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高考模拟考试试题2(学生)


★ 启用前绝密

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷 2)

数学 I 试题
直接填在答题卡相应位置上 . ........

2015.5

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需要写出解答过程,请把答案

1.若 a , b ? R ,且 a ? (b ? 2)i ? 1 ? i (其中 i 是虚数单位) ,则 a ? b 的值为 2.已知双曲线





y2 ? x 2 ? 1 的两条渐近线方程是 4



. ▲ . ▲
Y

3.命题“若 x 2 ? y 2 ? 0 ,则 x , y 不全为 0”的否命题为 4.已知集合 A ? {x y ? lg(3 ? x)} ,则 A



N? =



5.如图是一个输出一列数的算法流程图,则这列数的第三项是
a ← a ? (a ? 1)
开始



a ← 3, n ←1

输出 a

n ←n ? 1

n ≤10

N

结束

(第 5 题) 6.设等比数列 {an } 的公比 q ?

1 S ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? 2 a4



. ▲ ▲ . .

7.已知正六棱锥的底面边长为 2,侧棱长为 4,则正六棱锥的体积为 8.平面向量 a 与 b 的夹角为 60? , a = (2,0) , b ? 1 ,则 a ? 2b ?

?2 x ? y ? 2 ≥ 0 , ? 9.在平面直角坐标系 xOy 中, M 为不等式组 ? x ? 2 y ? 1≥ 0 ,所表示的区域上一动点, ? x≤ 2 ?
则直线 OM 斜率的取值范围是 ▲ .

10.以抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为圆心、2 为半径的圆,与过点 A(-1,3)的直线 l 相切,则 直线 l 的方程是 ▲ . ▲ .

?? 3 ? ? ? ?? ? ? ? 11.已知 cos ? 2? ? ? ? , ? ? ? , ? ,则 sin ? ? ? ? ? 3? 5 12 ? ? ?6 2? ?

12.若直线 y ? kx ? 1 与焦点在 x 轴上的椭圆 范围是 ▲ .

x2 y2 ? ? 1 恒有公共点,则椭圆离心率的取值 5 t

13.已知函数 f ( x) ? M sin(? x ? ? )(M ? 0 , | ? | < ) 的部分图象

? 2

B, C 的对边分别是 a , b, c, 如图所示.在△ ABC 中,角 A ,


cos B b ,则 ? cos C 2a ? c

? A? f ? ? 的取值范围是 ?2?





14.直角坐标平面上,已知点 A? ?1,0? , B ?1,0? ,直线 l : x ? ?1 ,点 P 是平面上一动点, 直线 PA 的斜率为 k1 , 直线 PB 的斜率为 k2 , 且 k1 ? k2 ? ?1 , 过点 P 作 l 的垂线, 垂足为 Q , 则三角形 APQ 的面积的最大值等于 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内 作答,解答时应写出 ........ 必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 某老师从参加高一年级一次考试的学生中抽出 60 名学生,将其成绩(均为整数)分

9 0 , 1 0 0 ] 成六段 [40, 50) ,[50, 60) , ?[
回答下列问题:

后画出如下部分频率分布直方图. 观察图形的信息,

(1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)该老师不小心洒了一个墨点在直方图的矩形区域内,求恰好落在第四组的小矩形内 的概率(不计墨点大小) ; (3)若 60 分及以上为及格,估计从高一年级及格的学生中抽取一位学生分数不低于 80 分的概率.
频率 组距

0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 40 50 60 70 80 90 100
分数

16. (本题满分 14 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD ,

P E A B

AB // CD , AB ? BC , AB ? BC ? 1 , DC ? 2 ,
点 E 在 PB 上. (1)求证: 平面 AEC ? 平面 PAD ; (2)当 PD //平面 AEC 时, 求 PE : EB 的值. D

C

17.(本小题满分 14 分)
2 已知等差数列 ?an ? 的公差 d 不为零,且 a3 ? a7 , a2 ? a4 ? a6 .

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,求满足 Sn ? 2an ? 20 ? 0 的所有正整数 n 的集合.

18. (本小题满分 16 分) 某城市受雾霾影响严重,现欲在该城市中心 P 的两侧建造 A,B 两个空气净化站(A,

1? a , 1) .已知对该 P,B 三点共线) ,A,B 两站对该城市的净化度分别为 a , 其中 a ? (0 ,
城市总净化效果为 A,B 两站对该城市的净化效果之和,且每站净化效果与净化度成正比, 与中心 P 到净化站距离成反比. 若 AB ? 1 , 且当 AP ? B 站对该城市的净化效果为 1 ? a .

3 a 时, A 站对该城市的净化效果为 , 4 3

1) ,求 A,B 两站对该城市的总净化效果 f ( x) ; (1)设 AP ? x , x ? (0 ,
(2)无论 A,B 两站建在何处,若要求 A,B 两站对该城市的总净化效果至少达到

1 ,求 2

a 的取值集合.

19.(本小题满分 16 分) 如图所示, 曲线 E 由两段曲线 C1 , 其中曲线 C1 : C2 合成,

x2 y 2 ? ? 1( x ≤ 0) , 曲线 C2 为 12 4

1) ,且与曲线 C1 在 y 轴上的截距相等. x ≥ 0 部分的一段圆弧.已知曲线 C2 过点 A(3 ,
(1)求曲线 C2 所在圆的方程; (2)曲线 C1 上有一动点 P ,若在曲线 C1 上存在一定点 B ,使得直线 PA 的斜率 k1 与直线

PB 的斜率 k 2 满足 3k1k2 ? 1 ? 0 ,求直线 AB 的方程;
(3)在(2)的条件下, M 为曲线 E 上任一点,求 MA ? MB 的取值范围. y

A O x

20.(本小题满分 16 分)

ex 已知函数 f ( x) ? . x
(1)若曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为 ax ? y ? 0 ,求 x0 的值; (2)当 x ? 0 时,求证: f ( x) ? x ; (3)设函数 F ( x) ? f ( x) ? bx ,其中 b 为实常数,试讨论函数 F ( x) 在 (0. ? ?) 的零点个 数,并证明你的结论.

★ 启用前绝密

2015 年普通高等学校招生全国统一考试 (江苏模拟卷 2)

注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷只有解答题,供理工方向考生使用.本试卷第 21 题有 A、B、C、D 4 个小 题供选做,每位考生在 4 个选做题中选答 2 题.若考生选做了 3 题或 4 题,则按选 做题中的前 2 题计分.第 22、23 题为必答题.每小题 10 分,共 40 分.考试时间 30 分钟.考试结束后,请将答题卡交回. 2. 答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试 卷及答题卡的规定位置. 3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答 必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚. 4. 如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 5. 请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗 的圆珠笔.

数学 II 试题 (附加题)

2015.5

21. 【选做题】本题包括 A 、 B 、 C 、 D 四小题,请选定其中两题 ,并 在相应的答题区域 ...... . ........ 内作答 ,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ... A.(选修 4—1:几何证明选讲) 如图,?ABC 是圆 O 的内接三角形,PA 是圆 O 的切线, A 为切点,PB 交 AC 于点 E ,

PB ? 9 ,求 EC . 交圆 O 于点 D ,若 PE ? PA , ?ABC ? 60? ,且 PD ? 1,
A O B C B. (选修 4—2:矩阵与变换) (第 21-A 题) E DP

?1 0 ? 已知曲线 C : y 2 ? 1 x ,在矩阵 M ? ? ? 对应的变换作用下得到曲线 C1 , C1 在矩阵 2 ?0 ?2 ? ?0 1 ? N? ? ? 对应的变换作用下得到曲线 C2 ,求曲线 C2 的方程. ?1 0 ?

C. (选修 4—4:坐标系与参数方程) 已知动圆 C : 求圆心 C 的轨迹方程并在 x2 ? y 2 ? 4x cos? ? 4 y sin 2 ? ? 4sin 2 ? cos2 ? ? 0 , 坐标系内画出其对应曲线.

D.(选修 4—5:不等式选讲)

4) ,若 g (x) ? f (x) ? b 已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? x ? a ,若不等式 f ( x)<6 的解集为 ( ?2 ,
的零点个数不为 0,求 b 的取值范围.

【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题 卡 的指定区域内 . .... . ...... 22. (本小题满分 10 分) 已知抛物线 C: y2 = 2px (p>0) 上的一点 M (2, m) (m>0) , M 到焦点 F 的距离为 A、B 是抛物线 C 上异于 M 的两点,且 MA⊥ MB. (1)求 p 和 m 的值; (2)问直线 AB 是否恒过定点?若过定点,求出这个定点的坐标;若不过定点,请说明 理由. 5 , 2

23. (本小题满分 10 分) (1)设函数 f ( x) ? x ln x ? (1 ? x)ln(1 ? x)(0 < x < 1) ,求 f ( x) 的最小值;

(2)设正数 p1 , p2 , p3 , p2n 满足 p1 ? p2 ? p3 ? … ? p2n ? 1 ,求证: …,

p1 ln p1 ? p2 ln p2 ? p3 ln p3 ? … ? p2n ln p2n ≥ ?n .


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