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11-12学年高一数学:2.3.2 等比数列的前n项和第一课时 优化训练(人教B版必修5))


2.3.2

等比数列的前 n 项和第一课时 优化训练
)

1. 首项为 a 的数列{an }既是等差数列, 又是等比数列, 则这个数列的前 n 项和 Sn 为( A.an -1 B.an C.(n-1)a D.na 解析:选 D.既是等差数列又是等比数列的数列为常数列. 2.设等比数列{an }的公比 q=2,前 n 项和为

Sn ,则 等于( A.2 15 C. 2 解析:选 C.因为 S4 = 所以 = B.4 17 D. 2

S4 a2

)

a1

-q 1- q

4

,a2 =a1 q,所以 =

S4 a2

+q

2

+q

q

.又因为 q=2,

S4 5×3 15 = . a2 2 2 3 .设 {an } 是由正数组成的等比数列,公比 q = 2 ,且 a1 ·a2 ·a3 ·…·a30 = 230 ,那么 a3 ·a6 ·a9 ·…·a30 的值是( )
A.2 B.2 C.216 D.215 30 15×29 30 解析:选 B.∵a1 ·a2 ·a3 ·…·a30 =a1 q =2 , 10 5×29 10 ∴a1 q =2 . 10 5×31 10 5×29 10 10 5×29 10 又 a3 ·a6 ·a9 ·…·a30 =a1 q =a1 q ·q ,将 a1 q =2 与 q=2 代入, 10 10 20 ∴a3 ·a6 ·a9 ·…·a30 =2 ·2 =2 ,故选 B. 1 1 1 1 4.等比数列{an }的首项为 1,公比为 q(q≠1),前 n 项之和为 Sn,则 + + +…+ 等
10 20

a1 a2 a3

an

于________. 1-qn 1 1 ,数列{ }也为等比数列,首项为 1,公比为 . 1- q an q 1 1- n 1 1 1 q 1-qn ∴ + +…+ = = a1 a2 an 1 -q qn -1 1- 解析:Sn =

q

Sn = n -1 . q
答案:

Sn qn -1 n+2 Sn (n=1,2,3…). n

5.数列{an }的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 =1,an +1 = (1)求证数列{ }是等比数列; (2)求证 Sn +1 =4an . 证明:(1)∵an +1 =Sn +1 -Sn ,an +1 = ∴(n+2)Sn =n(Sn +1 -Sn ), 整理,得 nSn +1 =2(n+1)Sn ,

Sn n

n+2 Sn , n

Sn + 1 Sn =2· . n+1 n Sn 故数列{ }是首项为 1,公比为 2 的等比数列. n


(2)由(1)知, 于是 Sn +1 =4

Sn +1 Sn -1 =4· (n≥2), n+1 n- 1

n+1 Sn -1 =4an (n≥2). n-1 又∵a2 =3S1 =3,故 S2 =a1 +a2 =4=4a1 , 故对于任意正整数 n≥1, 都有 Sn +1 =4an (n∈N +).
2 2 1.(2011 年济南高二检测)等比数列{an }中,a1 +a2 +…+an =2n -1,则 a2 1 +a2 +…+a n= ( ) 1 A.(2n -1)2 B. (2n -1) 3 1 n n C.4 -1 D. (4 -1) 3 解析:选 D.由 a1 +a2 +…+an =2n -1 知数列{an }的首项为 a1 =1,公比 q=2,数列{a2n}也 为等比数列,首项为 1,公比为 4. -4n 1 2 2 ∴a2 = (4n -1). 1 +a 2+…+an = 1- 4 3 2. (2009 年高考海南、 宁夏卷)等比数列{an }的前 n 项和为 Sn, 且 4a1, 2a2, a3 成等差数列. 若 a1 =1,则 S4 =( ) A.7 B.8 C.15 D.16 解析:选 C.设公比为 q,则由 4a2 =a3 +4a1 , 2 即 4a1 q=a1 q +4a1 , 又 a1 =1,∴q2 -4q+4=0, ∴q=2, 1-24 ∴S4 = =15. 1-2 1 3.如果数列{an }的前 n 项和 Sn = n (3n -2n ),那么这个数列( ) 2 A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列又不是等比数列 1 3 解析:选 B.∵Sn = n (3n -2n )=( )n -1, 2 2 1 3 n -1 ∴an =Sn -Sn -1 = ( ) , 2 2 1 当 n=1 时,a1 =S1 = 也适合上式.故选 B. 2 4.设 Sn 为数列{an }的前 n 项和,an =1+2+22 +…+2n -1 ,则 Sn 的值为( ) n n -1 A.2 -1 B.2 -1 C.2n -n-2 D.2n +1 -n-2 2 n -1 解析:选 D.an =1+2+2 +…+2 -2n = =2n -1, 1-2 -2n ∴Sn = -n 1-2 =2n +1 -n-2.

5.已知等比数列{an }的各项为均不等于 1 的正数,数列{bn }满足 bn =lnan ,b3 =18,b6 = 12.则数列{bn }的前 n 项和的最大值等于( ) A.126 B.130 C.132 D.134 b 18 解析:选 C.由题知 an =e n ,∴a3 =e ,a6 =e12 , ∴q = =e ,∴q=e ,∴an =e
3

a6 a3

-6

-2

24 -2n



∴bn =24-2n,∴{bn }是递减的等差数列,且 b12 =0, ∴Sn 最大=S11 =S12 =132. 6.已知等比数列{an }的公比 q<0,前 n 项和为 Sn ,则 S4 a5 与 S5 a4 的大小关系是( ) A.S4 a5 =S5 a4 B.S4 a5 >S5 a4 C.S4 a5 <S5 a4 D.无法确定 解析:选 B.S4 a5 -S5 a4 =S4 a4 q-(a1 +qS4 )a4 =S4 a4 q-a1 a4 -S4 a4 q=-a1 a4 .∵q<0,∴a1 和 a4 异号, ∴S4 a5 -S5 a4 >0,即 S4 a5 >S5 a4 . 7.一个七层的塔,每层所点的灯的盏数都等于其上面一层的 2 倍,一共点了 381 盏灯, 则底层所点灯的盏数是________. 1 解析:由题意知每层所点灯的盏数构成一个等比数列,首项为 x,公比为 ,则 2 1 7 x[1- ] 2 381= ,解得 x=192. 1 1- 2 答案:192 1 8.已知{an }是等比数列,a2 =2,a5 = ,则 a1 a2 +a2 a3 +…+an an +1 =________. 4 解析:设{an }的首项为 a1 ,公比为 q,

a1 q=2 ? ? 则? 4 1 a1 q = ? 4 ?

a1 = 4 ? ? ,解得? 1 q= ? ? 2

.

1 数列{an ·an +1 }是首项为 8,公比为 的等比数列, 4 故 a1 a2 +a2 a3 +…+an ·an +1 1 - n 4 32 1 = = (1- n ). 1 3 4 1- 4 32 1 答案: (1- n ) 3 4 1 1 1 1 9.Sn =1 +3 +5 +…+[(2n-1)+ n ]=______. 2 4 8 2 1 1 1 解析:Sn =1 +3 +…+[(2n-1)+ n ] 2 4 2 1 1 1 =[1+3+…+(2n-1)]+( + +…+ n ) 2 4 2 1 =n2 +1- n . 2 1 答案:n2 +1- n 2

10.记等比数列{an }的前 n 项和为 Sn ,已知 S4 =1,S8 =17,求数列的公比 q. 解:法一:设数列{an }的首项为 a1 ,公比为 q,

a ? ?S = 则有? a ?S = ?
4 8

1

-q4 =1, 1-q -q8 =17, 1-q

解得 q=±2.

1

法二:因为数列{an }是等比数列, n 所以有 Sn =kq -k. 由 S4 =1,S8 =17, 得?
?kq4 -k=1, ? ? ?kq -k=17,
8

解得 q=±2.

2 2an 11.已知数列{an }的首项 a1 = ,an +1 = ,n=1,2,…. 3 an +1 1 (1)证明:数列{ -1}是等比数列;

an

(2)求数列{ }的前 n 项和 Sn . 解:(1)证明:∵an +1 = ∴ ∴ 1 2an , an +1

n an

an +1
1



an +1 1 1 1 = + · , 2an 2 2 an

1 1 -1= ( -1), 2 an 2 1 1 又∵a1 = ,∴ -1= , 3 a1 2 1 1 1 ∴数列{ -1}是以 为首项, 为公比的等比数列. an 2 2 1 1 1 1 (2)由(1)知 -1= · n -1 = n , an 2 2 2 1 1 n n 即 = n +1,∴ n = n +n. an 2 a 2 1 2 3 n 设 Tn = + 2 + 3 +…+ n 2 2 2 2 1 1 2 n-1 n 则 Tn = 2 + 3 +…+ n + n +1 2 2 2 2 2 ①-②得 1 1 1 1 n Tn = + 2 +…+ n - n +1 2 2 2 2 2 1 1 - n 2 2 n 1 n = - n +1 =1- n - n +1 , 1 2 2 2 1- 2 1 n ∴Tn =2- n -1 - n . 2 2 n n+ 又 1+2+3+…+n= , 2

an +1

① ②

∴数列{ }的前 n 项和

n an

2+n n n+ n2 +n+4 n+2 = - n . n + 2 2 2 2 12.设数列{an }的前 n 项和 Sn =2an -2n . (1)求 a3 ,a4 ; (2)证明:{an +1 -2an }是等比数列; (3)求{an }的通项公式. 解:(1)因为 a1 =S1, 2a1 =S1 +2,所以 a1 =2,S1 =2.由 2an =Sn +2n 知 2an +1 =Sn +1 +2n +1 =an n +1 ,得 an +1 =Sn +2n +1 ,① +1 +Sn +2 2 2 3 3 4 所以 a2 =S1 +2 =2+2 =6,S2 =8;a3 =S2 +2 =8+2 =16,S3 =24;a4 =S3 +2 =40. n +1 n n +1 n n (2)证明:由题设和①式知 an +1 -2an =(Sn +2 )-(Sn +2 )=2 -2 =2 . 所以数列{an +1 -2an }是首项为 2,公比为 2 的等比数列. (3)由(2)知 an =(an -2an -1 )+2(an -1 -2an -2 )+…+2n -2 (a2 -2a1 )+2n -1 a1 =(n+1)·2n -1 .

Sn =2-

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