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四面体的一个体积公式及应用


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孝 . = ;   笨  
< 数学教 学通讯) 学生 版2 0 0 0 年第1 期   1  {  

。 , 声f 钉  
重庆 -3 5 ?  
- y  

⑥ 
1. I 体 积 公 式 

四 面 体 的一 个 体 积 公 式及 应 用
( 重庆A中 4 0 0 0 3 0 ) 陶 兴 模 
' - _ — - - - ~  

p/2 >   夕  
2 ,  

I 体 积 公 式 及 证 明  如 图 ( I)所   示 , 在 四 面 体  A B C D 中 .设  
= a, DB = b, DC 
B 

= b  

/ s  一  a ( 季   - z   ̄ - c o s 7 + 1 )  
s ' _ n 2  
+ l 2 墅 ?  
si n: r  

= b  

应   z=  

= c,L ADB = 口,  
BDC  =  .  

V = {s   一-  = 号一 号n c s i n   -  ?  
一  

A 

塑  鲍   Z _ =  
s i n) "  

:上 出 .  
6 一 ’  

LA D C= y , 则 四 

图 1  

面体 A B C D 的体 积 .  
c s =c c s / 3 c c s 7一。   口一。   口一。   V = 吉 出  1+2c
… …

(*)  

I . 2 公 式 的 证 明 

如 图 ( 2)所   示, 过点 B作肋  
上面 A D c. 垂 足 为 
B 

0,连 结 DO。设 
/ 3 0 = ^,  
口 l ,  

皿 D = 



 

ADO = 口 2 ,  

A 

口功 =  

, .则 

图 2  

体 

A  BCD -

A  

’  ■] H  l  

C O S G t =c o s 0 1 。 c O S 如… …( I ) ,  

Al   B1 C1 D1  中 , E  

。 ∞卢=c o s 0 l - c o s 0   2 ……( 2) , ( ( I ) , ( 2) 两 式 的 根  据是 立体 几 何 教 材 1 1 7页 总 复 习 参 考 题 第 3题   的结 论 : c o s 8=c o s 8 l ? ∞s 口 2 ) .   由( 1 ) ’( 2 )得   =   = k. o o s O  =  

,   F  1 3 t 3   分另 U 是  l , c D  

J   j  _   、 J   1   l,   I  -   c  

ke o s 0 2 . c o s /= C ' O S ( 口 2 +口   2 )= c o s O 2 o o s 8   2 一s i n O 2  

? s i n 0   2 =k o 。 s 2   2 一、 / 1 一o 。 s 2 口 2 ? 、 / 1 一c o s 2  2 =  
o ∞  口 2一   1 一o 。 s 2 口 2-   1 一k 2 o o s 2 口 2 .由 此 得  

√( 1 一o 。 s 2 口 2 ) - ( 1 一k 2 c 0 s 2   2 ) =  o 。 s 2 口 2 一c o s ' / .  
两 边 平方 整 理 , 得 ( k  —2 ke o s 7 +1 ) o 。 s 2 口 2 = 1一  
O O S 2 y
一 

口 2  

s   i n o z 。  ̄ s ,  


由( 1 ) 得 
h= b   s l nO l  


口 l  

方体中抽取 出来,  

/,   1  

∞   口  o

o s 2 口 2   ∞s 2 口(   一2  c 嘣口+  
s i n 2 7  

正 方 体 的 棱 长 凳 为  A  

l   z /  
n 

6  

= 

v -c  ̄  ̄ ' a( k Z  

2 kc  ̄ s a+! . ) -  


si  

图 4  

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3 6 ?重 庆 

( 数学 教学 通 讯) 学生版 2 0 0 0年 第 1期  与 a   的 中点 , 求 四 棱 锥 A】 一 EB F Dl的 体 积  ( 1 9 9 2年 全 国 高 考 题 ) .   解: 将 四 棱 锥 A】 一册 】 从 正 方 体  一 

出F A 。 = D   E = 号   - A l E = F D   =  。 . £ F =   2  
Al D1= 口. 设  融 1 D  LF Al Dl= , , . 则 c o s a=  
口.   F A1 E = 卢  
C O S y = 0.c 0 s 口=  

A】 B】 c】 D1中抽 取 出 来 , 如图( 7) 所示. 连结 E F,   则 四 棱 锥 A1 一 EB F D】 被 分 成 两 个 三 棱 锥 A1 一  B E F, A】 一 D】 E F. 分 别 求 出这 两个 三 棱 锥 的体 积  即 可 得 到 所 求 四 棱 锥 A  一 EB F D1 的体 积 .   利 用 勾 股 定  理 容 易 算 出 四 棱 
锥 A1 一 EB F D1中  各条 棱 的 长 度 , 如 

4   a + 詈 n   一 鲁 n 2  


2.   3  

, 


/ 3  

3  

由 体 积 公 式 ( * ) , 得V =   1  ?  。 ? 詈 。 -   7 ) 所 示  :   = 吉 n 3 = 吉 ? z   = l l _ 即 三 棱   图( 设  A1 B F=  
锥 F —A1 E D1的 体 积 为 1 ,   倒 2   如 图  ( 5) 所示。 在 平 行  六 面 体  一  Al Bl c 1 Dl中 ,已 
知 A B:5 , A D =  
4.A A1= 3. AB j _  
AD .   AI AB = 

A1 A D=   . 求这 个 平行 六 面体 的 体 ̄ P , ( 1 9 8 9年   全 国高 考题 ) .   .   解: 先 求 出 三 棱 锥 A1一 A B D 的 体 积, 设 
Al A B =口,   A1 A D = 卢. L/ t 4 D = y. 则 c 0 6 口=  
cosy 

+  
z.

孪   .   。  

Ⅱ ) 2  (  Ⅱ )  

1 5  

将   上 数 据 代 入 体 积 公 式 (* )中 ,得  
1  
。 一一 —
?

。 。 s p = 。 。 s 号= 专. o o s ' , = 0 . Ⅱ = A B = 5 . 6 = A I D =  
4. f = AA 1 = 3.  

弩 n - 弩 n  。 ?  

将 以上 数据 代 入 体积 公 式 ( *) , 得 
V = 1 出  

/ 1 + z ‘  ‘ 壳专 一 c  ) 2 _ c 壳) 2 _ c  
=  

? 

1+2 c o s 口 e o s /  ̄ c o s ) ' 一e o 6 2 a—c o s 2  ̄一c M x  
=s   .  

Ⅱ 3 _ 等 =   。   .  
。,

l  x 5 x  4   x  3 .  

由于 B F Dl E 是 平 行 四边 形 , 所 以 S△曰 E F=   s  哪 由此 可知 ,   ,一 BEF  一D  口 -  
。 一B F A e D。= 2  
。 一 

易 知 
倒 3  
目 CD —  

一 ^  I C t 。 I =6 V=6x   5 4 r 2=3 0 4 r 2 .  
如 图 

2 x 壶   吉 Ⅱ   .  

( 6)所 示 ,已 知 
Al Bl c1 Dl 是 棱 长 

本 文 给 出 的 四 面 体 的 体 积 公 式 (*) 同 学 们  容 易理 解 , 也 容 易 记  t z , , 这 个公 式告 诉 我 们 , 在 一  个 四面体 中 , 只 要 知 道 了 四 面 体 的 过 同 一 顶 点 的  三 条 棱 长 。, b , C和 它 们 两 两 之 间 所 成 的 夹 角 a,  

为 。 的 正 方 体,   E, F 分别 是 A Al  
B   图
6  

口 , y . 就 可 以利 用公 式 ( *) 很 方 便 地 求 出四 面 体 
的体 积 .  
C 


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