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2016年高三数学(理)创新设计资料包9-6


第6讲
最新考纲

双曲线

了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道

其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).

基础诊断

考点突破

课堂总结

知 识 梳 理
1.双曲线的定义 平面内动点与两

个定点F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距离差的 绝对值等于常数(小于|F1F2|大于零),则点的轨迹叫双曲 定点 叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦 线.这两个_____ 距.集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中 a,c为常数且a>0,c>0: (1)若_____ a<c 时,则集合P为双曲线;

(2)若a=c时,则集合P为_________ 两条射线 ;
(3)若_____ a>c 时,则集合P为空集.
基础诊断 考点突破 课堂总结

2.双曲线的标准方程和几何性质
x y - =1 a2 b2 (a>0,b>0)
2 2

标准方程

y2 x2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0)





基础诊断

考点突破

课堂总结

范围

x≥a或x≤-a,y∈R

x∈R,y≤-a或y≥a __________________

对称性
顶点 性 质 渐近线 离心率

对称轴:_______ 坐标轴 ;对称中心:_____ 原点 A ___________________ 1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
b x y= ± a a y= ± x _______ b

c e=_____ a ,e∈(1,+∞)

实虚轴

线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2| =2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长 |B1B2|=2b;a叫做双曲线的半实轴长,b叫 做双曲线的半虚轴长
c2=_______ a2+b2 (c>a>0,c>b>0)
基础诊断 考点突破 课堂总结

a,b,c的关系

诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示

(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等

于8的点的轨迹是双曲线.

(×)

x2 y2 (2)方程m- n =1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线. (×) x2 y2 (3)双曲线方程 2- 2=λ(m>0,n>0,λ ≠0)的渐近线方程 m n x2 y2 x y 是 2- 2=0,即m±n=0. (√ ) m n (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2. (√)

基础诊断

考点突破

课堂总结

x2 y2 2.设 a>1,则双曲线 2- 2=1 的离心率 e 的取值范 a (a+1) 围是 ( ) A.( 2,2) C.(2,5) B.( 2, 5) D.(2, 5)

解析 =

c e= = a

b2+a2 = a2

?a+1? ?2 1+ ? ? a ? ? ?

? 1?2 1 ? ? 1+ 1+a ,∵a>1,∴0< <1, a ? ?

1 ∴1<1+a<2,∴ 2<e< 5. 答案 B

基础诊断

考点突破

课堂总结

3.(2014· 新课标全国Ⅰ卷)已知F为双曲线C:x2-my2=
3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为 (
A. 3 C.3 B. 3m D.3m

)

x2 y2 解析 双曲线 C 的标准方程为 - =1(m>0),其渐 3m 3 m 近线方程为 y=± m x,即 my=± x,不妨选取右焦点 F( 3m+3,0)到其中一条渐近线 x- my=0 的距离求 3m+3 解,得 d= = 3.故选 A. m+ 1

答案

A
基础诊断 考点突破 课堂总结

x2 y2 4.(2014· 广东卷)若实数 k 满足 0<k<9,则曲线 - =1 25 9-k x2 y2 与曲线 - =1 的 ( ) 25-k 9

A.焦距相等 C.虚半轴长相等
解析

B.实半轴长相等 D.离心率相等

由 0<k<9,易知两曲线均为双曲线且焦点都在 x

轴上,由 25+9-k= 25-k+9,得两双曲线的焦距 相等,选 A.

答案

A

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考点突破

课堂总结

5.(人教A选修2-1P62A6改编)经过点A(3,-1),且对称轴 都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.
x 2 y2 解析 设双曲线的方程为: 2 - 2 = ± 1(a > 0) 把点 a a 2 2 x y A(3,-1)代入,得 a2=8,故所求方程为 - =1. 8 8 x2 y2 答案 - =1 8 8

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考点突破

课堂总结

考点一

双曲线的定义及应用

【例1】 (1)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2= 9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨

迹方程为________.
(2)已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P 为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为 ________.

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考点突破

课堂总结

解析

(1)如图所示,设动圆M与圆

C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件, 得|MC1|-|AC1|=|MA|, |MC2|-|BC2|=|MB|, 因为|MA|=|MB|,

所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,
即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2, 所以点M到两定点C1,C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.

根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点
M与C2的距离大,与C1的距离小),
基础诊断 考点突破 课堂总结

其中a=1,c=3,则b2=8.
2 y 故点 M 的轨迹方程为 x2- =1(x≤-1). 8 (2)设 P 在双曲线的右支上,|PF2|=x(x>0),|PF1|= 2+x,因为 PF1⊥PF2,所以(x+2)2+x2=(2c)2=8,

所以 x= 3-1,x+2= 3+1, 所以|PF2|+|PF1|=2 3.
答案
2 y (1)x2- =1(x≤-1) 8

(2)2 3

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考点突破

课堂总结

规律方法

双曲线定义的应用主要有两个方面:一是判

定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据 要求可求出曲线方程;二是在“焦点三角形”中,常利 用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运 用平方的方法,建立与|PF1|· |PF2|的联系.

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考点突破

课堂总结

x2 y 2 【训练 1】 (1)(2014· 大连模拟)设 P 是双曲线 - =1 上一 16 20 点, F1, F2 分别是双曲线左、 右焦点, 若|PF1|=9, 则|PF2| = ( )

A.1
C.1或17

B.17

D.以上答案均不对 x 2 y2 (2)已知 F 是双曲线 - =1 的左焦点,A(1,4),P 是双 4 12 曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为 ( )
A.5 B.5+4 3 C.7 D.9

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考点突破

课堂总结

解析

(1)由双曲线定义||PF1|-|PF2||=8,又|PF1|=9,

∴|PF2|=1或17,但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离 最小为c-a=6-4=2>1,∴|PF2|=17. (2)如图所示,设双曲线的右焦点为E, 则E(4,0).由双曲线的定义及标准方 程得|PF|-|PE|=4,则|PF|+|PA|= 4+|PE|+|PA|.由图可得,当A,P,E

三点共线时,(|PE|+|PA|)min=|AE|=5,从而|PF|+|PA|
的最小值为9. 答案 (1)B (2)D
基础诊断 考点突破 课堂总结

考点二

双曲线的标准方程

x2 y 2 【例 2】 (1)(2014· 天津卷)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0) a b 的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线的一个焦 点在直线 l 上,则双曲线的方程为 ( ) x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 5 20 20 5 3x2 3y2 3x2 3y2 C. - =1 D. - =1 25 100 100 25 x2 y2 (2)设双曲线与椭圆 + =1 有共同的焦点,且与椭圆相 27 36 交,一个交点的坐标为( 15,4),则此双曲线的标准方程 是________.
基础诊断 考点突破 课堂总结

x2 y2 解析 (1)由题意知,双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条 a b b 渐近线为 y=2x,所以a=2,即 b2=4a2.又双曲线的一个焦 点是直线 l 与 x 轴的交点,所以该焦点的坐标为(-5,0), 所以 c=5,即
2 2 ? b = 4 a , ? 2 2 a +b =25,联立得? 2 2 ? ?a +b =25,

2 2 x y 解得 a2=5,b2=20,故双曲线的方程为 - =1. 5 20

基础诊断

考点突破

课堂总结

x2 y2 (2)设双曲线的方程为 + = 27-λ 36-λ 1(27<λ<36), 15 由于双曲线过点( 15,4),故 + 27-λ 16 =1, 36-λ 解得 λ1=32,λ 2=0. 经检验 λ1=32,λ 2=0 都是分式方程的 根,但 λ=0 不符合题意,应舍去,所以 λ=32. y2 x2 故所求双曲线的方程为 - =1. 4 5 y2 x2 答案 (1)A (2) - =1 4 5
基础诊断

深度思考

本例第

(2)小题可采用三种 解法,为了更好地 掌握双曲线的定义 及标准方程,建议 同学们这三种方法

都要试一试.

考点突破

课堂总结

规律方法 待定系数法求双曲线方程具体过程是先定 形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再 根据 a, b, c, e 及渐近线之间的关系, 求出 a, b 的值. 如 果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,可 x2 y2 设有公共渐近线的双曲线方程为 2- 2=λ(λ≠0),再由 a b 条件求出 λ 的值即可.

基础诊断

考点突破

课堂总结

【训练2】 根据下列条件,求双曲线的标准方程: 5 (1)虚轴长为 12,离心率为 ; 4 (2)焦距为 26,且经过点 M(0,12);
(3)经过两点 P(-3,2 7)和 Q(-6 2,-7).
解 (1)设双曲线的标准方程为 x2 y2 y 2 x2 - =1 或 2- 2=1(a>0,b>0). a2 b2 a b c 5 由题意知,2b=12,e=a= ,又 c2=a2+b2, 4 ∴b=6,c=10,a=8. x2 y2 y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1 或 - =1. 64 36 64 36
基础诊断 考点突破 课堂总结

(2)∵双曲线经过点M(0,12),∴M(0,12)为双曲线的一 个顶点,故焦点在y轴上,且a=12. 又2c=26,∴c=13,∴b2=c2-a2=25.
y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 144 25 (3)设双曲线方程为 mx2-ny2=1(mn>0). 1 ? m=- , ? ? 9 m - 28 n = 1 , 75 ? ∴? 解得? ? ?72m-49n=1, ?n=- 1 . ? 25 y 2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 25 75

基础诊断

考点突破

课堂总结

考点三

双曲线的几何性质

x2 y2 【例 3】 (1)设 F1,F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0) a b 的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点 P,满足|PF2| =|F1F2|,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长, 则该双曲线的渐近线方程为 ( )

A.3x±4y=0 C.4x±3y=0

B.3x±5y=0 D.5x+4y=0

x2 (2)(2014· 浙江卷)设直线 x-3y+m=0(m≠0)与双曲线 2 a y2 - 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点 A,B.若 b 点 P(m , 0) 满足 |PA| = |PB| ,则该双曲线的离心率是 ________.
基础诊断 考点突破 课堂总结

解析 (1)设 PF1 的中点为 M,由|PF2|=|F1F2|,故 F2M⊥ PF1 , 即 |F2M| = 2a , 在 Rt △ F1F2M 中 , |F1M| = (2c)2-(2a)2= 2b,故|PF1|= 4b,根据双曲线的定 义 4b-2c=2a,即 2b-a=c,即(2b-a)2=a2+b2,即 3b2 b -4ab=0, 即 3b=4a, 故双曲线的渐近线方程是 y=± x, a 即 4x± 3y=0.

? ? am ?x-3y+m=0, bm ? ? (2)由? b 得点 A 的坐标为?3b-a,3b-a? ?, ? ? y=ax, ? ? x-3y+m=0, ? ? -am ? bm ? ? ? , 由? 得点 B 的坐标为? b ?, 3 b + a 3 b + a ? ? y=- x, ? a ?
基础诊断 考点突破 课堂总结

则 AB 的中点 C

2 ? a2m 3 b m ? ? ? 的坐标为?9b2-a2,9b2-a2?, ? ?

1 ∵kAB= , 3 3b2m ?b?2 1 9b2-a2 ∴kCP= 2 =-3,化简得?a? = , am 4 ? ? -m 9b2-a2 所以双曲线的离心率 e=
答案 (1)C 5 (2) 2
?b?2 1+?a? = ? ?

1 5 1+ = . 4 2

基础诊断

考点突破

课堂总结

规律方法

(1) 双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和 x2 y2 离心率,在双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)中,离心率 e 与 a b b 2 2 双曲线的渐近线的斜率 k=± 满足关系式 e = 1 + k .(2)求 a 双曲线的离心率时,将提供的双曲线的几何关系转化为关 于双曲线基本量 a,b,c 的方程或不等式,利用 b2=c2- c 2 a 和 e= 转化为关于 e 的方程或不等式, 通过解方程或不 a 等式求得离心率的值或取值范围.

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考点突破

课堂总结

x2 y2 【训练 3】 (2014· 湖北七市(州)联考)已知双曲线 2- 2=1(a a b >b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0),若双 sin∠PF1F2 a 曲线存在一点 P 使 = ,则该双曲线的离心率 sin∠PF2F1 c 的取值范围是________.
解析 在△PF1F2 中,由正弦定理知 sin∠PF1F2 a |PF2| |PF1| = ,又 = , sin∠PF1F2 sin∠PF2F1 sin∠PF2F1 c |PF2| a ∴ = , |PF1| c

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考点突破

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所以P在双曲线右支上, 设P(x0,y0),如图, 又∵|PF1|-|PF2|=2a, 2a2 ∴|PF2|= . c- a 由双曲线几何性质知|PF2|>c-a, 2a2 则 >c-a,即 e2-2e-1<0, c- a
∴1<e<1+ 2.
答案 (1,1+ 2)

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考点四

直线与双曲线的位置关系

【例 4】 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),实 轴长为 2 3. (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线 l: y=kx+ 2与双曲线 C 左支交于 A, B 两点, 求 k 的取值范围.



x2 y2 (1)设双曲线 C 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b

由已知得:a= 3,c=2,再由 a2+b2=c2,得 b2=1, x2 2 ∴双曲线 C 的方程为 -y =1. 3 (2)设 A(xA,yA),B(xB,yB), x2 2 将 y=kx+ 2代入 -y =1, 3
基础诊断 考点突破 课堂总结

得(1-3k2)x2-6 2kx-9=0. ?1-3k ≠0, ? 2 Δ = 36 ( 1 - k )>0, ? ? 3 6 2k 由题意知?xA+xB= <k<1. 2<0, 解得 3 1 - 3 k ? ? -9 ?xAxB= 2>0, 1 - 3 k ? 3 ∴当 <k<1 时,直线 l 与双曲线左支有两个交点. 3
2

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规律方法

(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法:

将直线方程代入双曲线方程,消元,得关于x或y的一元 二次方程.当二次项系数等于0时,直线与双曲线相交于

某支上一点,这时直线平行于一条渐近线;当二次项系
数不等于0时,用判别式Δ来判定.(2)近几年高考对直线 与双曲线的考查降低了要求,一般与双曲线的几何性质

结合考查.

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【训练 4】(2014· 湖北卷)设 a, b 是关于 t 的方程 t2cos θ +tsin θ =0 的两个不等实根,则过 A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与 x2 y2 双曲线 2 - 2 =1 的公共点的个数为 ( ) cos θ sin θ A.0 B.1 C.2 D.3

解析

由根与系数的关系,得a+b=-tan θ ,ab=0,则

a,b必有一个为0,另一个为-tan θ ,不妨设A(0,0), B(-tan θ ,tan2θ ),则直线AB的方程为y=-xtan θ .根据 双曲线的标准方程,得双曲线的渐近线方程为y=±xtan

θ ,显然直线AB是双曲线的一条渐近线,所以直线与双曲
线没有公共点. 答案 A
基础诊断 考点突破 课堂总结

[思想方法]
1.双曲线定义的集合语言:P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0< 2a<|F1F2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键, 切记对所求结果进行必要的检验. x2 y2 2.与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)有公共渐近线的双曲线的 a b x2 y2 方程可设为 2- 2=t(t≠0). a b 3.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时 ,只要 令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程, x2 y2 x2 y2 即方程 2- 2=0 就是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条 a b a b 渐近线方程.
基础诊断 考点突破 课堂总结

[易错防范]
1.在运用双曲线的定义解题时,应特别注意定义中的条件“ 差的绝对值”,弄清是指整条双曲线还是双曲线的某一

支.
2.双曲线中c2=a2+b2,说明双曲线中c最大,解决双曲线 问题时不要忽视了这个结论,不要与椭圆中的知识相混 淆. 3.求双曲线离心率及其范围时,不要忽略了双曲线的离心

率的取值范围是(1,+∞)这个前提条件,否则很容易产
生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.

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x2 y2 b y2 4. 双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的渐近线方程是 y=±ax, 2- a b a x2 a =1(a>0,b>0)的渐近线方程是 y=± bx. b2

5.直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线

与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,
但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双 曲线仅有一个交点.

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考点突破

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