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北师大版初三九年级数学上册3.2 特殊的平行四边形--菱形,正方形的性质及判定 PPT课件


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九年级数学(上)第三章 证明(三) 3.2特殊的平行四边形(2) ——菱形,正方形的性质及判定

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回顾与思考 1

学好几何标志是会 “证明”

?证明命

题的一般步骤:
?(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
?(2)根据题意,画出图形;

?(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求 证”; ?(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”, 驶向胜利 执“果”索“因”.); 的彼岸 ?(5)依据思路,运用数学符号和数学语 言条理清晰地写出证明过程; ?(6)检查表达过程是否正确,完善.
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回顾

思考

平行四边形的性质
A D

?定理:平行四边形的对边相等.



∵四边形ABCD是平行四边形. B C ∴AB=CD,BC=DA. A D ?定理:平行四边形的对角相等. O ∵四边形ABCD是平行四边形. B C ∴∠A=∠C, ∠B=∠D. M A D N 定理:平行四边形的对角线互相平分. ∵四边形ABCD是平行四边形. Q B C P ∴CO=AO,BO=DO. 定理:夹在两条平等线间的平等线段相等. 驶向胜利 ∵MN∥PQ,AB∥CD, 的彼岸 ∴AB=CD.
绿色圃中小学教育网 ?证明后的结论, 以后可以直接运用 . http://www.lspjy.com

回顾

思考

平行四边形的判定
A D C

?定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ?∵AB=CD,AD=BC, ?∴四边形ABCD是平行四边形.
B



?定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ?∵AB∥CD,AB=CD, ?∴四边形ABCD是平行四边形. 定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形. A D ?∵AO=CO,BO=DO, O ?∴四边形ABCD是平行四边形. 定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的. ?∵∠A=∠C,∠B=∠D. ?∴四边形ABCD是平行四边形 . 绿色圃中小学教育网
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B

C

驶向胜利 的彼岸

回顾

思考

等腰梯形的性质
A D

?定理:等腰梯形同一底上的两个角相等.

?在梯形ABCD中,AD∥BC, ?∵AB=DC, ?∴∠A=∠D, ∠B=∠C.

B

C

?定理:等腰梯形的两条对角线相等.

?在梯形ABCD中,AD∥BC, ?∵AB=DC, ?∴AC=DB..
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A

D

B

C

?证明后的结论,以后可以直接运用.

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思考

等腰梯形的判定
A D

定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.

在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵∠A=∠D或∠B=∠C, ∴AB=DC.

B

C

定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形. 在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵AC=DB. ∴AB=DC.
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A

D

B

C

?证明后的结论,以后可以直接运用.

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思考

三角形中位线的性质

1 ∴DE∥BC,DE ? BC . 2 ?这个定理提供了证明线段平行,和线 段成倍分关系的根据.


?定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三 A 边的一半. ?∵DE是△ABC的中位,
D E

模型:连接任意四边形各边中点 B 所成的四边形是平行四边形.
要重视这个模型的证明过程反映出来的 规律:对角线的关系是关键.改变四边形 H 的形状后,对角线具有的关系(对角线相 等,对角线垂直,对角线相等且垂直)决 D 定了各中点所成四边形的形状.
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A

E

C
B

F
G 的彼岸
驶向胜利

C

我思,我进步1

四边形之间的关系

?四边形之间有何关系? ?特殊的平行四边形之间呢? ?还记得它们与平行四边形的关系吗? ?能用一张图来表示它们之间的关系吗?
矩形 平行四边形 正方形 菱形 四边形

等腰梯形

梯形 直角梯形
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驶向胜利 的彼岸

回顾

思考

矩形的性质,推论
A D

?定理:矩形的四个角都是直角. ?∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠B=∠C=∠D=900.

B A

C D

?定理:矩形的两条对角线相等. ?∵AC,BD是矩形ABCD的两条对角线. B ∴AC=BD. A

C
D

推论(直角三角形性质):直角三角形 斜边上的中线等于斜边的一半. 在△ABC中,∠ACB=900, ∵AD=BD,
? CD ? 1 AB. 2
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C
驶向胜利 的彼岸

B

回顾

思考

?定理:有三个角是直角的四边形是矩形. A ?∵∠A=∠B=∠C=900, ∴四边形ABCD是矩形.
B

矩形的判定,直角三角形的 判定
D

?定理:对角线相等的平行四边形是矩形. ?∵AC,BD是□ABCD的两条对角线,且AC=DB. A ∴四边形ABCD是矩形. ?定理:如果一个三角形一边上的中 线等于这边的一半,那么这个三角 B 形是直角三角形. A 在△ABC中, D ∵AD=BD=CD,

C

D

C
驶向胜利 的彼岸

∴ ∠ACB=900.

C 绿色圃中小学教育网
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B

我思,我进步2

菱形的性质
D A B C

?定理:菱形的四条边都相等. 已知:如图,四边形ABCD是菱形. 求证:AB=BC=CD=DA. ?分析:由菱形的定义,利用平行 四边形性质可使问题得证.

证明: ∵ 四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,四边形ABCD是平行四边形. ∴AB=CD,AD=BC.
驶向胜 利的彼 岸
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∴ AB=BC=CD=AD.

我思,我进步3

菱形的性质

已知:如图,AC,BD是菱形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O. D 求证: (1).AC⊥BD; (2).AC平分∠BAD和∠BCD, O BD平分∠ADC和∠ABC. A C ?分析:根据平行四边形对角线互相平分和 等腰三角形“三线合一”来证明. B 证明:(1) ∵ 四边形ABCD是菱形, ∴AD=CD,AO=CO. ∵DO=DO, ∴△AOD≌△COD(SSS). ∴∠AOD=∠COD=900. 驶向胜利 ∴AC⊥BD. 的彼岸 (2)∵AD=AB,DA=DC,AC⊥BD; 绿色圃中小学教育网 ∴AC平分∠BAD和∠BCD,BD 平分∠ADC和∠ABC. http://www.lspjy.com

?定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角 线平分一组对角.

例题欣赏

4

菱形性质的应用
A

?已知:如图,四边形ABCD是边长为 13cm的菱形,其中对角线BD长10cm. 求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形ABCD的面积. 解:(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴∠AED=900,DE
? AE ?
1 1 ? BD ? ?10 ? 5?cm ?. 2 2 AD2 ? DE 2 ? 132 ? 52 ? 12?cm?.

B

E

D

∴AC=2AE=2×12=24(cm).

C

(2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积 =2×△ABD的面积
1 ? 2 ? ? BD ? AE 2 1 绿色圃中小学教育网 ? 2 ? ?10 ?12 ? 120 cm 2 . http://www.lspjy.com 2

?

?

驶向胜 利的彼 岸

我思,我进步2

菱形的判定

?定理:四条边都相等的四边形是菱形. D 已知:如图,在四边形ABCD中, AB=BC=CD=DA.. A C 求证:四边形ABCD是菱形. B ?分析:利用菱形定义和两组对边分别相等的四边形 是平行四边形,可使问题得证. 证明: ∵AB=BC=CD=DA, ∴AB=CD,BC=DA. ∴四边形ABCD是平行四边形.. ∵AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形.
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驶向胜 利的彼 岸

我思,我进步2

菱形的判定

?定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 已知:如图,在□ABCD中,对角线AC⊥BD. D 求证:四边形ABCD是菱形. ?分析:要证明□ABCD是菱形,就 O 要证明有一组邻边相等即可. A ?证明: ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴AO=CO. ∵AC⊥BD, ∴ DA=DC. ∴四边形ABCD是菱形 . 绿色圃中小学教育网
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C

B

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我思,我进步4

正方形的性质

?定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等. A D ?已知:四边形ABCD是正方形. ?求证:(1)∠A=∠B=∠C=∠D=900. ? (2)AB=BC=CD=DA. ?分析:因为正方形具有矩形和菱形 B C 的所有性质,所以结论易证. ?证明: ∵四边形ABCD是正方形,

∴四边形ABCD是矩形,也是菱形.
∴∠A=∠B=∠C=∠D=900,

AB=BC=CD=DA.
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我思,我进步4

正方形的性质

?定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平 分,每条对角线平分一组对角. ?已知:四边形ABCD是正方形,AC,BD是它的两条对角线. ?求证:(1).AC=BD,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO; (2).AC平分∠BAD和∠BCD,BD平 A D 分∠ADC和∠ABC. ?分析:因为正方形具有矩形和菱形 O 的所有性质,所以结论易证. ?证明: ∵四边形ABCD是正方形, B C ∴四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形. ∴AO=CO,BO=DO; 驶向胜 AC=BD; 利的彼 AC⊥BD; 岸 绿色圃中小学教育网 AC平分∠BAD和∠BCD,BD 平分∠ ADC 和∠ ABC. http://www.lspjy.com

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正方形的判定
D

?定理:有一个角是直角的菱形是正方形. ?已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900. A ?求证:四边形ABCD是正方形. ?分析:要证明四边形ABCD是正方形, 可转化为证明有一组邻边相等的矩 B 形即可. ?证明: ∵四边形ABCD是菱形,∠A=900, ∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900. ∴∠A=∠B=∠C=900. ∴四边形ABCD是矩形. ∵AB=BC, 绿色圃中小学教育网 ∴四边形ABCD是正方形 . http://www.lspjy.com
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C

我思,我进步4

正方形的判定

?定理:对角线相等的菱形是正方形. ?已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD. ?求证:四边形ABCD是正方形. ?分析:要证明四边形ABCD是正方形, 可转化为证明有一组邻边相等的矩 A 形(或有一个角是直角的菱形)即可. O ?证明: ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC,四边形ABCD是平行四边形. B ∵AC=BD, ∴四边形ABCD是矩形.

D

C

∵AB=BC,
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我思,我进步4

正方形的判定

?定理:对角线互相垂直的矩形是正方形. 已知:四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD. ?求证:四边形ABCD是正方形. ?分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有 一角是直角的菱形(或有一组邻边相等的矩形,或对 角线相等的菱形)即可. A D ?证明: O ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=900,四边形ABCD是平行四边形. ∵AC⊥BD, ∴四边形ABCD是菱形.
B C

∵∠ABC=900.
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回顾

思考

菱形的性质

?定理:菱形的四条边都相等. ?∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD.
D A B C A

D
O C

?定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对 角线平分一组对角. ?∵AC,BD是菱形ABCD的两条对角线. 驶向胜利 ∴AC⊥BD,AC平分∠BAD和∠BCD,BD 的彼岸 平分∠ADC和∠ABC.
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B

回顾

思考

菱形的判定

?定理:四条边都相等的四边形是菱形. ?在四边形ABCD中, ?∵AB=BC=CD=AD, D ∴四边形ABCD是菱形.
D A B C B A O C

?定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. ?∵AC,BD是□ABCD的两条对角线,AC⊥BD. 驶向胜利
的彼岸

∴四边形ABCD是菱形.

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思考

正方形的性质

?定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等. ?∵四边形ABCD是正方形, ∴∠A=∠B=∠C=∠D=900,AB=BC=CD=DA.
A D

A

D

O B C B C

?定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直 平分,每条对角线平分一组对角. ?∵四边形ABCD是正方形, ∴AC=BD;AC⊥BD;AO=CO,BO=DO;AC平 驶向胜利 的彼岸 分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和 ∠ABC. 绿色圃中小学教育网
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回顾

思考

正方形的判定
D

?定理:有一个角是直角的菱形是正方形. A ?∵四边形ABCD是菱形,∠A=900, ∴四边形ABCD是正方形. ?定理:对角线相等的菱形是正方形. ?∵四边形ABCD是菱形,AC=DB. ∴四边形ABCD是正方形.
B A O B

C D

C

?定理:对角线互相垂直的矩形是正方形. ?∵四边形ABCD是矩形,AC⊥BD, ∴四边形ABCD是正方形.
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驶向胜利 的彼岸

独立 作业

知识的升华

P99习题3.5 1,2,3题.
祝你成功!
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独立 作业

P99习题3.5
D

2 题.

2.菱形的面积等于其对角线乘积的一半.

A

O

C

B

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独立 作业

P90习题3.5

3 题.

已知:如图,A,B,C,D四家工厂分别坐落在正 方形城镇的四个角上.仓库P和Q分别位于AD 和DC上,且PD=QC. 证明:两条直路BP=AQ,且BP⊥AQ.
A◎

P





D



Q C

B

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下课了!

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结束寄语

? 严格性之于数学家,犹如道德之 于人. ? 条理清晰,因果相应,言必有据 .是初学证明者谨记和遵循的原 则.

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