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湖北数学理精校版-2014普通高等学校招生统一考试


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湖北 2014 高考 数学理
一、选择题 1. i 为虚数单位,?
?1-i?2 ? =( ?1+i?

)

A.-1 B.1 C.-i D.i
? a?7 1 2. 若二项式?2x+ ? 的展开式中 3的系数是 84,则实数 a=( ?

x?

/>
x

)

2 5 A.2 B. 4 C.1 D. 4 3.设 U 为全集,A,B 是集合,则“存在集合 C 使得 A?C,B??UC”是“A∩B=?” 的( ) B.必要而不充分的条件

A.充分而不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.根据如下样本数据:

x

3

4

5 -0.5 )

6 0.5

7 -2.0

8 -3.0

y 4.0 2.5
得到的回归方程为^ y=bx+a,则( A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0

5.在如图 1?1 所示的空间直角坐标系 O ?xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是(0, 0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①,②,③,④的四个图, 则该四面体的正视图和俯视图分别为( )

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图 1?1

A.①和② B.①和③ C.③和④D.④和②
1 6.若函数 f(x),g(x)满足? ? f(x)g(x)dx=0,则称 f(x),g(x)为区间[-1,1]上的

?-1

一组正交函数,给出三组函数: 1 1 ①f(x)=sin x,g(x)=cos x;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=x,g(x)=x2. 2 2 其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( A.0 B.1 C.2 D.3
? ?x+y≤1, 确定的平 1,不等式组? ? ?x+y≥-2

)

x≤0, ? ? 7.由不等式组?y≥0, 确定的平面区域记为 Ω ? ?y-x-2≤0

面区域记为 Ω 2,在 Ω 1 中随机取一点,则该点恰好在 Ω 2 内的概率为( 1 1 3 7 A. B. C. D. 8 4 4 8

)

8. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最 早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相乘也.又 以高乘之,三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h,计算其体
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积 V 的近似公式 V≈

1 2 L h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π 近似取为 3.那 36 )

2 么,近似公式 V≈ L2h 相当于将圆锥体积公式中的π 近似取为( 75 22 25 157 355 A. B. C. D. 7 8 50 113

9.已知 F1,F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且∠F1PF2= 则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( 4 3 2 3 A. B. C.3 D.2 3 3 )

π , 3

1 10.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)= (|x-a2|+|x-2a2| 2 -3a2).若?x∈R,f(x-1)≤f(x),则实数 a 的取值范围为(
? ? 1 1? ? 1 1? 6 6? 3 3? ? ? ? ? ? ? - , A.?- , ?B.? C. D. - , - , ? ? ? 6 6 3 3 6 6? ? 3 3? ? ? ? ? ? ?

)

二、填空题 (一)必考题(11-14 题) 11. 设向量 a=(3, 3), b=(1, -1). 若(a+λ b)⊥(a-λ b), 则实数 λ =________. 12.直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 C:x2+y2=1 分成长度相等的四段弧, 则 a2+b2=________. 13.设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三位数.将组成 a 的 3 个数字 按从小到大排成的三位数记为 I(a),按从大到小排成的三位数记为 D(a)(例如 a= 815,则 I(a)=158,D(a)=851).阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,任 意输入一个 a,输出的结果 b=________.
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14.设 f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且 f(x)>0,对任意 a>0,b>0,若经过点 (a, f(a)), (b, -f(b))的直线与 x 轴的交点为(c, 0), 则称 c 为 a, b 关于函数 f(x) 的平均数,记为 Mf(a,b),例如,当 f(x)=1(x>0)时,可得 Mf(a,b)=c=

a+b
2

,即

Mf(a,b)为 a,b 的算术平均数.
(1)当 f(x)=________(x>0)时,Mf(a,b)为 a,b 的几何平均数; (2)当 f(x)=________(x>0)时,Mf(a,b)为 a,b 的调和平均数 (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) (二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将 你所选的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑,如果全选,则按第 15 题作答结果计分) 15. (选修 4?1:几何证明选讲)如图 1?3,P 为⊙O 外一点,过 P 点作⊙O 的两条切 线,切点分别为 A,B,过 PA 的中点 Q 作割线交⊙O 于 C,D 两点,若 QC=1,CD=3, 则 PB=________. 2ab . a+b

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图 1?3 16. (选修 4?4:坐标系与参数方程)

已知曲线

x= t, ? ? C 的参数方程是? 3t (t y = ? 3 ?
1

为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴

为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ =2,则 C1 与 C2 交点的直角坐标为 ________. 三、解答题 17. (本小题满分 11 分) 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函数关系:

f(t)=10- 3cos t-sin t,t∈[0,24).
(1)求实验室这一天的最大温差. (2)若要求实验室温度不高于 11℃,则在哪段时间实验室需要降温?

π 12

π 12

18. (本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}满足:a1=2,且 a1,a2,a5 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式. (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn>60n+800?若存在,求

n 的最小值;若不存在,说明理由.

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19.(本小题满分 12 分) 如图 1?4,在棱长为 2 的正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,E,F,M,N 分别是棱 AB,AD,A1B1,

A1D1 的中点,点 P,Q 分别在棱 DD1,BB1 上移动,且 DP=BQ=λ (0<λ <2).
(1)当 λ =1 时,证明:直线 BC1∥平面 EFPQ. (2)是否存在 λ ,使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角?若存在,求出 λ 的值;若不存在,说明理由.

20. (本小题满分 12 分) 计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站,过去 50 年的水文资料显示,水 库年入流量 .... X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在 40 以上,其中,不足 80 的年份有 10 年,不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年, 超过 120 的年份有 5 年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设 各年的年入流量相互独立. (1)求未来 4 年中,至多 有 1 年的年入流量超过 120 的概率. .. (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量

X 限制,并有如下关系:
年入流量 X 发电机最多 40<X<80 1 80≤X≤120 2

X>120
3

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可运行台数 若某台发电机运行,则该台年利润为 5000 万元;若某台发电机未运行,则该台年亏 损 800 万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?

21. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F(1,0)的距离比它到 y 轴的距离多 1.记点 M 的轨迹为 C. (1)求轨迹 C 的方程; (2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(-2,1),求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、 两个公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围.

22. (本小题满分 14 分) π 为圆周率,e=2.718 28?为自然对数的底数. ln x (1)求函数 f(x)= 的单调区间;

x

(2)求 e3,3e,eπ ,π e, ,3π ,π 3 这 6 个数中的最大数与最小数; (3)将 e3,3e,eπ ,π e,3π ,π 3 这 6 个数按从小到大的顺序排列,并证明你的结论.

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参考答案 一. 选择题 1.A 2.C 3.C 4.B 5.D 6.C 7.D 二、填空题 11. ±3 12.2 13.495 14. (1) x (2)x(或填(1)k1 x;(2)k2x,其中 k1, 8.B 9.A 10.B

k2 为正常数) 15.4
16.( 3,1) 三、解答题 17.解:(1)因为 f(t)=10-2?
? 3 ?π π π? 1 π ? ?=10-2sin? t+ ?, cos t + sin t 12 2 12 ? 3? ? 2 ?12

?π π π π 7π π? 又 0≤t<24,所以 3 ≤12t+ 3 < 3 ,-1≤sin? t+ ?≤1. 3? ?12 ?π π? 当 t=2 时,sin? t+ ?=1; 3? ?12 ?π π? 当 t=14 时,sin? t+ ?=-1. 3? ?12

于是 f(t)在[0,24)上取得的最大值是 12,最小值是 8. 故实验室这一天的最高温度为 12℃,最低温度为 8℃,最大温差为 4℃. (2)依题意,当 f(t)>11 时,实验室需要降温. 由(1)得 f(t)=10-2sin?


π? ?, t + 3? ?12
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恒谦教育研究院 ?π π? 故有 10-2sin? t+ ?>11, 3? ?12 ?π π? 1 即 sin? t+ ?<-2. 3? ?12

7π π π 11π 又 0≤t<24,因此 6 <12t+ 3 < 6 , 即 10<t<18. 故在 10 时至 18 时实验室需要降温. 18.解:(1)设数列{an}的公差为 d, 依题意得,2,2+d,2+4d 成等比数列, 故有(2+d)2=2(2+4d), 化简得 d2-4d=0,解得 d=0 或 d=4. 当 d=0 时,an=2; 当 d=4 时,an=2+(n-1)· 4=4n-2. 从而得数列{an}的通项公式为 an=2 或 an=4n-2. (2)当 an=2 时,Sn=2n,显然 2n<60n+800, 此时不存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立. 当 an=4n-2 时,Sn= n[2+(4n-2)] =2n2. 2

令 2n2>60n+800,即 n2-30n-400>0, 解得 n>40 或 n<-10(舍去), 此时存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立,n 的最小值为 41. 综上,当 an=2 时,不存在满足题意的正整数 n; 当 an=4n-2 时,存在满足题意的正整数 n,其最小值为 41.
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19.解:方法一(几何方法): (1)证明:如图①,连接 AD1,由 ABCD?A1B1C1D1 是正方体,知 BC1∥AD1. 当 λ=1 时,P 是 DD1 的中点,又 F 是 AD 的中点,所以 FP∥AD1,所以 BC1∥FP. 而 FP?平面 EFPQ,且 BC1?平面 EFPQ,故直线 BC1∥平面 EFPQ.

图①

图②

1 (2)如图②,连接 BD.因为 E,F 分别是 AB,AD 的中点,所以 EF∥BD,且 EF=2BD. 又 DP=BQ,DP∥BQ, 所以四边形 PQBD 是平行四边形,故 PQ∥BD,且 PQ=BD,从而 EF∥PQ,且 EF 1 =2PQ. 在 Rt△EBQ 和 Rt△FDP 中,因为 BQ=DP=λ,BE=DF=1, 于是 EQ=FP= 1+λ2,所以四边形 EFPQ 也是等腰梯形. 同理可证四边形 PQMN 也是等腰梯形. 分别取 EF,PQ,MN 的中点为 H,O,G,连接 OH,OG, 则 GO⊥PQ,HO⊥PQ,而 GO∩HO=O, 故∠GOH 是面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角的平面角. 若存在 λ,使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角,则∠GOH=90°. 连接 EM,FN,则由 EF∥MN,且 EF=MN 知四边形 EFNM 是平行四边形. 连接 GH,因为 H,G 是 EF,MN 的中点,
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所以 GH=ME=2. 在△GOH 中,GH2=4,OH2=1+λ2-? OG2=1+(2-λ)2-?
? 2?2 1 ? =(2-λ)2+ , 2 ? 2? ? 2?2 1 ? =λ 2 + , 2 ? 2?

1 1 2 由 OG2+OH2=GH2,得(2-λ)2+2+λ2+2=4,解得 λ=1± 2 , 2 故存在 λ=1± 2 ,使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角. 方法二(向量方法): 以 D 为原点,射线 DA,DC,DD1 分别为 x,y,z 轴的正半轴建立如图③所示的空间 直角坐标系.由已知得 B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0, λ ).

图③ → =(-2,0,2),FP=(-1,0,λ),FE=(1,1,0). BC 1 (1)证明:当 λ=1 时,FP=(-1,0,1), → =(-2,0,2), 因为BC 1 → =2FP → ,即 BC ∥FP. 所以BC 1 1 而 FP?平面 EFPQ,且 BC1?平面 EFPQ,故直线 BC1∥平面 EFPQ.

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→ ?n=0, ? ?FE ?x+y=0, (2)设平面 EFPQ 的一个法向量为 n=(x,y,z),则由? 可得? ?-x+λz=0. → ? ?FP· n=0 于是可取 n=(λ,-λ,1). 同理可得平面 MNPQ 的一个法向量为 m=(λ-2,2-λ,1). 若存在 λ,使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角, 则 m· n=(λ-2,2-λ,1)· (λ,-λ,1)=0, 2 即 λ(λ-2)-λ (2-λ)+1=0,解得 λ=1± 2 . 2 故存在 λ=1± 2 ,使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角. 10 20.解:(1)依题意,p1=P(40<X<80)=50=0.2, 35 p2=P(80≤X≤120)=50=0.7, 5 p3=P(X>120)=50=0.1. 由二项分布得,在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为
4 1 3 4 3 p=C0 4(1-p3) +C4(1-p3) p3=0.9 +4?0.9 ?0.1=0.9477.

(2)记水电站年总利润为 Y(单位:万元). ①安装 1 台发电机的情形. 由于水库年入流量总大于 40, 故一台发电机运行的概率为 1, 对应的年利润 Y=5000, E(Y)=5000?1=5000. ②安装 2 台发电机的情形. 依题意,当 40<X<80 时,一台发电机运行,此时 Y=5000-800=4200,因此 P(Y=
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4200)=P(40<X<80)=p1=0.2;当 X≥80 时,两台发电机运行,此时 Y=5000?2= 10000,因此 P(Y=10000)=P(X≥80)=p2+p3=0.8.由此得 Y 的分布列如下: Y P 4200 10000 0.2 0.8

所以,E(Y)=4200?0.2+10000?0.8=8840. ③安装 3 台发电机的情形. 依题意,当 40<X<80 时,一台发电机运行,此时 Y=5000-1600=3400,因此 P(Y = 3400) = P(40<X<80) = p1 =0.2 ;当 80≤X≤120 时,两台发电机运行,此时 Y = 5000?2-800=9200,因此 P(Y=9200)=P(80≤X≤120)=p2=0.7;当 X>120 时,三 台发电机运行,此时 Y=5000?3=15000,因此 P(Y=15000)=P(X>120)=p3=0.1. 由此得 Y 的分布列如下: Y P 3400 9200 15000 0.2 0.7 0.1

所以,E(Y)=3400?0.2+9200?0.7+15000?0.1=8620. 综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机 2 台. 21.解:(1)设点 M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即 (x-1)2+y2=|x|+1, 化简整理得 y2=2(|x|+x).
?4x,x≥0, ? 故点 M 的轨迹 C 的方程为 y2=? ? ?0,x<0.

(2)在点 M 的轨迹 C 中,记 C1:y2=4x,C2:y=0(x<0). 依题意,可设直线 l 的方程为 y-1=k(x+2).
? ?y-1=k(x+2), 由方程组? 2 可得 ky2-4y+4(2k+1)=0.① ?y =4x, ?
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1 当 k=0 时,y=1.把 y=1 代入轨迹 C 的方程,得 x=4.
?1 ? 故此时直线 l:y=1 与轨迹 C 恰好有一个公共点?4,1?. ? ?

当 k≠0 时,方程①的判别式 Δ=-16(2k2+k-1).② 2k+1 设直线 l 与 x 轴的交点为(x0,0),则由 y-1=k(x+2),令 y=0,得 x0=- k .③
? ?Δ <0, 1 (i)若? 由②③解得 k<-1 或 k>2. ?x0<0, ? ?1 ? 即当 k∈(-∞, -1)∪?2,+∞?时, 直线 l 与 C1 没有公共点, 与 C2 有一个公共点. 故 ? ?

此时直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点.
? ?Δ =0, ? ?Δ >0, (ii)若? 或? ? ? ?x0<0, ?x0≥0,

1? ? 1 由②③解得 k∈?-1,2?或-2≤k<0.
? ?

1? ? 即当 k∈?-1,2?时,直线 l 与 C1 只有一个公共点.
? ? ? 1 ? 当 k∈?-2,0?时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 没有公共点. ? ?

1? ? 1 ? ? 故当 k∈?-2,0?∪?-1,2?时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点.
? ? ? ? ? ?Δ >0, 1 1 (iii)若? 由②③解得-1<k<-2或 0<k<2. ?x0<0, ?

1? ? 1? ? 即当 k∈?-1,-2?∪?0,2?时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 有一个公共点,
? ? ? ?

故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点.

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恒谦教育研究院 ?1 ? 综上可知,当 k∈(-∞,-1)∪?2,+∞?∪{0}时,直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共 ? ?

1? 1? ? 1 ? ? ? 点; 当 k∈?-2,0?∪?-1,2?时, 直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点; 当 k∈?-1,-2?
? ? ? ? ? ?

1? ? ∪?0,2?时,直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点.
? ?

1-lnx lnx 22.解:(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞).因为 f(x)= x ,所以 f′(x)= x2 . 当 f′(x)>0,即 0<x<e 时,函数 f(x)单调递增; 当 f′(x)<0,即 x>e 时,函数 f(x)单调递减. 故函数 f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞). (2)因为 e<3<π ,所以 eln3<elnπ ,π lne<π ln3,即 ln3e<lnπ e,lneπ <ln3π . 于是根据函数 y=lnx,y=ex,y=π x 在定义域上单调递增,可得 3e<π e<π 3,e3<eπ <3π . 故这 6 个数的最大数在π 3 与 3π 之中,最小数在 3e 与 e3 之中. lnπ ln3 lne 由 e<3<π 及(1)的结论,得 f(π )<f(3)<f(e),即 <3<e. π 由 lnπ ln3 < 3 ,得 lnπ 3<ln3π ,所以 3π >π 3; π

ln3 lne 由 3 < e ,得 ln3e<lne3,所以 3e<e3. 综上,6 个数中的最大数是 3π ,最小数是 3e. (3)由(2)知,3e<π e<π 3<3π ,3e<e3. lnπ lne 又由(2)知, < e ,得π e<eπ . π 故只需比较 e3 与π e 和 eπ 与π 3 的大小.
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1 由(1)知,当 0<x<e 时,f(x)<f(e)=e, lnx 1 即 x <e . e2 e2 e2 e e e 在上式中,令 x= ,又 <e,则 ln < ,从而 2-lnπ < ,即得 lnπ >2- .① π π π π π π
? e? 2.72? ? 由①得,elnπ >e?2-π ?>2.7??2- 3.1 ?>2.7?(2-0.88)=3.024>3, ? ? ? ?

即 elnπ >3,亦即 lnπ e>lne3,所以 e3<π e. 又由①得,3lnπ >6- 所以 eπ <π 3. 综上可得,3e<e3<π e<eπ <π 3<3π , 即这 6 个数从小到大的顺序为 3e,e3,π e,eπ ,π 3,3π . 3e >6-e>π ,即 3lnπ >π , π

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