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数学创新题剖析及复习建议


数学:创新题剖析及复习建议
纵览 2006 年全国各地高考数学试卷,众多高考创新题无论是形式的设计,还是内容的讲究, 都会给人面目一新之感. 1.(2006 上海) 如图,平面中两条直线 l1 和 l2 相交于点 O,对于平面上任意一点 M,若 p、

q 分别是 M 到直线 l1 和 l2 的距离,则称有序非负实数对(p,q)是点 M 的“距离坐标

”.已
知常数 p≥0,q≥0,给出下列命题: ①若 p=q=0,则“距离坐标”为(0,0) ②若 pq=0, 且 p+q≠0, 则“距离坐标” 有 2 个; ③若 pq≠0,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有 4 个. 上述命题中,正确命题的个数是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 的点有且仅有 1 个; 为(p,q)的点有且仅

思路分析: ①当 p=q=0 时,则点 M 只能落在直线 l1 和 l2 相交于点 O 处,命题正确. ②当 pq=0,且 p+q≠0 时,例如 p=0, q≠ 0,则点 M 只能落在直线 l1 上,故只有两个点. ③若 pq≠0 时, 点 M 可能落在直线 l1 和 l2 外,且到直线 l1 和 l2 的的距离分别是 p、 q,这样 的点共有 4 个. 故选择答案 D. 点评 本题主要考查学生的阅读理解能力. 在③中, 学生易把点 M 只能在 l1 上或 l2 上两种情 况误认为 p=O 和 q=O 时各有两种情况,从而共有四种情况.

2. (2006 辽宁) 设 + 是 R 上的一个运算,A 是 R 的非空子集,若对任意 a,b∈A,有 a+b∈A,, 则称 A 对运算+ 封闭,下列数集对加法、 减法、 乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的 是 (A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集

思路分析: A 中 1-2=-1 不是自然数,即自然数集不满足条件;B 中 1÷2=0.5 不是整数, 即整数集不满足条件;C 中有理数集满足条件;D 中 足条件,故选择答案 C. 点评 本题考查了阅读和理解能力,同时考查了做选择题的一般技巧排除法.是对学生接受新 事物能力的考查,抓住运算后仍在 A 中是该题的突破口,亦是解决该题的方法.本题考查学 生分析、解决问题的能力,易错点是抓不住本质而无法判断. 3. (2006 广东)对于任意的两个实数对(a , b)和(c , d),规定:(a , b)=(c , d), 当且仅当 a = c,b = d;运算“ ”为: (a,b) (c,d)=(ac-bd,bc+ad);运算“ ”为: 不是无理数,即无理数集不满

(a,b) (c,d)=(a+c,b+d) ,设 p , q∈R,若(1,2) (p,q)=(5,0) ,则(1,2) (p,q)= A.(4,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-4)

思路分析:由(1,2) (p,q)=(5,0) 得 所以(1,2) (p,q)=(1,2) (1,-2)=(2,0) ,故选 B.

,

点评 本题考查了学生分析问题、 解决问题的能力及运算能力, 同时考查了学生对新知识接受 能力和整体把握加以运用的能力,是较高层次的要求. 4.(2006 江西)某地一年的气温 Q(t)(单位:?c)与时间 t(月份)之间的关系如图(1) 所示,已知该年的平均气温为 10?c,令 G(t)表示时间段[0,t]的平均气温,G(t)与 t 之 间的函数关系用下列图象表示,则正确的应该是

思路分析:由于平均气温为 10℃,故可排除 D.由于题图给出的关系可以得 6 月份时接近为 零,且平均值逐渐增大,故排除 C.又 6 月份以后先增加后下降,故应有起伏,但总均值为 10.故先增后降,故选 A 点评 本题考查了学生观察分析图像、 利用图像关系加以判断的能力. 需考生有较高的分析能 力和识图能力.同 时要求学生具有一定的图像知识,易错点:分析不到位而错选.

5.(2006 四川)非空集合 G 关于运算㈩满足:⑴对于任意 a,b∈G,都有 a㈩b∈G;⑵存在 c∈G, 使得对一切 a∈G,都有 a㈩c=c㈩a=a,则称 G 关于运算㈩为“融洽集”.现给出下列集合和运 算: ①G={非负整数},㈩为整数的加法; ②G={偶数},㈩为整数的乘法; ③G={平面向量},㈩平面向量的加法;

④G={二次三项式},㈩为多项式的加法; ⑤G={虚数},㈩为复数的乘法. 其中关于 G 的运算㈩为“融洽集”的 是 .

思路分析:对于①任意两个非负数的和仍是非负数,又存在 e=0∈G={非负整数},使得对一切 a∈G={非负整数},都有 a㈩e=a+0=0+a=e㈩a=a,所以此时 G 关于运算㈩为“融洽集”; 对于②虽然任意两个偶数的乘积仍为偶数,但是在偶数集合中不存在 e,使得 a×e= e×a=a. 所以此时 G 关于运算㈩不为“融洽集”;对于③显然任意两个平面向量的和仍是平面向量,又 存在 e= ∈G={平面向量},使得对一切 a∈G={平面向量},都有 a㈩e=a+ = +a=e㈩a=a,所

以此时 G 关于运算㈩为“融洽集”;对于④若 a=2x2+2x+2∈G={二次三项式},b=-2x2-2x- 2∈G={二次三项式},则 a㈩b=2x2+2x+2+(-2x2-2x-2)=0 G={二次三项式},所以此时 G 关

于运算㈩不为“融洽集”;对于⑤若 a=i∈G={虚数},b=-i∈G={虚数},则 a㈩b=i+(-i)=0 G={虚数},所以此时 G 关于运算㈩不为“融洽集”;所以应填①③ 点评:此题以集合为载体,通过新定义“融洽集”,解决这类型题目时,心情平和是很重要的, 对于每个小题,采用把这里的运算㈩换成每个小题给出的运算,逐个验证就可得出正确答案. 从这个题可以看出,对于常见的集合中的特殊元素,我们应该引起足够的重视.

6. (2006 湖北)将杨辉三角中的每一个数 分数三角形,称为莱布尼茨三角形. 看出 ,其中 x 从

都换成分数

,就得到一个如右图所示的 莱布尼茨三角形可以 =_______.







=_______.

思路分析:本题考查考生的类比归纳及推理能力, 第一问对比杨辉三角的性质通过观察、 类比、 归纳可知莱布尼茨三角形中每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和,故此时 第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数第三项的和,即 根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项 ,则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和,结合给出的数表可逐次向上求 ,

和为

,故

,从而

.所以应填

,

.

点评 本题考查学生的知识迁移能力、 化简变形能力和观察问题分析问题的能力. 要从表中看 出其中的规律是:每一行中的每一个数为下一行中两个“脚”上的两个数之和.第二问的关 键是进行裂项求和. 复习建议:1.时时关注创新题,尤其是每天讲的例题、做的练习题和检测题,不用或尽量少 用那些用了几十年的老掉牙的陈题.这就要求学生应该不断地学习和充电,比如可以多订阅 报刊杂志,从杂志中涉猎新题.有了新题还得用好新题,通过新题归纳解题的思维方法,激发 学生的思维风暴;关注题型的单向发展,重视横纵联系;拓展新题的思想方法,加强多元交 汇. 另外,还要注意强化数学建模,提高实践能力,发展个性特长.重点抓好运用高中数学知识解 决生活中的实际问题的能力的培养与训练,注重数学知识和技能应用的有效性、灵活性和综 合性.以提高数学阅读能力为起点,建立数学模型为核心,寻找或自行编制一些贴近生活的 实际应用题,特别是概率与统计应用题. 2.在复习过程中应十分重视基本数学思想方法在解题中的渗透和运用.尤其要重视配方法、 换元法、待定系数法、数学归纳法和数形结合法等常用的数学技能和方法;分析法、综合法、 归纳法、演绎法和反证法等常用的逻辑推理方法;函数与方程、变换与转化、分类与归纳、

数形的结合与分离、定常与变化的对立与统一等重要的数学思想和方法.以夯实主干知识为 原点,以熟练数学思想方法为支点,以提升能力为驻点,不遗余力地培养学生较高的思维层 次中的探索能力,直觉思维能力,合情推理能力,策略创造能力. 3.重视各主干知识的形成,必然要先理清主干知识的脉络,分析各主干知识的内涵、外延和 交汇. 这就要求我们在 2007 年的高考复习中应充分重视数学主干知识的支撑作用, 以主干知 识为支柱,构建知识网络.比如在函数的复习中一定要链接导数;数列的复习中嫁接极限与 数学归纳法;三角函数的复习中要重新审视和定位函数;在向量的复习中要载入平面几何、 立体几何、解析几何、复数、三角函数和数列;不等式的复习中倾注函数、数列、向量和解 析几何;排列、组合与概率和概率与统计二合一进行复习,等等,如此这般渐渐揉和知识模 块和模糊章节的界限,最后达到天人合一.2007 年的高考复习,还得均衡发展.教材中的每 一个章节内容都可能成为高考的热点和重点,来的都是客,一个也不能少.哪个也不能轻视, 不能人为地划定三六九等,要一视同仁,步步为营,稳扎稳打. 4.针对今年高考题的这些特点,不难得出 2007 年的高考复习策略:不论是第一、第二还是第 三轮复习,狠抓高中数学的主干知识已没有再商量的余地了.扎扎实实以熟练主干知识为龙 头,立足于通性、通法的训练,归宿于数学思想和方法的强化,从而坚守住提高能力这块阵 地,就可以以不变应万变,就可以在别人兵荒马乱、上窜下跳的时候,我们显得很从容、冷 静和踏实.


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