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(广东专用)2014高考数学第一轮复习用书 备考学案 第11课 映射与函数课件 文


考纲要求
1.了解构成函数的要素. 2.会求一些简单函数的定义域和值域. 3.了解映射的概念.

知识梳理
函数 两集合 A、B 对应关系 映射

设 A 、 B 是两个非空的数集 设 A 、 B 是两个非空的集合 如果按照某个确定的对 应关系 f ,使对于集合 如果按某一个确定的对 应关系 f ,使对于集合

/>
f : A?B

A 中的 任意 一个数 x , 在集合 B 中都有唯一确定 的数 f ( x) 和它对应
称 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数

A 中的 任意 一个元素 x , 在集合 B 中都有唯一确定 的元素 y 与之对应
称 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 对应 f : A ? B 是一个映射

名称 记法

y ? f ( x), x ? A

2.函数的定义域、值域 ⑴ x 叫做自变量, x 的取值范围 A 叫做函数的定义域 ⑵与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值, 函数值的集合 { f ( x) x ? A} 叫做函数的 值域 3.函数的三要素
定义域





、 值域

、 对应关系 .

4.求函数的定义域的主要依据 ①分式的分母不得为 0 . ②偶次方根的被开方数不得小于 0 . ③对数函数的真数必须大于 0 . ④指数函数和对数函数的底数必须_______________. 大于0不等于1

基础自测
1. (2012 广州一模)函数 y ? A. (??, ?1] C. [? 1 ,? ? )

1 的定义域为( x ?1



B. (? ?, ?1 ) D. (? 1 ,? ? )

【答案】D

2.下列四个图象中,不是函数图象的是(



y
O

y

x

O
A.

x
B.

y
O O
C.
【答案】B

y

x

x
D.

3.(2012 茂名一模)已知函数 y ? x ? x 的定义域为 {0,1, 2} ,
2

那么该函数的值域为( A. {0,1, 2}

) B. {0, 2} D. { y | 0 ? y ? 2}

1 C. { y | ? ? y ? 2} 4

【答案】B 【解析】当 x ? 0 时, y ? 0 ; 当 x ? 1 时, y ? 0 ; 当 x ? 2 时, y ? 2 .

4. (2012 安徽高考) 下列函数中,不满足: f (2 x) ? 2 f ( x) 的是( ) B. f ( x) ? x ? x D. f ( x) ? ? x

A. f ( x) ? x C. f ( x) ? x ??

【答案】C

典例剖析
考点1 函数与映射的概念

【例 1】判断下列函数是否表示同一函数: (1) f ( x) ? 1 , g ( x) ?
2

x ; x
2

(2) f ( x)=x + ,g (t )=t + ; 1 1 (3) f ( x) ?

x ? 1 · x ? 1 , g ( x) ? x 2 ? 1 ;

? x ? 1,???? x ? 1, (4) f ( x)= | x ? 1| ,g ( x)= ? ?1 ? x,?? x ? 1.

【解析】 (1)∵ f ( x) 定义域为 R ,

g ( x) 定义域为 (-?, ? (0, ??) , 0)
∴它们的定义域不同,故不是同一函数. (2)是同一函数. (3)∵ f ( x) 定义域为 [1,+?) ,

g ( x) 定义域为 (-?, 1] ? [1, ??) , ?
∴它们的定义域不同,故不是同一函数. (4)是同一函数.

【变式】已知集合 A ? {x 0 ? x ? 4} , B ? { y 0 ? y ? 2} , 下列从 A 到 B 的对应 f 不是映射的是( A. f B. f C. f D. f )

1 :x? y? x 2 1 :x? y? x 3 2 :x? y? x 3 1 2 :x? y? x 8

【答案】C 【解析】∵对于选项 C.当 3 ? x ? 4 时, y 没有值和它对应, 故此对应不是映射. 【点评】集合 A 到 B 是不是映射的判断: ①多对一、一对一的对应是映射, ②一对多、一对空的对应不是映射.

考点2 求函数的定义域

【例 2】求下列函数的定义域

x?4 ; (1) f ( x) ? x?2
(2) f ( x) ?

1 1 1? x



2x ?1 ? ( x ? 2)0 . (3) y ? x ?1

?x ? 4 ? 0 【解析】 (1)由 ? ,得 x ? ?4 ,且 x ? ?2 , ?x ? 2 ? 0
∴函数定义域为 [?4, ?2) ? (?2, ??) .

1 x ?1 (2)由 1 ? ? 0 ,得 ? 0 ,∴ x ? ?1 ,且 x ? 0 , x x
∴函数的定义域为 (??, ?1) ? (?1,0) ? (0, ??) .

?2 x ? 1 ? 0 1 ? (3)由 ? x ? 1 ? 0 ,得 x ? ,且 x ? 1 ,且 x ? 2 , 2 ?x ? 2 ? 0 ?
∴函数的定义域为 [ ,1) ? (1, 2) ? (2, ??) .

1 2

【变式】(2012 青田质检)若函数 f ( x) 的定义域为 [?3,5] ,则函数

g ( x) ? f ( x ?1) ? f ( x ? 2) 的定义域是(
A. [?2,3] C. [?1, 4]
【答案】C



B. [?1,3] D. [?3,5]

? ?3 ? x ? 1 ? 5 【解析】 ? ,解得 ?1 ? x ? 4 , ? ?3 ? x ? 2 ? 5
∴函数 g ( x) 的定义域为 [?1, 4] .

考点3 求函数的解析式

【例 3】根据已知条件,求函数解析式. (1)已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x) ; (2)已知 2 f ( x) ? f (? x) ? 3x ? 2 ,求 f ( x) . (3)已知 f ( x) 是一次函数,且满足

3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ?1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x) .

【解析】 (1)方法 1:换元法 设u ?

x ? 1 ? 1,则 x ? (u ? 1) 2 ,
2

∴ f (u ) ? (u ? 1) ? 2(u ? 1) ? u ? 1 ,
2

∴ f ( x) ? x ? 1( x ? 1) .
2

方法 2:配凑法 ∵ f ( x ? 1) ? x ? 2 x ? ( x ? 1) ? 1 ,
2

∴ f ( x) ? x ? 1( x ? 1) .
2

(2)∵ 2 f ( x) ? f (? x) ? 3x ? 2 , ∴ 2 f (? x) ? f ( x) ? ?3x ? 2 ,

?2 f ( x) ? f (? x) ? 3x ? 2 由? , ?2 f (? x) ? f ( x) ? ?3 x ? 2

2 解得 f ( x) ? 3x ? . 3

(3)设 f ( x) ? ax ? b(a ? 0) ,则

3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 3[a( x ? 1) ? b] ? 2[a( x ? 1) ? b]

? ax ? 5a ? b ? 2x ? 17 ,
?a ? 2 ?a ? 2 ∴? ,解得 ? . ?b ? 7 ?b ? 5a ? 17
∴ f ( x) ? 2 x ? 7 .

【变式】设 f ( x) 是定义在实数集 R 上的函数,满足 f (0) ? 1 , 且对任意实数 a, b ,有 f (a ? b) ? f (a) ? b(2a ? b ? 1) , 求 f ( x) .
【解析】令 a ? x, b ? ? x , 则 f ( x ? x) ? f ( x) ? x( x ? 1) , ∴ 1 ? f ( x) ? x( x ? 1) , ∴ f ( x) ? x ? x ? 1 .
2

归纳反思
1.求函数的定义域一般有三类问题: ①给出解析式, 应抓住使整个解式有意义的自变量的集合; ②未给出解析式,就应抓住内函数的值域就是外函数的 定义域; ③实际问题,此时函数的定义域除使解析式有意义外, 还应使实际问题或几何问题有意义.

2.函数的解析式的类型与求法 ①已知函数特征(如一次函数、二次函数) , 可用待定系数法. ②已知 f ( g ( x)) 的表达式,常用换元法或配凑法.

1 ③若已知 f ( x) 与 f ( ) 、 f ( x) 与 f (? x) 等的组合, x
常用函数方程法.


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