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2013年全国高考新课标2文科数学试题及答案(word版)


绝密★启用前

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)
数 学 (文科)

注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前考生将自己的姓名\准考证 号填写在本试卷和答题卡相应位置。 2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑,如需改动, 用橡皮擦干净后

,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4. 考试结束,将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题。每小题 5 分,共 50 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1、已知集合 M ? {x | ?3 ? x ? 1} , N ? {?3, ?2, ?1,0,1},则 M ? N ? ( (A) {?2, ?1,0,1} 【答案】C 【解析】因为 M ? {x ?3 ? x ? 1} , N ? {?3, ?2, ?1,0,1},所以 M ? N ? { ? 2, ? 1,0} ,选 C. (B) {?3, ?2, ?1,0} (C) {?2, ?1, 0} )

(D) {?3, ?2, ?1}

2、

2 ?( 1? i



(A) 2 2 【答案】C 【解析】

(B) 2

(C) 2

(D)1

2 2(1 ? i) 2(1 ? i) 2 ? ? ? 1 ? i ,所以 ? 2 ,选 C. 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2 1? i

? x ? y ? 1 ? 0, ? 3、设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最小值是( ? x ? 3, ?
(A) ?7 【答案】B (B) ?6 (C) ?5 (D) ?3



【解析】由 z=2x-3y 得 3y=2x-z,即 y ?

2 z x ? 。作出可行域如图 ,平移直线 3 3 2 z 2 z 2 z y ? x? , 由图象可知当直线 y ? x ? 经过点 B 时, 直线 y ? x ? 的截距最大, 此时 z 取 3 3 3 3 3 3

得最小值,由 ? 选 B.

?x ? y ?1 ? 0 ? x ? 3 得? ,即 B(3, 4) ,代入直线 z=2x-3y 得 z ? 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? ?6 , ?x ? 3 ?y ? 4

4、 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 b ? 2 , B ? 为( ) (B) 3 ? 1 (C) 2 3 ? 2

?
6

,C ?

?
4

,则 ?ABC 的面积

(A) 2 3 ? 2 【答案】B 【解析】因为 B ?

(D) 3 ? 1

?
6

,C ?

?
4

,所以 A ?

7? .由正弦定理得 12

b sin

?
6

?

c sin

?

,解得 c ? 2 2 。所以三













4 1 1 7? bc sin A ? ? 2 ? 2 2 sin 2 2 12
2 ? ( 2 3 2 2 ?) 2 2 1 ? 2
, ?

.





s

7? i? n 1 2 ? c i

?

? s 3

?3

i? 2 2

4

n

2

2 ?



3

2

? (

1



2

)

2 3

1 b s 2

n?A

2 ? ,选 B.

1 ? 2

(

)

5、设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , P 是 C 上的点, PF2 ? F1F2 , a 2 b2


?PF1F2 ? 30? ,则 C 的离心率为(
(A)

3 6

(B)

1 3

(C)

1 2

(D)

3 3

【答案】D
? 【 解 析 】 因 为 P F ? F F ? P F F?3 0 , 所 以 PF2 ? 2c tan 30 ? , 2 1 2 1 2
?

2 3 4 3 c, PF1 ? c 。又 3 3

PF1 ? PF2 ?

6 3 3 c 1 3 c ? 2a ,所以 ? ,即椭圆的离心率为 ,选 D. ? 3 3 a 3 3

6、已知 sin 2? ? (A)

1 6

2 ? 2 ,则 cos (? ? ) ? ( ) 3 4 1 1 (B) (C) 3 2

(D)

2 3

【答案】A

s 2 ?) 1 ?c o s ( 2 ? ) ? 1 ? c o ? ? 4( n 2 ? 1? s i ? 2 所 以 【 解 析 】 因 为 cos2 (? ? ) ? , ? 4 2 2 2 2 ? 1 ? sin 2? 1 ? 3 1 cos2 (? ? ) ? ? ? ,选 A. 4 2 2 6 7、执行右面的程序框图,如果输入的 N ? 4 ,那么输出的 S ? ( ) 1 1 1 1 1 1 ? (A) 1 ? ? ? (B) 1 ? ? 2 3 4 2 3? 2 4 ? 3? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? (C) 1 ? ? ? ? (D) 1 ? ? 2 3 4 5 2 3? 2 4 ? 3? 2 5 ? 4 ? 3? 2
【答案】B 【解析】 第一次循环,T ? 1, S ? 1, k ? 2 ; 第二次循环,T ? 第 三 次 循 环 , T?

?

?

1 1 , S ? 1? , k ? 3 ; 2 2

1 1 1 , S ? 1? ? ,k ? 4 , 第 四 次 循 环 , 2?3 2 2?3 1 1 1 1 T? , S ? 1? ? ? ,k ? 5 , 此 时 满 足 条 件 输 出 2 ? 3? 4 2 2 ? 3 2 ? 3? 4 1 1 1 S ? 1? ? ? ,选 B. 2 2 ? 3 2 ? 3? 4
) (D) c ? a ? b

8、设 a ? log3 2 , b ? log5 2 , c ? log2 3 ,则( (A) a ? c ? b 【答案】D (B) b ? c ? a

(C) c ? b ? a

【解析】因为 log 2 ? 3

1 1 , , ? 1 log 5 2 ? ?1 , 又 l og 3 1 所 以 c 最 大 。 又 2 ? log 3 log 2 5 2 1 1 ,即 a ? b ,所以 c ? a ? b ,选 D. ? log 2 3 log 2 5

1 ? log2 3 ? log2 5 ,所以

9、一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分别是 (1, 0,1) , (1,1, 0) , (0,1,1) ,

(0,0,0) ,画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为(



(A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】在空间直角坐标系中,先画出四面体 O ? ABC 的直观图,以 zOx 平面为投影面,则得到

正视图(坐标系中红色部分),所以选 A. 10、设抛物线 C : y ? 4x 的焦点为 F ,直线 l 过 F 且与 C 交于 A , B 两点。若 | AF |? 3 | BF | ,
2

则 l 的方程为(

) (B) y ?

(A) y ? x ? 1 或 y ? ? x ? !

3 3 ( x ? 1) 或 y ? ? ( x ? 1) 3 3 2 2 ( x ? 1) 或 y ? ? ( x ? 1) 2 2

(C) y ? 3( x ?1) 或 y ? ? 3( x ?1)

(D) y ?

【答案】C 【解析】抛物线 y2=4x 的焦点坐标为(1,0),准线方程为 x=-1,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则因为|AF|=3|BF|,所以 x1+1=3(x2+1),所以 x1=3x2+2 因为|y1|=3|y2|,x1=9x2,所以 x1=3,x2= 若 y1 ? 2 3 ,则 A(3, 2 3 ), ( ? B ,

1 ,当 x1=3 时, y12 ? 12 ,所以此时 y1 ? ? 12 ? ?2 3 , 3

1 3

2 3 ,此时 k AB ? 3 ,此时直线方程为 y ? 3(x ? 1) 。若 ) 3

1 2 3 2 B ) ,此时 k AB ? ? 3 ,此时直线方程为 y ? ? 3( x ?1) 。所以 y1 ? ?2 3 ,则 A(3, ? 3), ( , 3 3
l 的方程是 y ? 3( x ?1) 或 y ? ? 3( x ?1) ,选 C.
11、已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c ,下列结论中错误的是(
3 2



(A) ?x0 ? R , f ( x0 ) ? 0 (B)函数 y ? f ( x) 的图象是中心对称图形 (C)若 x0 是 f ( x ) 的极小值点,则 f ( x ) 在区间 (??, x0 ) 单调递减

(D)若 x0 是 f ( x ) 的极值点,则 f '( x0 ) ? 0 【答案】C 【 解 析 】 若 c ?0 则 有 f( 0? ) , 所 以 A 正 确 。 由 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 得 0

f ( x) ? c ? x3 ? ax2 ? bx , 因 为 函 数 y ? x3 ? ax2 ? bx 的 对 称 中 心 为 ( 0,0 ), 所 以 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 的对称中心为 (0, c) ,所以 B 正确。由三次函数的图象可知,若 x0 是 f(x)
的极小值点,则极大值点在 x0 的左侧,所以函数在区间(-∞, x0 )单调递减是错误的,D 正确。 选 C. 12、若存在正数 x 使 2x ( x ? a) ? 1 成立,则 a 的取值范围是( (A) (??, ??) 【答案】D
x x 【 解 析 】 因 为 2 ? 0 , 所 以 由 2 (x ? a )? 1 x ? a ? 得

) (D) (?1, ??)

(B) (?2, ??)

(C) (0, ??)

1 ? 2? x , 在 坐 标 系 中 , 作 出 函 数 x 2

? , f ( x) ? x ? a, g ( x) ? 2? x 的 图 象 , 当 x ? 0 时 , g ( x ) ? 2 x ? 1 所 以 如 果 存 在 x ? 0 , 使

,则有 ? a ? 1 ,即 a ? ?1 ,所以选 D. 2x (x ? a )? 1

第Ⅱ 卷
本卷包括必考题和选考题,每个试题考生都必修作答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要 求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)从 1, 2,3, 4,5 中任意取出两个不同的数,其和为 5 的概率是_______。 【答案】

1 5
2

【解析】从 5 个正整中任意取出两个不同的数,有 C5 ? 10 种,若取出的两数之和等于 5,则有

2 1 ? 。 10 5 ??? ??? ? ? (14)已知正方形 ABCD 的边长为 2 , E 为 CD 的中点,则 AE ? BD ? _______。

(1, 4), (2,3) ,共有 2 个,所以取出的两数之和等于 5 的概率为

【答案】 2

【 解 析 】 在 正 方 形 中 , AE ? AD ?

??? ??? ???? ???? ???? ? ? 1 ???? DC , BD ? BA ? AD ? AD ? DC , 所 以 2 ??? ??? ? ? ???? 1 ???? ???? ???? ???? 2 1 ???? 2 1 AE ? BD ? ( AD ? DC ) ? ( AD ? DC ) ? AD ? DC ? 22 ? ? 22 ? 2 。 2 2 2
??? ? ????

(15)已知正四棱锥 O ? ABCD 的体积为 球的表面积为________。 【答案】 24?

3 2 ,底面边长为 3 ,则以 O 为球心, OA 为半径的 2

【解析】设正四棱锥的高为 h ,则 ? ( 3) h ?
2

1 3

3 2 3 2 ,解得高 h ? 。则底面正方形的对角 2 2

线长为 2 ? 3 ? 6 ,所以 OA ? (

3 2 2 6 ) ? ( )2 ? 6 ,所以球的表面积为 4? ( 6)2 ? 24? . 2 2

(16) 函数 y ? cos(2 x ? ? )(?? ? ? ? ? ) 的图象向右平移 图象重合,则 ? ? _________。 【答案】

? ? 个单位后, 与函数 y ? sin(2 x ? ) 的 3 2

? ? ? 个单位,得到 y ? sin(2 x ? ) ,即 y ? sin(2 x ? ) 3 3 2 ? ? ? x ) 向左平移 个 单 位 得 到 函 数 y ? c o s ( 2 ? ? , y ? sin(2 x ? ) 向 左 平 移 个单位,得 3 2 2 ? ? ? ? ? ? y ? s i n [ 2x ? ( ? ) ? s i nx( 2 ? ? ?)s i n ( 2 ? ] ? ? x ? cos( x ? ) ? 2 ) 2 3 3 3 2 3 5? 5? ? cos(2 x ? ) ,即 ? ? 。 6 6
【解析】函数 y ? cos(2 x ? ?) ,向右平移 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的公差不为零, a1 ? 25 ,且 a1 , a11 , a13 成等比数列。 (Ⅰ )求 {an } 的通项公式; (Ⅱ )求 a1 ? a4 +a7 ? ??? ? a3n?2 ;

5? 6

(18)如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, D , E 分别是 AB , BB1 的中 点, 。 (Ⅰ )证明: BC1 / / 平面 ACD1 ; 1 (Ⅱ )设 AA ? AC ? CB ? 2 , AB ? 2 2 ,求三棱锥 C ? A DE 的体积。 1 1

A1 B1 A D B E

C1

C

(19)(本小题满分 12 分) 经销商经销某种农产品, 在一个销售季度内, 每售出 1 t 该产品获利润 500 元, 未售出的产品, 每 1 t 亏损 300 元。根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如右图所示。 经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品。以 X (单位: t ,100 ? X ? 150 )表示下一个 销售季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度 内经销该农产品的利润。 (Ⅰ )将 T 表示为 X 的函数; (Ⅱ )根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率;

(20)(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2 ,在 y 轴上截得线段长为

2 3。
(Ⅰ )求圆心 P 的轨迹方程; (Ⅱ )若 P 点到直线 y ? x 的距离为

2 ,求圆 P 的方程。 2

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 2e? x 。 (Ⅰ )求 f ( x ) 的极小值和极大值; (Ⅱ )当曲线 y ? f ( x) 的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围。

请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,做答时请写清 题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 如图, CD 为 ?ABC 外接圆的切线, AB 的延长线交直线 CD 于点 D , E 、 F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点,且 BC ? AE ? DC ? AF , B 、 E 、 F 、 C 四点共圆。 (Ⅰ )证明: CA 是 ?ABC 外接圆的直径; (Ⅱ )若 DB ? BE ? EA ,求过 B 、 E 、 F 、 C 四点的圆的面积与 ?ABC 外接圆面积的比值。

(23) (本小题满分 10 分)选修 4——4;坐标系与参数方程 已 知 动 点 P、Q 都 在 曲 线 C : ?

? x ? 2cos t , ( t 为 参 数 ) 上 , 对 应 参 数 分 别 为 t =? 与 t =2? ? y ? 2sin t

( 0 ? ? ? 2? ) M 为 PQ 的中点。 , (Ⅰ )求 M 的轨迹的参数方程; (Ⅱ )将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点。 (24) (本小题满分 10 分)选修 4——5;不等式选讲 设 a、b、c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 ,证明: (Ⅰ ab ? bc ? ac ? )

1 a 2 b2 c2 ? ? ?1 ;(Ⅱ ) 3 b c a


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