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1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像


y

探究一

2
1 1 2

y ? sin x

?1 2 ?1

o

?

2

?

3? 2

2?

y ? 1 sin x 2

/>
x

y ? 2sin x
纵 坐 标 伸 长 到 原 来 的2倍

?2

y ? 2sin x的图像 纵坐标缩短到原来的 1 倍 1sin x的图像 2 y ? y ?sin x的图像 2 ? y ? sin x的图像 y ? Asin x( A ? 0)的图像 y ?sin x的图像

函数y ? Asin x( A ? 0且A ?1)的图像可看作由函数 y ?sin x的图像上所有的点横坐 标不变,纵坐标 伸长( A ?1)或缩短(0? A?1)到原来的 A倍得到.
y ? Asin x的图像 y ? sin x的图像 纵坐标缩短到原来的 A 倍 (0 ? A ?1)
纵坐标伸长到原来的 A 倍 ( A ?1)

A的物理意义:振幅 振幅变换 A 的作用: 把 y ? sin x的振幅由  1变为 A .
A的大小决定函数的最大(小)值

探究二
y

y ? sin 2 x
y ? sin x

1
O ?1

? ? 3? ?
4 2

4

3? 2

2?

3?

y ? sin 1 x 2 4? x

横坐标缩短到原来的1 倍 2 y ?sin x的图像 (沿x轴向原点压缩)

y ?sin 2x的图像
y ?sin 1 x的图像 2

横 坐 标 伸 长 到 原 来 的2 倍 y ?sin x的图像 (沿x轴向原点两侧拉长)

y ? sin x的图像

?

y ? sin ? x(? ? 0)的图像

? 1 横坐标缩短到原来的 倍(? ?1) ? y ? sin ? x的图像 y ? sin x的图像 横坐标伸长到原来的 1 倍(0 ? ? ?1)
?

函数y ?sin?x(? ? 0且? ?1)的图像可看作由函数 y ?sin x的图像上所有的点纵坐 标不变,横坐标 1 缩短(? ?1)或伸长(0?? ?1)到原来的 倍得到.

周期变换

? 的物理意义:角频率 2 ? ? 的作用: 把 y ? sin x的周期由2?变为 . ?

探究三
1

y
y ? sin( x ? ? ) 6
y ? sin( x ? ? ) 6

y ? sin x

?? o ? 6 6 ?1

?

2

?

3? 2

2? x

? )的图像 y ? sin( x ? y ?sin x的图像 6 向右平移? 个单位 ? 6 y ?sin(x ? )的图像 y ?sin x的图像 6 ? y ? sin( x ?? )(? ? 0)的图像 y ? sin x的图像

向左平移? 个单位 6

函数 y ? sin( x ?? )(? ? 0)的图像可由函数 y ? sin x的 图像向左(? ? 0)或向右(? ? 0)平移? 个单位得到.
y ? sin x的图像
向左平移? 个单位(? ? 0)

y ? sin( x ?? )(? ? 0)的图像

向右平移? 个单位(? ? 0)

?的作用:

平移变换

把y ?sin x的图像向左或向右平移 ? 个单位.

总结
y=sinx y=sinx y=sinx
所有的点向左(? >0) 或向右(? <0)平行移动

| ? | 个单位长度 横坐标缩短(?>1)或 伸长(0< ?<1) 1/?倍 纵坐标不变
纵坐标伸长(A>1)或 缩短(0< A<1) A倍 横坐标不变

y=sin(x+?) y=sin?x y=Asinx

探究四 用“五点法”画出函数 y ? 3 sin( 2 x ? 解:
x ?

?
3

) 的简图.
5? 6

y ? sin x 变换 思考:如何由 ? ? 3? 2x ? 0 ? 2? 3 2 2 ? 0 -1 0 0 1 y ? 3 sin( 2 x ? ) 得 的图象? 3sin(2x+π/3) 0 3 0 -3 0 3 y
6 12 3
sin(2 x ? ? / 3)

?

?

?

7? 12

3 2 1
?
?

?
3

?

oπ 6 12 -1
?

?
2

5? 6

?

3? 2

2?

x
1 2 3 4

-2 -3

y
3
2 1

?

? 6o

?

2?

x

-1

-2
-3

y
3
2 1

o
?

?

2?

?
3
-1

2 ? 3

x

-2
-3

方法1: 先平移后变周期
y
3
2 1

? y=3sin(2x+ 3 )

y=sinx ?

o
?

?
3

?

? 6 -1

? ? 6 3

7 ? 2 5? 12 3 ? 6

7 ? 6

5? 3

2?

x

-2
-3

? y=sin(x+ ) 3 ? y=sin(2x+ ) 3

方法1: 先平移后变周期
?

(1)向左平移 3 函数 y=sinx
1 2

? y=sin(x+ ) 的图象 3 ? y=sin(2x+ ) 的图象 3 ? y=3sin(2x+ )的图象 3

(2)横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 (3)横坐标不变



纵坐标伸长到原来的3倍

总结: y=sinx
y=sinx

y=Asin(?x+?)

方法1:先平移后变周期的一般规律:
向左?>0 (向右?<0) 平移|?|个单位

y=sin(x+?)

横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍

纵坐标不变

y=sin(?x+?)

纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍 横坐标不变

y=Asin(?x+?)

方法2: 先变周期后平移
y

3
2

? y=3sin(2x+ ) 3

1

y=sinx
?
? 3
5? 6

? ? 6

o
-1

? 3

5? 3

2?

x

-2

y=sin2x ? y=sin(2x+ ) 3

-3

方法2: 先变周期后平移
(1)横坐标缩短到原来的 函数 y=Sinx 纵坐标不变
?
1 2



y=sin2x的图象

(2)向左平移 6

? y=sin(2x+ ) 的图象 3 ? y=3sin(2x+ )的图象 3

(3)纵坐标伸长到原来的3倍 横坐标不变

总结: y=sinx

y=Asin(?x+?)

方法2:先变周期后平移的一般规律:
y=sinx
横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍 纵坐标不变

y=sin?x

向左?>0 (向右?<0)

平移|?|/?个单位

? ? ? y ? sin ?? ( x ? )? ? sin(?x ? ? ) ? ? ?
y=Asin(?x+?)

纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍 横坐标不变

练习.函数 y ? 3 sin( 2 x ? )的图像由函数 y ? sin x的 4 图像经过怎样的变换得 到?

?

解: 图像上所有的点 ? y ? sin( x ? )的图像 (1) y ? sin x 的 图 像 ? 4 向左平移 个单位 ? 4 ( 2 ) y ? sin( x ? )的图像 4 图像上所有点纵坐标不 变 ? y ? sin( 2 x ? )的图像 1 4 横坐标缩短到原来的 倍 2 ? (3) y ? sin( 2 x ? )的图像 4 ? 图像上所有点横坐标不 变 y ? 3 sin( 2 x ? )的图像 纵坐标伸长到原来的3倍 4

按 ?、 ?、 A顺 序

练习、函数 y ? 3 sin( 2 x ?

?

4 图像经过怎样的变换得 到?

)的图像由函数 y ? sin x的

解: 图像上所有点纵坐标不 变 y ? sin 2 x 的 图 像 (1) y ? sin x 的 图 像 1

按 ?、 ?、 A顺 序

? y ? sin 2 ( x ? )的图像 ( 2 ) y ? sin 2 x 的 图 像 ? 8 向左平移 个单位 8 ? (3) y ? sin( 2 x ? )的图像 4 ? 图像上所有点横坐标不 变 y ? 3 sin( 2 x ? )的图像 纵坐标伸长到原来的3倍 4 注意:平移单位是加在x上的.

横坐标缩短到原来的 倍 2 图像上所有的点

口答练习:

1、y ? sin x的图像由 y ? sin( x ?
?

?

x ? x 3、y ?cos( ? )的图像由y ?sin 的图像 2 4 ? 2


3 向 右 平移 3 个单位得到. ? 2、y ?sin(2x ? )的图像由y ?sin 2x的图像 3 ? 向 左 平移 6 个单位得到.

)的图像

向右平移? 个单位 4 4、只要将y ?cos2x的图像

左 平移

2 个单位得到.

便可得到函数y ?sin 2x的图像.

2.选择题 :已知函数 y ? 3 sin( x ?

?

5 ? (1)为了得到函数 y ? 3 sin( x ? )的图象, 只要 5 ? 把C上所有的点 ? C ? ? ? ?

)的图象为 C.

( A)向右平行移动 ( B )向左平行移动

? ?
5

个单位长度 . 个单位长度 .

5 2? (C )向右平行移动 个单位长度 . 5 2? ( D )向左平行移动 个单位长度 . 5

5.选择题 :已知函数y ? 3 sin( x ? )的图象为C. 5 ? (2)为了得到函数 y ? 3 sin(2 x ? )的图象, 只要 5 把C上所有的点? B ? ( A)横坐标伸长到原来的 2倍, 纵坐标不变 1 ( B)横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变 2 (C )纵坐标伸长到原来的 2倍, 横坐标不变 1 ( D)纵坐标缩短到原来的 倍, 横坐标不变 2

?

5.选择题 :已知函数y ? 3 sin( x ? )的图象为C. ? 5
(3)为了得到函数 y ? 4 sin( x ? 把C上所有的点? C ? 5 )的图象, 只要

?

4 ( A)横坐标伸长到原来的 倍, 纵坐标不变 3 3 ( B )横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变 4 4 (C )纵坐标伸长到原来的 倍, 横坐标不变 3 3 ( D )纵坐标缩短到原来的 倍, 横坐标不变 4

)的图象向右平移 个单位, 3 6 这时图象所表示的函数 为? D ? 2 6 3 C. y ? sin( 2 x ? ) D. y ? sin 2 x 2 x ? x 7.要得到函数y ? sin( ? )的图象, 可由y ? sin 的图象? ? C ? ? ? ? 2 6 2 ? ? A. 向右平移 B. 向左平移 6 6 ? ? C . 向右平移 D. 向左平移 3 3 A. y ? sin( 2 x ?

6.把y ? sin( 2 x ?

?

?

?

)

B. y ? sin( 2 x ?

?

)

总结
y=sinx y=sinx y=sinx y=sinx
所有的点向左(? >0) 或向右(? <0)平行移动 | ? | 个单位长度 横坐标缩短(?>1)或 伸长(0< ?<1) 1/?倍 纵坐标不变 纵坐标伸长(A>1)或 缩短(0< A<1) A倍 横坐标不变

y=sin(x+?) y=sin?x y=Asinx

y=Asin(?x+ ?)

总结: y=sinx
y=sinx

y=Asin(?x+?)

方法1:先平移后变周期的一般规律:
向左?>0 (向右?<0) 平移|?|个单位

y=sin(x+?)

横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍

纵坐标不变 横坐标不变

y=sin(?x+?)

y=Asin(?x+?)

纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

总结: y=sinx

y=Asin(?x+?)

方法2:先变周期后平移的一般规律:
y=sinx
横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍 纵坐标不变

y=sin?x

向左?>0 (向右?<0)

平移|?|/?个单位

? ? ? y ? sin ?? ( x ? )? ? sin(?x ? ? ) ? ? ?
y=Asin(?x+?)

横坐标不变

纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍


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