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液压缸临界载荷计算和最优设计


液压缸临界载荷计算和最优设计

林荣川

郭隐彪

魏莎莎等

液压缸临界载荷计算和最优设计
林荣川1 郭隐彪2 魏莎莎1 林 辉3
1. 集美大学, 厦门, 361012 2. 厦门大学, 厦门, 361002 3. 厦门厦工机械股份有限公司, 厦门, 361012

要: 针对液压缸活塞杆与缸体由于受轴力和横向力的共同作用而产生弯曲变形导致液压缸整体 失稳的问题, 分别对活塞杆和缸体建立挠曲性微分方程, 确定活塞杆与缸体间隙处最大挠度, 再建立关 于挠度的非线性方程组, 获得计算液压缸临界载荷的超越方程。结合参数化有限元优化设计技术, 获取 体积约束条件下液压缸的合理尺寸, 通过与 Ritz 法计算结果比对和实验验证可知, 该算法能够较好地 优化液压缸结构参数, 满足工程实际应用需要。 关键词: 液压缸; 挠曲微分方程; 临界载荷; 优化设计 中图分类号: T H 137. 51 文章编号: 1004 132X( 2011) 04 0389 05

Critical Load and Optimum Design for Hydraulic Cylinders L in Ro ng chuan 1 Guo Yinbiao 2 Wei Shasha 1 L in H ui3 1. Jimei U niversit y, Xiamen, F ujian, 361012 2. Xiamen Universit y, Xiam en, F ujian, 361002 3. Xiamen XGM A M achinery Co. Lt d. , Xiamen, Fujian, 361012 Abstract: T he g ap bet w een pist on r od and cy linder is an im port ant f act or w hich af fects the st abilit y of a hydr aulic cylinder. Wit h the ef f ect s of gap, bending w as caused in pist on rod and cylinder under ax ial and lateral for ces. Based on buckling dif f erential equat ions for hydraulic cylinder, a deflection nonlinear equation f or pist on ro d and cylinder w as proposed fo r calculat ing t he crit ical load. Under t he co ndition of know n volume const raint s and crit ical lo ad, t he param et ric f init e elem ent method w as used t o est ablish and analy ze t he mechanical mo del of hy draulic cy linder. A nonlinear quadratic prog ramming m et hod w as applied fo r t he optimum desig n of t he st ruct ur es. Com pared wit h the size w hich calculat ed by Rit z and verif ied by st abilit y t est , t he result s show t he method is applicable for calculat ion of st abilit y for hydraulic cy linder s. Key words: hy draulic cylinder; buckling diff er ent ial equat ion; crit ical load; o pt imum design

0

引言
液压缸是机械设备中常用的执行元件, 通常

承受轴向压力, 当轴向力达到或超过一定限度( 即 临界载荷) 时会发生失稳, 使构件失效, 导致突发 性坍塌。因此, 许用临界载荷的确定及抗失稳性 能的设计是液压缸设计的必要内容。 国内外有关学者对液压缸稳定性进行了很多 有价值的分析。周洁等
[ 1]

收稿日期: 2010

05

07

基金项目: 国 家 高 技 术 研 究 发 展 计 划 ( 863 计 划 ) 资 助 项 目 ( 2008A A042501) ; 福建省自然科学基金 资助项目( 2009J 01259 ) ; 福建省教育厅资助项目( JB08182)

用概率的随机理论处理

电流, 同时在保证平均电流较大的基础上减小脉 宽, 以尽可能实现以气化为主的蚀除方式。
参考文献: [ 1] [ 2] [ 3] [ 4] 叶军. 数控低速 走丝电火花 线切割 加工技 术及市 场 发展分析[ J] . 电加工与模具, 2005( 增刊) : 13 16. 刘志东. 基于复 合工作液的 电火花 线切割 加工技 术 研究[ J] . 电加工与模具, 2008( 增刊) : 24 30. 周大农. 电火花 线切割 加工技 术的现 状和发 展[ J] . 机械工人, 2006( 6) : 17 19. 刘志东. 以复合 工作液为放 电介质 的低速 走丝电 火 花线切割可行性研究[ J] . 航空精密制造技 术, 2007,

43( 4) : 39 42. [ 5] [ 6] 方丁酉. 两相流动 力学[ M ] . 长沙: 国防科 学技术 大 学出版社, 1988. 高上品. 电火花加工过 程的物 理本质 [ J] . 机电一 体 化, 1996( 3) : 29 31. ( 编辑 王艳丽)

作者简介: 刘志东, 男, 1966 年生。 南京 航空 航天大 学机 电学 院 教授、 博士研究 生导 师。主要 研究 方向 为特 种加工 及机 电一 体 化。发表论文 80 余 篇。王振兴, 男, 1984 年 生。南京 航 空航 天 大学机电学院硕士研究生。张 航天大学机电学院博士研究生。 艳, 女, 1984 年生。 南京航空 航 天大学机电学院硕士研究生。 徐安阳, 男, 1981 年 生。南京航 空

389

中国机械工程第 22 卷第 4 期 2011 年 2 月下半月

液压缸参数的随机性变化, 分析了其稳定性问题。 陈世其等[ 2] 利用 Lag rang e 方程建立了液压缸的 振动方程即带周期系数的 M athieu 方程, 并根据 Bo lot in 方法确定了液压缸的动力不稳定区域, 讨 论了相关参数对液压缸不稳定性的影响。王世忠 等[ 3] 利用 H am ilt o n 原理, 建立了液压缸动力学模 型, 导出了分段表示的运动微分方程, 采用有限差 分法对微分方程中的空间变量进行了离散, 引入 状态变量确定了液压缸的稳定区域。董世民 [ 4] 建 立了计算临界载荷的超越方程, 利用 T aylo r 级数 展开, 得到了临界载荷的近似解。郭铁桥 把活 塞杆伸出到极限位置时液压缸整体稳定性问题简 化成相同长度的活塞杆的稳定性问题, 并辅以安 全系数, 建立了计算临界载荷的超越方程。上述 方法均是在将液压缸看成阶梯整体杆的基础上建 立计算模型, 与实际结构存在较大误差。活塞杆 与缸盖间存在间隙, 活塞与缸筒内壁也存在间隙, 活塞杆与缸筒因弯曲变形存在不同转角。考虑到 活塞杆与缸体的非刚性连接, 应该考虑活塞杆和 缸体的弯曲变形以及间隙对液压缸整体的稳定性 影响。
[ 5]

2 液压缸挠度曲线微分方程建立和临界 载荷计算
2. 1 活塞杆挠度曲线微分方程 在轴向力 P 作用下, 活塞杆产生弯曲变形, 其
1P , 则活塞杆截面弯矩可表示为 l2

中, x 为液压缸长度, y 1 为活塞杆挠度, 横向力为 F, F =

Py 1 M1(x) = Py 1 - 4 P
1

0< x ( x - l1 ) l2 l1 < x

l1 l1 + l2

挠曲线微分方程为
d2 y 1 + k2 y 1 = 0 1 dx 2 d2 y 1 + k2 y 1 = 1 dx 2
1

0< x k 2( x - l 1 ) 1 l2 k1 = P E 1I1 = 0 =
1 x = l+ 1

l1 ( 1) l1 + l2

l1 < x

边界条件和连续条件为
y 1 ( x ) | x= y1( x) | y1( x) |
x = l1 0 x = l 1+ l 2

= y1( x) |

dy 1 | x = l- = y 1 ( x ) | x = l+ 1 1 dx

1

液压缸轴向受力力学模型
图 1 所示为两端铰支的液压缸受力示意图,

在 X 轴方向的x = l 1 处出现阶梯变截面, l 1 表示 该截面在活塞杆一侧的位置, l 1 表示该截面在缸 盖一侧的位置。 把上述边界条件和连续条件代入 式( 1) , 可得
1 sink1 l 2 k1 l 2 sin[ k1 ( l 1 + l 2 ) ]

-

+

活塞杆可视为整体压杆。 缸筒端盖受到高压液压 油作用的轴向力 P , 与铰支座的轴向反力构成作 用力与反作用力, 如果不考虑活塞与缸体、 活塞杆 与端盖间的间隙, 缸筒本身可认为不受压力作用, 任意截面的弯矩为零。 但由于间隙的存在, 当液压 缸整体失稳时, 缸筒也存在转角和挠曲变形。

0< x

l1

y1 =

1

k1 l 2

{

sink1 l 2 sin[ k1 ( l 1 + l 2 - x ) ] + k1 ( x - l 1 ) } sin[ k ( l 1 + l 2 ) ] l1 < x l2 ( 2)

则活塞杆挠度
y1(x) |
x = l1

=

1

sink1 l 2 ( co t k1 l 1 + cot k 1 l 2 )

( 3)

2. 2

缸体挠度曲线微分方程 缸体截面弯矩可表示为
P M2(x) = P
1

( x - l1 ) l ( x - l) l3

l1 < x

l1 + l2 ( 4) l

1

l1 + l2 < x

相应的挠曲线方程为
图1 液压缸受力示意图

图 1 中, E 1 I 1 、 2 I 2 分别是活塞杆、 E 液压缸体 抗弯刚度; F 是横向载荷; l 是液压缸总长度; l1 是 活塞杆伸出长度; l 2 是活塞杆导向长度; l3 是缸体 长度;
1

d2 y 2 k2 2 2 + dx d2 y 2 + dx 2
1

1

( x - l 1) = 0 l1 < x l2

l1 + l2 ( 5) l

k2 ( l - x ) 2 = 0 l3 k2 =

l1 + l2 < x P E 2I2 =

、2 分别是活塞杆和缸体最大挠度;
2

1



活塞杆与端盖的间隙; 390

是活塞与缸筒的间隙。

边界条件和连续条件为
y 2 ( x ) | x=
l1 2

液压缸临界载荷计算和最优设计 y2( x) | y2( x) | dy 2 | dx
x = l 1+ l 2 x= l+ l2

林荣川

郭隐彪

魏莎莎等

x= l

= 0
+ x = l 1+ l 2

= y2( x) | =

dy2 + | dx x = l 1 + l2
-

在 x 轴方向的 l 2 处出现阶梯变截面, l2 表示该截 面在缸盖一侧的位置, l2 表示该截面在缸体一侧 的位置, 把上述边界条件和连续条 件代入式( 5) 可得缸体挠度为
y2 ( x ) | x = l 1 + l 2 = k2 l 2 l 3 2 3
1

+

+

l3 2 l2 + l3

( 6)

2. 3

液压缸临界载荷计算 从图 1 可以看出, 当活塞杆和缸体两处最大 、2 ) 超过 临界 值时, 液 压缸 发 生失
1 2

挠度 ( 即 稳, 则

1

图2

迭代法框图

, 取两端铰支液压缸的约束影响系数 = 1, 不同
- y2 ( l 1 + l 2 ) = - y1 ( l 1 ) =
2 1

( 7)

约束液压缸临界载计算结果见表 1。
表1
约束方式

由式( 3) 、 6) 、 7) 可得 式( 式(
1

不同约束液压缸临界载荷表达式
临界载荷 P cr aE 1 I 1 4l 2 1 aE 1 I 1 l2 1 2aE 1 I 1 l2 1 4aE 1 I 1 l2 1
[ 7- 12]

=

3 - k2 l 2 l 3 2 3

1

-

l3 l2 + l3

2

2

=-

1 k1 l 2 ( cot k 1 l 1 + co t k1 l 2 )
1

( 8)
1

自由 - 固支 两端铰支 铰支 - 固支 两端固支

+

2

式( 8) 是关于

、2 的非齐次方程组, 其意义

是: 当 1 、2 的系数行列式为 0 时, 解为无穷大, 即 液压缸发生失稳, 即
3 - k2 l 2 l 3 2 3 1 k1 l 2 ( co t k1 l 1 + cot k 1 l2 ) l3 l2 + l3 1

3
= 0 ( 9)

液压缸优化模型和优化计算

优化过程实际上是一个不断自动修正设计参 数的过程, 为保证优化过程的流畅, 就需要将待优 化的设计数据参数化, 为修正模型提供可能, 并 自动完成分析 - 评价 - 修正这一循环过程。 整个 参数化有限元优化设计过程包括参数化建模、 网 格划分、 加载、 求解、 后处理和优化迭代等。 3. 1 分析 活塞杆与缸盖、 活塞与缸筒内壁之间的连接 属于非线性接触问题, 通过研究目标面与接触面 的自由度关系及变形的一致性可确定接触边界条 件, 建立液压缸接触系统的控制方程。 采用映射法 构造对称于 oX Y 平面的三维有限元模型。 构造有 限元模型时, 优化过程所涉及的设计变量均以参 数化形式描述, 划分网格后共得到 7456 个单元, 6359 个节点, 选用 Solid45 单元对液压缸进行离 散分网并施加约束( 以一端固定一端自由液压缸 为例) , 轴向载荷从小逐渐增大, 模拟分析临界载 荷作用下危险截面的应力和变形位移情况, 当载 荷达到一定数值时, 活塞杆变形位移和弯曲应力 急剧变大, 意味着失稳即将发生。 非线性方程求解 过程采用牛顿 - 拉普森迭代法。 活塞杆和缸体有 391 液压缸参数化有限元模型建立和应力应变

由式( 9) 可解得临界载荷的超越方程
3l 3 - 1+ k 2 l2 l 3 = 0 2 k 1 l 2 ( l 2 + l 3 ) ( cot k1 l 1 + cot k1 l 2 ) ( 10)
1 2 3 2 = l 、2 = l 、3 = l 、 = I ( I 1 、2 分 I l l l I1 别为活塞杆和液压缸 体的惯性 矩) , 又因为 1 +



1

2

+

3

= 1, 引入稳定性系数 a = ( kl ) =

2

Pl 2 , E 1I 1

将超越方程表示为如下迭代通式:
a= ( a)

通过牛顿迭 代法可计算稳定 性系数 a 的大 小, 迭代流程如图 2 所示。 其中, a0 为方程实根初 值; n 为最大迭代次数; 为收敛精度。 则液压缸临界载荷可表示为
P cr = a E 1I1 l2

式中, E 1 为活塞杆弹性模量; I 1 为活塞杆惯性矩; l 为液压 缸长度。

其他约束方式的液压缸临界载荷也可以用同 样方法求解, 为便于比较不同约束方式对临界载 荷大小的影响, 根据文献[ 6] 引入约束影响系数

中国机械工程第 22 卷第 4 期 2011 年 2 月下半月

限元模型如图 3、 4 所示, 液压缸的变形位移和 图 应力云图如图 5、 6 所示。 图 从图 5、 6 中可以看 图 出, 液压缸受载后发生弯曲变形, 最大弯曲应力和 位移发生在活塞杆靠近缸筒处, 此处为发生失稳 的危险区域, 由于活塞杆与液压缸端盖之间间隙 的存在, 当液压缸整体失稳时, 缸筒也存在转角和 挠曲变形, 进一步加速了液压缸的坍塌崩溃。 危险 截面最大应力与活塞杆长度、 直径有关, 应力变化 趋势如图 7 所示。
图7 液压缸危险截面应力变化趋势图

压缸优化模型求 解。 活塞杆直 径为 d, 筒外径为 D1 , 筒内径为 D, 壁厚 = D1 - D cr , P 为临界载 2

荷。 以液压缸第 i 段杆横截面直径 d ini 、 各杆段长 度 l i 作为设计变量, 以其体积 V 作为目标函数, 以 液压缸失稳及结构尺寸限制 [ 8] 为约束条件, 在轴
图3 活塞杆有限元模型

向力为 P cr 情况下建立优化数学模型。 目标函数:
V = min F( d in i , l i )

活塞杆强度约束:
g 1 ( d) = [
1

] -

P cr d2

0

其中, [

1

] 为活塞杆材料许用应力。
g 2 ( d, l) = P cr - a E 1I 1 l2 0

稳定性约束:
图4 液压 缸体有限元模型

缸筒内径 D 约束:
g3 ( D ) = D 2d 0 0 g 4 ( D ) = D - 3d

缸筒厚度 约束:
g5 ( ) = - D( 2
2

[ [

2 2

] + 0. 4P cr - 1) ] - 1. 3P cr

0

根据第四强度理论, [
图5 液压 缸变形位移云图

] 为缸筒材料许用应力。
0

缸筒长度约束:
g 6 ( l 3 ) = l 3 - 30D

最小导向长度 l 2 约束( 避免因间隙引起的初始挠 度过大) :
g 7( l 2 ) = D + l2 - l 3 2 20 0

长度约束:
g8 ( l1 ) = l1 + l2 + l3 - l 图6 液压 缸变形应力云图 0

3. 2

液压缸优化数学模型建立

在优化过 程中采用多约 束非线性二 次规划 法, 经过若干次优化迭代, 得到设计点及最终逼近 问题的最优点, 由于非线性二次规划法具有自动 修正功能, 当约束条件不能完全得到满足时, 可 以自动修正有关结构尺寸来满足约束要求, 该法 具有很好的收敛性。

工程上选用液压缸时, 一般是根据载荷大小 和工作行程从手册选用标准规格或者定制非标准 液压缸, 实质上就是在有设计变量尺寸限制的前 提下, 求当轴向力 P 一定时, 活塞杆截面和长度分 别取何值时液压缸的体积或质量最小。 该问题属 于有约束最优化问题。 对于液压缸, 在考虑轴向稳 定性和强度要求的条件下, 使用优化工具可对液 392

4

实验及分析
以一端固定一端自由的液压缸活塞为例, 临

液压缸临界载荷计算和最优设计

林荣川

郭隐彪

魏莎莎等

界载荷取 18kN, 活塞杆极限长度取 150m m, 则本 文优化计算数值、 z 法计算值如表 2 所示。 Rit
表2 液压缸参数对照表
活塞杆直径 d( mm ) 本文优 化结果 10. 29 R it z 计算 结果 10. 81 缸筒直径 D ( mm ) 约束方式 本文优 化结果 15. 86 Rit z 计算 结果 16. 65

小。由于忽略活塞及活塞杆密封件弹性、 液压油 弹性对液压缸稳定性的影响, 该算法还有待进一 步完善。
参考文献: [ 1] [ 2] 周洁, 罗进. 单体液压支柱稳定性概率设计[ J] . 煤 矿 机械, 2000( 9) : 15 18. 陈世其, 王 忠民, 李 炳文. DWX 型 单体 液压 支柱 动 力稳定性分析[ J] . 西安理工大学学报, 2004, 20( 3) : 293 296. [ 3] 王忠民, 陈世其, 李 炳文. 系统 参数 对 DW X 型单 体 液压支 柱 动力 稳 定 性 的影 响 [ J] . 应 用 科 学学 报, 2006, 24( 1) : 78 81. [ 4] [ 5] [ 6] [ 7] [ 8] 董世民. 长细液压缸稳 定性校 核的新 方法[ J] . 工 程 机械, 2001, 32( 3) : 32 -33. 郭铁桥. 能量法计算液 压缸的 临界载 荷[ J] . 矿山 机 械, 2000( 5) : 81 83. 范 钦 珊. 工 程 力 学 [ M ] . 北 京: 机 械 工 业 出 版 社, 2002. 谢 世坤. 参 数 化 网格 划 分方 法 研究 及 其 系统 实 现 [ J] . 中国机械工程, 2007, 18( 3) : 313 316. M ao C, Ricles J, L u L W, et al. Effect o f L ocal De tails o n Ductility o f Welded M oment Connect ions [ J] . Journal o f Structural Eng ineer ing, A SCE, 2001, 127( 9) : 1036 1044. [ 9] [ 10] 徐燕申. 基于 FEM 的 机械结构静、 动态 性能优化 设 计[ J] . 西南交通大学学报, 2003, 38( 5) : 517 520. Jo hannes G . A 3D Finite Element M ethod fo r Flexible M utibody Sy stems[ J] . M uhibody System Dy namics, 2006, 15: 309 324. [ 11] M arko ve A V, M azin L S. Study of Dy namics o f Var iable Structure L ev er M echanisms [ J] . Jour nal of M achinery M anufactur e and Reliabilit y, 2008, 37 ( 3) : 213 220. [ 12] Ham A T . F inite element Simulation of the Ellip t ical Cup Deep Draw ing Pr ocess by Sheet H ydro Fo rming[ J] . F inite Elements in Analysis and De sig n, 2007, 43( 3) : 234 246. [ 13] 姚文娟. 长桩的屈曲荷载计算[ J] . 地下空间与工 程 学报, 2009( 3) : 363 365. ( 编辑 王艳丽)

自由- 固定

工程上常用 Rit z 法计算临界载荷或者校核 液压缸尺寸 , 为比较本文优化计算结果与实验 实测值、 z 计算值 之间的大小 关系, 以 一端固 Rit 定、 端 自 由 的 系 列 标 准 单 出 杆 液 压 缸 一 ( GB/ T 13342- 2007) 为 实 验 对象, 活 塞 杆直 径 d= 10mm, 实测不同长度下 的临界载荷, 将结果 与 Rit z 计算值[ 13] 、 本文优化计算值相比较, 三种 情况下的 l - p cr 曲线如图 8 所示。从图 8 中可以 看出, 本文优化计算的液压缸临界载荷处于 Ritz 计算值和实验实测值之间。
[ 13]

图8

液压缸长度与临界载荷( l- P cr ) 曲线比较图

用 Rit z 法计算临界载荷或者校核液压缸尺 寸, 临界载荷比实验实测值小, 即设计尺寸通常比 实际值略大, 属于安全阈值偏大的计算, 本文优化 计算后液压缸主要参数值比 Rit z 法略小, 临界载 荷比 Ritz 计算 法略大, 和实验 测量数据 比较接 近, 说明本文优化计算能满足工程需要。

5

结语
轴向受压液压缸稳定性验算是个复杂工程问

题, 由于液压缸尺寸通常较大, 难以用实验手段测 出其临界载荷, 大都根据 Rit z 法计算结果结合经 验选用液压缸尺寸, 出于安全考虑, 通常安全阈值 偏大。本文考虑了活塞杆与缸盖、 活塞与缸筒之 间间隙对液压缸临界载荷的影响, 通过对液压缸 的三维有限元模拟分析, 结合参数化有限元优化 设计技术, 获取在体积约束条件下液压缸的合理 尺寸, 通过和 Rit z 法计算结果以及实验实测值比 对, 该结果接近实验实测值, 可以作为液压缸选择 依据。随着液压缸筒与活塞之间间隙变大、 活塞 杆变形等影响因素增大, 许可临界载荷应适当减

作者简介: 林荣川, 男, 1968 年生。 集美 大学 机械工 程学 院副 教 授。主要研究方向为机电 液一体化 及控制。 发表论 文 30 余 篇。 郭隐彪, 男, 1962 年生。厦门 大学 机电 学院教 授、 士研 究生 导 博 师。魏莎莎, 女, 1972 年 生。 集美 大 学 机 械 工 程 学 院 副 教 授。 林 辉, 男, 1970 年 生。厦 门厦 工 机械 股 份有 限公 司 高级 工 程 师、 博士。

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