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3.1.1不等关系与比较大小 课件(人教A版必修5)


【思考】

【点拨】

用不等式(组)表示不等关系 【名师指津】1.从数学意义上看,不等关系体现在以下几个方 面: (1)常量与常量之间的不等关系,如50 g砝码的质量大于10 g 砝码的质量; (2)变量与常量之间的不等关系,如某儿童的身高hm小于或等 于1.4m;

(3)变量与变量之间的不等关系,如当

x>a时,销售收入

f(x)大于销售成本g(x);
(4)一组变量之间的不等关系,如购置课桌的费用60x与

购置椅子的费用30y的和不超过2 000元.

2.用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题. 在用不等式(组)表示不等关系时,应注意必须是具有相同 性质,可以进行比较时,才可用,没有可比性的两个(或 几个)量之间不能用不等式(组)来表示.

【特别提醒】在用不等式(组)表示实际问题时一定要注
意单位统一.

【例1】某厂使用两种零件A、B,装配两种产品甲、乙,该 厂的生产能力是月产甲最多2 500件,月产乙最多1 200件,

而组装一件甲需要4个A、2个B;组装一件乙需要6个A、8个
B.某个月,该厂能用的A最多有14 000个,B最多有12 000

个.写出满足上述所有不等关系的不等式组.
【审题指导】解答本题可先设出甲、乙两种产品产量分别 为x件,y件,然后由不等关系列出不等式组.

【规范解答】设甲、乙两种产品产量分别为x件、y件,由
题意列不等式组如下:
?0 ? x ? 2 500 ?0 ? y ? 1 200 ? ? ?4x ? 6y ? 14 000, 即 ?2x ? 8y ? 12 000 ? ? ? x, y ? N ?0 ? x ? 2 500 ?0 ? y ? 1 200 ? ? ?2x ? 3y ? 7 000. ? x ? 4y ? 6 000 ? ? ? x, y ? N

比较两数(式)的大小

【名师指津】
1.实数的两个特征: (1)任意实数的平方不小于0,即任意a∈R,则a2≥0; (2)任意两个实数都可以比较大小. 2.实数比较大小的依据:

在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b,
右边的点表示的数比左边的点表示的数大.

3.两实数(式子)比较大小的常用方法 (1)作差法(作商法),其主要步骤是: 作差(作商)——变形——判断差的符号(商与1的大小关 系)——得出结论,其中变形是关键,通常用配方、因式分 解等办法处理,同时注意每一步变形必须是等价变形.作商法 适用于要比较的两个数是同号的. (2)利用函数单调性比较大小,通常要先构造一个函数,再利用 单调性.

【例2】已知x>1,比较x3+6x与x2+6的大小.

【审题指导】解答本题可先作差,然后再因式分解进行变形,
最后得出结论.

【规范解答】∵(x3+6x)-(x2+6)=x3-x2+6x-6
=x2(x-1)+6(x-1)=(x-1)(x2+6). 又∵x>1,∴x-1>0, 又∵x2+6>0,∴(x-1)(x2+6)>0. ∴x3+6x>x2+6.

【例】已知a>0,b>0且a≠b,试比较aabb与abba的大小. 【审题指导】因为a>0,b>0,而且都是以幂的形式给出, 故可考虑利用作商法比较大小.
a b a a a ?b 【规范解答】 b b a ? a a ?b bb?a ? ( ) , a b b a a a ?b ①当a>b>0时, >1,a-b>0,∴ >1; ( ) b b

②当0<a<b时,
a a a ?b 0< <1,a-b<0,∴ >1. ( ) b b a a ?b 综上可得 >1,∴aabb>abba. ( ) b

【典例】(12分)设x>0,a>0且a≠1,试比较

|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小.
【审题指导】这里涉及的字母a为对数的底数,是否一定要 讨论,可选择换底公式回避讨论,可作差,也可作商比较 . 【规范解答】由于对数的真数应大于0,则x的范围为 0<x<1.
……………………………………… 2分

方法一:|loga(1-x)|-|loga(1+x)|
? lg ?1 ? x ? lga ? lg ?1 ? x ? lga .
……………………………………4分

∵0<x<1,∴1<1+x<2,0<1-x<1.

∴lg(1+x)>0,lg(1-x)<0. ……………………………6分

lg ?1 ? x ? lga ? lg ?1 ? x ? lga ? ?lg ?1 ? x ? ? lg ?1 ? x ? lga ? ?lg ?1 ? x 2 ? lga . …8分

∵0<1-x2<1,∴lg(1-x2)<0, ∵|lga|>0,∴
?lg ?1 ? x 2 ? | lga |

>0.

…………………10分 ……………………12分

∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.

方法二:由于|loga(1-x)|>0,|loga(1+x)|>0. ∴
log a ?1 ? x ? | log a (1 ? x) |

=|log(1+x)(1-x)|
1? x

……………………4分 …………………6分

=-log(1+x)(1-x)=log(1+x) 1 . ∵0<1-x2=(1-x)(1+x)<1.
1 >1+x,且1+x>1. 1? x ∴log(1+x) 1 >log(1+x)(1+x)=1. 1? x



……………………8分
……………………10分 ……………………12分

∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.

【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下:

1.某高速公路对行驶的各种车辆的速度v的最大限速为 120 km/h,行驶过程中,同一车道上的车间距d不得小于 10 m,用不等式表示为( )

(A)v≤120 km/h且d≥10 m
(B)v≤120 km/h或d≥10 m

(C)v≤120 km/h
(D)d>10 m 【解析】选A.选项A同时满足题目给出的两个条件,故选 A.

2.已知0<a< 1 , 且M= 1 ? 1 , N=
b 1? a 1? b

a b 则M,N的大小 ? , 1? a 1? b

关系是(
(A)M>N (C)M=N

)
(B)M<N (D)不能确定
1 b

【解析】选A.∵0<a< ,∴1+a>0,1+b>0,1-ab>0,∴M-N=
2 ? 2ab 1? a 1? b >0,故选A. ? ? 1 ? a 1 ? b ?1 ? a ? (1 ? b)

3.若a≠2,则M=a2+b2-4a+2b的值与-5的大小关系是(
(A)M>-5 (B)M<-5



(C)M=-5

(D)不能确定

【解析】选A.因为M-(-5)=a2+b2-4a+2b+5 =a2-4a+4+b2+2b+1=(a-2)2+(b+1)2. 又因为a≠2,所以(a-2)2>0, 而(b+1)2≥0,所以(a-2)2+(b+1)2>0,所以M>-5.故选A.

4.b克糖水中有a克糖(b>a>0),若再添上m克糖(m>0),则糖水 就变甜了,试根据这个事实提炼一个不等式___________. 【解析】由题意 a 的比值越大,糖水越甜,若再添上m克糖 (m>0),则糖水就变甜了,说明 a ? m ? a .
a ? m a (b>a>0,m>0) 答案: ? b?m b b?m b b

5.已知x≤1,f(x)=3x3,g(x)=3x2-x+1,则f(x)与g(x)的大小 关系是f(x)________ g(x). 【解析】f(x)-g(x)=3x3-(3x2-x+1)

=3x3-3x2+x-1=3x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(3x2+1).
∵x≤1,∴x-1≤0.

又∵3x2+1>0,∴(x-1)(3x2+1)≤0,∴f(x)≤g(x).
答案:≤

6.比较x2-2ax与2a-2a2-3的大小(a,x∈R).

【解析】(x2-2ax)-(2a-2a2-3)
=(x2-2ax+a2)+(a2-2a+1)+2=(x-a)2+(a-1)2+2. ∵(x-a)2≥0,(a-1)2≥0,∴(x-a)2+(a-1)2+2>0, ∴(x2-2ax)-(2a-2a2-3)>0, ∴x2-2ax>2a-2a2-3.


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