式 x( x ? 2) ? 0 的解集为( A. {x | x ? 0或x ? ?2} C. {x | 0 ? x ? 2} 2. 数列 1, ? , ) B. {x | ?2 ? x ? 0} D. {x | x ? 0或x ? 2}

5 7 9 , ? ,.... 的一个通项公式是( ) 8 15 24 n ?1 2n ? 1 n ?1 2n ? 1 (n ? N ? ) (n ? N ? ) A. an ? (?1) B. an ? (?1) 2 n ?n n 2 ? 3n n ?1 2n ? 1 n ?1 2n ? 1 (n ? N ? ) (n ? N ? ) C. an ? (?1) D. an ? (?1) 2 n ? 2n n 2 ? 2n
3. 设 a, b, c ? R ,且 a ? b ,则( A. ac ? bc B. ) C. a ? b
2 2 2

1 1 ? a b

D. a ? b
3

3

4. 在等差数列 ?an ? 中, a2 , a10 是方程 2 x ? x ? 7 ? 0 的两根,则 a6 等于 ( 1 A. 2 5. sin ? ? cos ? ? A. ?
2 3

).

1 B. 4
3 则 sin 2? ? ( 3 2 B. ? 9

7 C.- 2 ) C.
2 9

7 D.- 4

D. ) D.6

2 3

9 1 2 6.在等比数列中,a1=8,an=3,q=3,则项数 n 为( A.3 7.已知不等式 A.3 8.若 B.4 C.5
3 3

a ? 2b x?3 >0 的解集为 (?1,3) ,那么 =( ax ? b 3b 2 a
B. ?

) D.1

sin ? ? cos ? 1 ? ,则 tan 2? ? ( sin ? ? cos ? 2 3 3 A. B. ? 4 4

1 3

C.-1 ) C. ?

3 5

D.

3 5


9. 在 ?ABC 中,角 A 、 B 的对边分别为 a 、 b 且 A ? 2 B , sin B ?

4 a ,则 的值是( 5 b

A.

3 5

B.

6 5

C.

4 3

D.

8 5

10. 已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? 成立的自然数 n ( A.有最大值 62 11.已知 cos ? ? )

n ?1 1 (n ? N ? ) ,设 ?an ? 的前 n 项积为 s n ,则使 sn ? n?2 32

1 ? 13 , cos( ? ? ? ) ? ,且 0 ? ? ? ? ? , ? ? ( 7 2 14
B.

B.有最小值 63

C.有最大值 62

D.有最小值 31 )

A.

? 4

? 6

C.

? 3

D.

5 ? 12
) D.1830

12.已知数列 ?an ? 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ? 1, 则 ?an ? 的前 60 项和为( A.3690 B.3660 C.1845

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。) 13.不等式

( x ? 3)( x ? 2) ? 0 的解集为___________. x ?1
2 2

14.已知等差数列{an}的首项 a1=20,公差 d=-2,则前 n 项和 Sn 的最大值为________. 15.函数 f ( x ) = sin 2 x ? cos 2 x 的最小正周期是 .

16. 如图,从玩具飞机 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯 角分别为 67° ,30° ,此时气球的高是 46 m,则河流的宽度 BC 约
第 16 题图

等于________m. (用四舍五入法将结果精确到个位. 参考数据: sin 67° ≈0.92, cos 67° ≈0.39, sin 37° ≈0.60,cos 37° ≈0.80, 3≈1.73) 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分) 当 a 为何值时,不等式 (a ? 1) x ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 的解集是全体实数?
2 2

18.(本小题满分 12 分) 已知 x ? 0, y ? 0, 且 (1) xy 的最小值;(2) x ? y 的最小值.

2 8 ? ? 1,求: y x

19.( 本小题满分 12 分)已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,?an ? 的前 n 项和为

Sn .
(1) 求 an 及 Sn ; (2) 求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和为 Tn . ? Sn ?

20.(本小题满分 12 分)已知 b ? c ? a ? bc . (1)求角 A 的大小;
2 2 2

(2)如果 cos B ?

6 , b ? 2 ,求 ?ABC 的面积. 3

x? ? ? ) a cos x ? ( ? 2 ) 中 a∈R, 21. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数 f ( x) ? s i n ( ,其

? ? ? ? (? , )
2 2
(1)当 a ?

2, ? ?

?
4

时,求 f ( x ) 在区间 ? 0, ? ? 上的最大值与最小值;

(2)若 f ( ) ? 0, f (? ) ? 1 ,求 a,θ 的值.

?

2

22.(本小题满分 12 分)设各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, a1 ? a3 ? 10, a3 ? a5 ? 40.

bn ? log2 an
(1)求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)若 c1 ? 1, cn?1 ? cn ?

bn ,求证: cn ? 3 ; an
1 1 1 k ? ? ?????? ? ? 对任意正整数 n 均成立? bn ? 1 bn ? 2 bn ? n 10

(3)是否存在正整数 k,使得

若存在,求出 k 的最大值,若不存在,说明理由.

江西省高安中学 2014-2015 学年度下学期期末考试

高一年级文科数学试答案
1 题号 A D D B A B B A B B C D 选项 13 (?1,1) ? (3, ??) 14. 110 15 .8 16.60 17 若 a=1,则原不等式为-1<0,恒成立;………….2 分 1 .若 a=-1,原不等式为 2x-1<0,即 x< ,不符合题目要求,舍去.………….4 分 2 (2) 当 a2 - 1≠0 , 即 a≠± 1 时 , 原 不 等 式 的 解 集 是 全 体 实 数 的 条 件 是 2 ? ?a -1<0, ? …………6 分 2 2 ? ?Δ=(a-1) +4(a -1)<0, 3 解得- <a<1. ………….9 分 5 3 综上所述,当- <a≤1 时,原不等式的解集是全体实数.………….10 分 5 18.解:(1)∵x>0,y>0, ∴xy=2x+8y≥2 16xy 即 xy≥8 xy,∴ xy≥8, 即 xy≥64. …………4 分 当且仅当 2x=8y 即 x=16,y=4 时,“=”成立.…………5 分 ∴xy 的最小值为 64…………6 分 (2)∵x>0,y>0,且 2x+8y-xy=0, 2 8 ∴2x+8y=xy,即 + =1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

y x

2 8 2x 8y ∴x+y=(x+y)·( + )=10+ + ≥10+2

y x

y

x

2x 8y · =18…………10 分

y

x

2x 8y 当且仅当 = ,即 x=2y=12 时“=”成立.

y

x

∴x+y 的最小值为 18. …………12 分 19. (1)解得 a1 ? 3 , d ? 2 ,……….2 分

所以 an ? 3 ? 2(n ?1) ? 2n ? 1 ;………….3 分

S n ? 3n ?

n(n ? 1) ? 2 ? n 2 ? 2n .………….6 分 2

(2)由(Ⅰ)可知, Sn ? n2 ? 2n ,所以 所以 Tn ?

1 1 1 1 1 ? ? ?L ? ? S1 S2 S3 Sn?1 Sn

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?) 2 3 2 4 3 5 n? 1 n? 1 n n? 2 1 ? 1? 1 1 1 ? 3 1? 1 ? ? ?1 ? ? ? ? .……….12 分 ?? ? ? 2 ? 2 n ?1 n ? 2 ? 4 2 ? n ?1 n ? 2 ?
2 2 2

b2 ? c2 ? a2 1 ? ,???????? 3 20. 解: ( 1 )因为 b ? c ? a ? bc ,所以 cos A ? 2bc 2
分 又因为 A ? ?0, (2)因为 cos B ?

? ? ,所以 A ?

?
3

?????????5 分

6 3 2 , B ? ?0, ? ? ,所以 sin B ? 1 ? cos B ? ????6 分 3 3 a b b sin A ? ? 3 ??????????????7 分 由正弦定理 ,得 a ? sin A sin B sin B 2 2 2 2 因为 b ? c ? a ? bc ,所以 c ? 2c ? 5 ? 0 ??????????????8 分 解得 c ? 1 ? 6 ,因为 c ? 0 ,所以 c ? 6 ? 1 ??????????????10 分
故△ABC 的面积 S ?

π 21.解:(1)当 a= 2,θ= 时, 4

1 3 2? 3 ????????????????12 分 bc sin A ? 2 2

π? 2 2 2 ? π? f(x) = sin ? ?x+4? + 2cos ?x+2? = 2 (sin x+cos x) - 2sin x = 2 cos x - 2 sin x = sin

?π-x?,……………….3 分 ?4 ?
3π π? π 因为 x∈[0,π],从而 -x∈? ?- 4 ,4?,…………………4 分 4 故 f(x)在[0,π]上的最大值为 π? ? ?f? =0, ? (2)由? 2? ? ?f?π?=1
?cos θ?1-2asin θ?=0, ? 得? 2 ?2asin θ-sin θ-a=1. ?

2 ,最小值为-1………….6 分 2

………………7 分.

π π? 又 θ∈? ?-2,2?知 cos θ≠0, a=-1, ? ? 解得? ………….12 分 π ? ?θ=-6. 22.解:(1)设数列{an}的公比为 q(q>0),
? ?a1+a1q =10 由题意有? 2 4 ?a1q +a1q =40 ?
2



∴a1=q=2,∴an=2 , ∴bn=n. …………3 分. (2)∵c1=1<3,cn+1-cn= n,…………4 分. 2 1 2 n-1 当 n≥2 时,cn=(cn-cn-1)+(cn-1-cn-2)+?+(c2-c1)+c1=1+ + 2+?+ n-1 , 2 2 2 1 1 1 2 n-1 ∴ cn= + 2+ 3+?+ n . 2 2 2 2 2 1 1 n-1 n+1 相减整理得:cn=1+1+ +?+ n-2- n-1 =3- n-1 <3, 2 2 2 2 故 cn<3. …………7 分. (3)令 f(n)= = 1

n

n

bn+1 bn+2



1

+?+

1

bn+n

1 1 1 + +?+ n+1 n+2 2n

1 1 1 ∵f(n+1)-f(n)= + - 2n+1 2n+2 n+1 = 1 1 - >0, 2n+1 2n+2

∴f(n+1)>f(n). ∴数列{f(n)}单调递增, 1 ∴f(n)min=f(1)= . 2

k 1 由不等式恒成立得: < , 10 2
∴k<5. 故存在正整数 k,使不等式恒成立,k 的最大值为 4…………12 分.

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