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云南省红河州蒙自一中南湖校区2014-2015学年高二数学上学期10月月考试卷(含解析)


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云南省红河州蒙自一中南湖校区 2014-2015 学年高二上学期 10 月月考 数学试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)sin330°=() A. B. ﹣ C. D. ﹣

2. (5 分)直线 x﹣ A.

r />
y﹣2014=0 的倾斜角的大小是() B. C. D.

3. (5 分)将﹣885°化为 α +k?360°(0°≤α <360°,k∈Z)的形式是() A. ﹣165°+(﹣2)?360° B. 195°+(﹣3)?360° C. 195°+(﹣2)360° D. 165°+(﹣3)?360° ,且 α 是第二象限角,则 tanα 的值为() B. C. D.

4. (5 分)若 A. ﹣

5. (5 分)若 θ =﹣5,则角 θ 的终边在第()象限. A. 四 B. 三 C. 二

D. 一

6. (5 分)若 tanα =2,则 A. 0 B.

的值为() C. 1 D.

7. (5 分)函数 y=sin(2x+ A. 关于点( C. 关于点( ,0)对称 ,0)对称

)的图象() B. 关于直线 x= D. 关于直线 x= 对称 对称

8. (5 分)α ∈[0,2π ],且 A. [0, ] B. [ ,π ]

+ C. [π ,

=sinα ﹣cosα ,则 α ∈() ] D. [ ,2π ]

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 9. (5 分)下列函数中,周期为 π ,且在 A. B. C. 上为减函数的是() D.

10. (5 分)角 α 的终边过 P(sin A. B.

,cos

) ,则角 α 的最小正值是() C. D.

11. (5 分)a=sin A. a>b>c

,b=cos

,c=tan

,则 a,b,c 的大小关系是() C. b>a>c D. a>c>b

B. c>a>b

12. (5 分)已知函数 A. [﹣1,1] B. C.

,则 f(x)的值域是() D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卡的相应位置. 2 2 13. (5 分)化简(1+tan α )cos α =. 14. (5 分)sin +cos +tan(﹣ )=.

15. (5 分)函数 y=

的定义域为.

16. (5 分)函数 f(x)=3sin(2x﹣ ①图象 C 关于直线 x= π 对称; ,

)的图象为 C,则如下结论中正确的序号是

②函数 f(x)在区间(﹣ ③图象 C 关于点( ④当 x=2kπ +

)内是增函数;

,0)对称;

π ,k∈z 时 f(x)取最大值.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

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17. (10 分)已知 f(α )= (Ⅰ)化简 f(α ) . (Ⅱ)若 ,求 f(a)的值.

,且 α 为第三象限角.

18. (12 分)已知 tanα =2,求 sinα 和 cosα . 19. (12 分) (Ⅰ) 如图,一个扇形 OAB 的面积是 1cm ,它的周长是 4cm,求圆心角的弧度数 和弦长 AB. (Ⅱ) 已知 f(x)=﹣sin x+sinx+a,若 1≤f(x)≤ 围.
2 2

对一切 x∈R 恒成立,求实数 a 的范

20. (12 分)已知 y=a﹣bcos3x(b>0)的最大值为 ,最小值为﹣ , (Ⅰ)求函数 y=﹣4asin(3bx)的周期、最大值,并求取得最大值时的 x 之值; (Ⅱ)求函数 单调递减区间.

21. (12 分)已知 sinx+cosx=﹣ (0<x<π ) ,求 tanx 的值.

22. (12 分)f(x)=2cos x﹣2acosx﹣1﹣2a 的最小值为 g(a) ,a∈R (1)求 g(a) ; (2)若 g(a)= ,求 a 及此时 f(x)的最大值.

2

云南省红河州蒙自一中南湖校区 2014-2015 学年高二上学期 10 月月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)sin330°=()

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. B. ﹣ C. D. ﹣

考点: 诱导公式的作用. 专题: 计算题. 分析: 由诱导公式知 sin330°=sin(270°+60°)=﹣cos60°,由此能求出其结果. 解答: 解:sin330°=sin(270°+60°) =﹣cos60° =﹣ . 故选 B. 点评: 本题考查诱导公式的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意三角函数的符号. 2. (5 分)直线 x﹣ A. y﹣2014=0 的倾斜角的大小是() B. C. D.

考点: 直线的倾斜角. 专题: 直线与圆. 分析: 求出直线的斜率,然后求解直线的倾斜角的大小. 解答: 解:直线 x﹣ y﹣2014=0 的斜率为: , ,

直线的倾斜角为 α ,所以 tan 所以 .

故选:A. 点评: 本题考查直线的斜率与直线的倾斜角的关系,是基础题. 3. (5 分)将﹣885°化为 α +k?360°(0°≤α <360°,k∈Z)的形式是() A. ﹣165°+(﹣2)?360° B. 195°+(﹣3)?360° C. 195°+(﹣2)360° D. 165°+(﹣3)?360° 考点: 终边相同的角. 专题: 计算题. 分析: 根据角的性质 2kπ +α 直接化解即可. 解答: 解:﹣885°=195°+(﹣3)?360° 故答案选:B 点评: 考查了角的基本性质,属于基础题. ,且 α 是第二象限角,则 tanα 的值为() B. C. D.

4. (5 分)若 A. ﹣

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考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 先利用同角三角函数基本关系式求出 cosα 的值,从而即可求出正切的值. 解答: 解:若 ,且 α 是第二象限角,则 cosα =﹣ =﹣ ,

故 tanα =

=

=﹣ .

故选:A. 点评: 本题主要考察了学生对同角三角函数基本关系式的理解和掌握,属于基础题. 5. (5 分)若 θ =﹣5,则角 θ 的终边在第()象限. A. 四 B. 三 C. 二 考点: 三角函数值的符号. 专题: 三角函数的求值. 分析: 判断角的范围,即可判断角所在象限. 解答: 解:因为 θ =﹣5,所以若﹣2π ≤﹣5≤﹣ π ,则角 θ 的终边在第一象限. 故选:D. 点评: 本题考查角所在象限的判断,基本知识的考查.

D. 一

6. (5 分)若 tanα =2,则 A. 0 B.

的值为() C. 1 D.

考点: 同角三角函数间的基本关系;弦切互化. 分析: 根据齐次分式的意义将分子分母同时除以 cosα (cosα ≠0)直接可得答案. 解答: 解:利用齐次分式的意义将分子分母同时除以 cosα (cosα ≠0)得,

故选 B. 点评: 本题主要考查 tanα = ,这种题型经常在考试中遇到.

7. (5 分)函数 y=sin(2x+ A. 关于点( ,0)对称

)的图象() B. 关于直线 x= 对称

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com C. 关于点( ,0)对称 D. 关于直线 x= 对称

考点: 正弦函数的对称性. 分析: 根据三角函数对称性的求法,令 2x+ 解答: 解:令 2x+ 当 k=1 时为( =kπ 得 x= =kπ 解出 x 的值即可得到答案. ,0) (k∈z) ,

,对称点为(

,0) ,

故选 A. 点评: 本题主要考查三角函数的对称性问题.属基础题. 8. (5 分)α ∈[0,2π ],且 A. [0, ] B. [ ,π ] =sinα ﹣cosα ,则 α ∈() C. [π , ] D. [ ,2π ]

+

考点: 同角三角函数基本关系的运用;三角函数值的符号. 专题: 三角函数的求值. 分析: 已知等式左边利用二次根式的化简公式及同角三角函数间基本关系化简,判断得到 sinα 与 cosα 的正负,即可确定出 α 的范围. 解答: 解:∵ ∴sinα >0,cosα <0, ∵α ∈[0,2π ], ∴α ∈[ ,π ]. + =|sinα |+|cosα |=sinα ﹣cosα ,

故选:B. 点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键. 9. (5 分)下列函数中,周期为 π ,且在 A. B. C.

上为减函数的是() D.

考点: 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换;正弦函数的单调性;余弦函数的单调性. 专题: 分析法. 分析: 先根据周期排除 C,D,再由 x 的范围求出 2x+ 可判断 A 和 B,从而得到答案. 解答: 解:C、D 中函数周期为 2π ,所以错误 当 时, , 的范围,再由正余弦函数的单调性

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 函数 而函数 为减函数 为增函数,

故选 A. 点评: 本题主要考查三角函数的基本性质﹣﹣周期性、单调性.属基础题.三角函数的基 础知识的熟练掌握是解题的关键. 10. (5 分)角 α 的终边过 P(sin A. B. ) ,则角 α 的最小正值是() C. D.

,cos

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 计算题;三角函数的求值.

分析: 由题意可知:tanα =

=﹣

=tan

,从而可得角 α 的最小正值.

解答: 解:由题意可知:点 P 在第四象限

因为 tanα =

=﹣

=tan



所以最小正值是:



故选:B. 点评: 本题考查任意角的三角函数的定义,考查学生的计算能力,比较基础.

11. (5 分)a=sin A. a>b>c

,b=cos

,c=tan

,则 a,b,c 的大小关系是() C. b>a>c D. a>c>b

B. c>a>b

考点: 不等式比较大小. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用三角函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵1>a=sin c=tan = >0,b=cos =1, =﹣cos = 0,

∴c>a>b. 故选:B. 点评: 本题考查了三角函数的单调性,属于基础题.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 12. (5 分)已知函数 A. [﹣1,1] B. C. ,则 f(x)的值域是() D.

考点: 正弦函数的定义域和值域. 专题: 计算题. 分析: 去绝对值号,将函数变为分段函数,分段求值域,在化为分段函数时应求出每一段 的定义域,由三角函数的性质求之. 解答: 解:由题

=



当 当 故可求得其值域为

时,f(x)∈[﹣1,

] )

时,f(x)∈(﹣1, .

故选:D. 点评: 本题考点是在角函数求值域,表达式中含有绝对值,故应先去绝对值号,变为分段 函数,再分段求值域. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卡的相应位置. 2 2 13. (5 分)化简(1+tan α )cos α =1. 考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用同角三角函数的基本关系,计算求得结果. 解答: 解: (1+tan α )cos α =
2 2

?cos α =1,

2

故答案为:1. 点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用,属于基础题.

14. (5 分)sin

+cos

+tan(﹣

)=0.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 利用三角函数的诱导公式 sin =cos 果. 解答: 解:sin +cos +tan(﹣ )=sin +cos ﹣tan = + ﹣1=0 ,tan(﹣ )=﹣tan(6π + =sin (4π + )=﹣tan ) =sin , cos =cos (8π + )

,然后根据特殊角的三角函数值求出结

故答案为 0. 点评: 本题考查了三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值,熟练掌握诱导公式可以 提高做题效率,属于基础题. +2kπ ≤x≤ +2kπ ,k∈Z}.

15. (5 分)函数 y=

的定义域为{x|﹣

考点: 余弦函数的定义域和值域;函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 由函数的解析式知,令被开方式 2cosx﹣1≥0 即可解出函数的定义域. 解答: 解:∵ ∴2cosx﹣1≥0,﹣ 函数 故答案为:{x|﹣ , +2kπ ≤x≤ +2kπ ,k∈Z +2kπ ≤x<≤ +2kπ ,k∈Z}

的定义域为 {x|﹣ +2kπ ≤x≤

+2kπ ,k∈Z}.

点评: 本题考查求对数函数的定义域,熟练掌握偶次方根被开方式的特点及性质是正确解 答本题的关键,属基础题.

16. (5 分)函数 f(x)=3sin(2x﹣ ①图象 C 关于直线 x= π 对称; ,

)的图象为 C,则如下结论中正确的序号是①②③④

②函数 f(x)在区间(﹣ ③图象 C 关于点( ④当 x=2kπ +

)内是增函数;

,0)对称;

π ,k∈z 时 f(x)取最大值.

考点: 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据函数 y=Asin(ω x+φ )的图象性质,逐一检验各个选项是否正确,从而得出结 论.

-9-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解:由于函数 f(x)=3sin(2x﹣ 令 2x﹣ 令 2kπ ﹣ =kπ + ,k∈z,求得 x= ≤2kπ + , + )的图象为 C, ,故图象 C 关于直线 x= ≤x≤kπ + π 对称,故①正确.

≤2x﹣

,求得 kπ ﹣

,k∈z,

故函数 f(x)在区间(﹣ 令 2x﹣ 令 2x﹣ =kπ ,x= =2kπ + +

)内是增函数,故②正确. ,0)对称,故③正确. ,k∈z 时,函数取得最大值,

,k∈z,故图象 C 关于点( ,k∈z,故当 x=kπ +

,求得 x=kπ +

故当 x=2kπ +

π ,k∈z 时 f(x)取最大值,故④正确,

故答案为:①②③④. 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ω x+φ )的图象性质的应用,属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (10 分)已知 f(α )= (Ⅰ)化简 f(α ) . (Ⅱ)若 ,求 f(a)的值. ,且 α 为第三象限角.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)运用诱导公式对所求关系是化简即可; (Ⅱ)利用诱导公式可得 sinα = ,又 α 为第三象限角,利用平方关系即可求得 cosα ,继 而可得 f(α )的值. 解答: 解: (Ⅰ)f(α ) = (Ⅱ)由 = ? sinα = ,α 为第三象限角, =tanα sinα …5 分;

所以 cosα =﹣ 所以 f(α )=(﹣ ) (﹣
2

=﹣



)=﹣

…10 分

点评: 本题考查运用诱导公式化简求值,考查运算求解能力,属于中档题.

- 10 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 18. (12 分)已知 tanα =2,求 sinα 和 cosα . 考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由 tanα 的值大于 0,得到 α 在第一或第三象限,分别利用同角三角函数间基本关 系求出 sinα 和 cosα 的值即可. 解答: 解:由 tanα =2>0,得到 α 在第一或第三象限, ∵tanα = =2,∴ =4,即 =4,

整理得:sin α = , 当 α 在第一象限时,sinα = 当 α 在第三象限时,sinα =﹣ ,cosα = ,cosα = = ; =﹣ .

2

点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键. 19. (12 分) (Ⅰ) 如图,一个扇形 OAB 的面积是 1cm ,它的周长是 4cm,求圆心角的弧度数 和弦长 AB. (Ⅱ) 已知 f(x)=﹣sin x+sinx+a,若 1≤f(x)≤ 围.
2 2

对一切 x∈R 恒成立,求实数 a 的范

考点: 复合三角函数的单调性;扇形面积公式. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ) 设圆的半径为 rcm,弧长为 lcm,则 角和弧长; (Ⅱ)f(x)=﹣sin x+sinx+a=﹣(sinx﹣ ) +a+ ,然后,结合给定的范围求解实数 a 的范 围. 解答: 解: (Ⅰ) 设圆的半径为 rcm,弧长为 lcm,则 ,
2 2

,解得

,然后,求解圆心

- 11 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴ ,

∴圆心角为 =2, 过点 O 作 OH⊥AB 于 H,则∠AOH=1 弧度, ∴AH=1?sin1=sin1(cm) , ∴AB=2sin1(cm) , 2 (Ⅱ)f(x)=﹣sin x+sinx+a =﹣(sinx﹣ ) +a+ , ∴f(x)man=a+ ,f(x)min=a﹣2, 若 1≤f(x)≤ 对一切 x∈R 恒成立,则
2

, ∴3≤a≤4. 点评: 本题重点考查了弧长公式、圆心角公式、二次函数的最值等知识,属于中档题,解 题关键是灵活运用公式进行求解问题.

20. (12 分)已知 y=a﹣bcos3x(b>0)的最大值为 ,最小值为﹣ , (Ⅰ)求函数 y=﹣4asin(3bx)的周期、最大值,并求取得最大值时的 x 之值; (Ⅱ)求函数 单调递减区间.

考点: 三角函数的最值;复合三角函数的单调性. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: (I)由三角函数的值域,列出方程组,求出 a,b,再由正弦函数的值域和周期性, 即可得到; (II)运用正弦函数的单调递减区间,解不等式,即可得到所求区间.

解答: 解: ( I)由已知条件得

解得

∴y=﹣2sin3x 的最小正周期为 即有 x= ,k∈Z;

,其最大值为 2,此时 3x=2k

,k∈Z,

(II)因为 b=1,所以 由 2k ≤3x ≤2k

=sin(3x ,k∈Z,解得 +

) ≤x≤ + ,

- 12 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 所以函数的单调递减区间为:[ + , + ],k∈Z.

点评: 本题考查正弦函数和余弦函数的值域的运用,考查三角函数的周期和单调性,考查 运算能力,属于中档题. 21. (12 分)已知 sinx+cosx=﹣ (0<x<π ) ,求 tanx 的值.

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 先根据 sinx+cosx 的值和二者的平方关系联立求得 sinx、cosx 的值,进而利用商数 关系求得 tanx 的值. 解答: 解:∵ ∴两边平方得 ∴ ∵sinx﹣cosx>0, ∴ 与 ∴ , 联立解得 . , ,cosx<0 , ,

点评: 本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用.解题的过程中要特别注意根据角 的范围确定三角函数值的正负号. 22. (12 分)f(x)=2cos x﹣2acosx﹣1﹣2a 的最小值为 g(a) ,a∈R (1)求 g(a) ; (2)若 g(a)= ,求 a 及此时 f(x)的最大值.
2

考点: 三角函数中的恒等变换应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用二倍角公式对函数解析式化简,配方后,讨论 的范围确定 g(a)的解析 式,最后综合即可. (2)利用每个范围段的解析式求得 a 的值,最后验证 a 即可. 解答: 解: (1)f(x)=2cos x﹣2acosx﹣1﹣2a=2(cosx﹣ ) ﹣ 当﹣1≤ ≤1,g(a)=﹣ ﹣2a﹣1,
2 2

﹣2a﹣1,

- 13 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com >1 时,时 g(a)=1﹣4a <﹣1 时,g(a)=1,

综合以上,g(a)=



(2)令 1﹣4a= 求得 a= 不符合题意, 令﹣ ﹣2a﹣1= ,求得 a=﹣1 或﹣3(舍去)

故 f(x)的最大值为 5,a 的值为﹣1. 点评: 本题主要考查了二次函数的性质,函数思想的运用,分段函数等知识.考查了学生 综合素质.

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