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内蒙古工业大学机械工程控制基础第五章 控制系统的频域分析


第五章 控制系统的频率特性 Frequency-response analysis 5.1 频率特性的基本概念

5.2 频率特性表示法
5.3 控制系统的闭环频响

5.4 时域指标和频域指标之间的关系
5.5 几何稳定判据

5.6 相对稳定性

频域分析的特点:

(1)频率特性具有明确的物理意义,它可以用实验 的方法来确定,这对于难以列写微分方程式的元部件或 系统来说,具有重要的实际意义。 (2)由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形 对系统进行分析,因而具有形象直观和计算量少的特点。 (3)频率响应法不仅适用于线性定常系统,而且还 适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性 系统的分析。

5.1 频率特性的基本概念
1.频率响应:指控制系统对正弦输入信号的稳态正弦输出 响应。

对于线性定常系统,任何输入信号的输出响应都是由瞬态 响应和稳态响应两部分组成,同样正弦输入也不例外。但 在正弦输入信号作用下其输出的舜态部分不是正弦信号, 而稳态部分是与原输入的正弦信号频率相同的正弦波形, 其幅值和相位都与输入有所不同。

例:如图所示的机械系统,K为弹簧刚度系数,单位N/m, C是阻尼系数,单位m/s.N,当输入力为正弦信号 f(t)=Fsinwt时,求其位移x(t)的稳态响应 解:列写力平衡方程

? Kx(t ) ? Cx(t ) ? f (t )
其传递函数为:s) ? G(
X ( s) 1 ? ? F (s) Cs ? K C 1 K K ? K s ? 1 Ts ? 1 1

f(t)
X(t)

K

c

f (t ) ? F sin wt 拉氏变换: F ( s) ? F 2 s ? w2
输出位移 X (s) ? G(s) F (s)
? 1 C K ? Fw 2 2 s ?1 s ? w
x(t ) ?
wT F K K e? tT x(t ) ? sin(wt ? arctgwT) ? 1 ? w 2T 2 F 1 ? T 2 w2 F

w

K K s ? K3 k ? 1 ? 2 Ts ? 1 s 2 ? w 2

K sin(wt ? arctgwT) 2 2 1? T w 上式中第一项为稳态分量,第二项为瞬 ? A( w) F ? sin[wt ? ? ( w)] ? X sin[wt ? ? ( w)] 态分量,当时间t趋向于无穷大时为零。

系统稳态输出为:

其幅值为:X=A(w)F 相位为:? (w) ? ?arctgwT

1 X K A( w) ? ? F 1 ? (Tw) 2

从上式的推导可以看出,频率响应是时间响应的一种特例。正 弦输入引起的稳态输出是频率相同的正弦信号,输入输出幅值 成比例 A(w) 相位 ? (w)都是频率w的函数且与系统的参数C,K有关



频率特性及其求解方法

1.频率特性:指线性系统或环节在正弦函数作用下,稳态输 出与输入幅值比 A(w) 和相位差 ? (w) 随输入频率的变化关 系。用G(jw)表示 1 X
G( jw) ? x( jw) X Im e ? f ( jw) F Im e jwt
j [ wt ?? ( w)]

? A( w)e j? ( w)

A( w) ? G( jw) ?

F

?

K 1 ? (Tw) 2

? (w) ? ?G( jw) ? ?arctgwT

G(jw)称为系统的频率特性,其模 A(w) 称为系统的幅频特性, 相位差 称为相频特性 ? (w)

2.频率特性求解 (1)根据已知系统的微分方程或传递函数,输入用正弦函数 代入,求其稳态解,取输出和输入的复数比 (2)根据传递函数来求取 (3)通过实验测得 令传递函数中的s=jw则得到频率表达式G(jw),又由于G(jw) 是一个复变函数,可在复平面上用复数表示,分解为实部和虚 部,即:

G( jw) ? U (w) ? jV (w) ? A(w)e j? ( w)

U (w) ? A(w) cos? (w)

V (w) ? A(w) sin ? (w)
A( w) ? U ( w) ? V ( w)
2 2

V ( w) ? ( w) ? arctg U ( w)

Eg2. 某闭环系统传递函数为 G ( s ) ? 7 3s ? 2 时,试求系统稳态输出。

,当输入为 1 sin( 2 t ? 45 ? )

7

3

解:正弦输入信号系统输出与输入频率相同,其输 出幅值与相位取决于系统幅频特性与相频特性

7 G ( jw) ? 3 jw ? 2

A(w) ?

7 9w 2 ? 4

1 2 xi (t ) ? sin( t ? 45 ? ) 7 3
7

3 ? ( w) ? ?arctg ( w) 2
系统输出响应为:
4

系统输出幅值为: ? 1 A(w) ? 2 X 输出相位:
? ( ) ? 45 ? ? ?arctg ( ? ) ? 45 ? ? 0 ?
2 3 3 2 2 3

2 2 2 y(t ) ? X sin( t ) ? sin t 3 4 3

5.2 频率特性的表示法 频率法是一种直观的图解法,表示形式为: 1.奈魁斯特图(Nyquist)或称幅相频率特性,它通 过极坐标来表示频率特性G(jw)中的幅值和相位间的 关系。

2.伯德图((Bode),又称对数频率特性图,它由 半对数坐标系上来表示的幅频特性和相位特性图组成。
3.尼柯尔斯图(Nichols),又称对数幅相频率特 性图,它在对数坐标系中表示G(jw)的幅值和相角间 的关系。

一. 幅相频率特性图(Nyquist)
典型环节的幅相频率特性曲线 1.比例环节 传递函数 G(s) ? K 频率特性 G( jw) ? K
A( w) ? U 2 ( w) ? V 2 ( w) ? K
jV

V ( w) ? ( w) ? arctg ? 0? U ( w)

K

U

2.积分环节

1 传递函数 G ( s ) ? s
jV

频率特性 G( jw) ?

1 1 ??j jw w
U

A( w) ? U 2 ( w) ? V 2 ( w) ?

1 w

w

V ( w) ? ( w) ? arctg ? ?90? U ( w)

当w=0

A(w)=∞

当 w→∞ A(w)=0

3.微分环节 传递函数

G( s) ? s
jV w U

频率特性 G( jw) ? jw

A( w) ? U 2 ( w) ? V 2 ( w) ? w

V ( w) ? ( w) ? arctg ? 90? U ( w)
当w=0 A(w)=0 当 w→∞ A(w)=∞

4.惯性环节
1 传递函数 G ( S ) ? Ts ? 1
1 1 ? jTw ? 频率特性 G( jw) ? Tjw ? 1 1 ? (Tw) 2
w jV (0.5,j0) U

1 U ( w) ? 1 ? (Tw) 2
A(w) ? U 2 (w) ? V 2 (w) ?

Tw V ( w) ? ? 1 ? (Tw) 2
1 1 ? (Tw) 2

w=1/T

A( 1 ) ? T

1 2

? ( 1T ) ? ?45?

V ( w) ? ( w) ? arctg ? ?arctg(Tw) U ( w)

w→∞ A(w)=0 ? (?) ? ?90?

当w=0

A(w)=1 ? (w) ? 0?

5.一阶微分 传递函数 G( S ) ? Ts ? 1 频率特性 G( jw) ? Tjw ? 1
A( w) ? U ( w) ? V ( w) ? 1 ? (Tw)
2 2 2

jV w G(jw)

V ( w) ? ( w) ? arctg ? arctg(Tw) U ( w)

(1,j0)

U

当w=0

A(w)=1 ? (w) ? 0?

w→∞ A(w)=∞ ? (?) ? 90?

6.振荡环节

2 ?n 1 G( s ) ? 2 2 ? 2 2 传递函数 T s ? 2?Ts ? 1 s ? 2?? n s ? ?n

频率特性

G( jw) ?

1 1 ? T 2 ( jw) 2 ? 2?T ( jw) ? 1 1 ? (Tw) 2 ? j 2?Tw

1 ? (Tw) 2 ? j 2?Tw ? [1 ? (Tw) 2 ]2 ? (2?Tw) 2
1 1? V Tw) 2? A(w) ? U (w) ? ( 2 (w) U (w) ? 2 2 2 [1 ) ( [1 ? (Tw) 2 ]2 ? (2?Tw? 2 Tw) ] ? (2?Tw)
2

jV

(1,j0)
U
ξ =0.8 ξ =0.5

? 2?Tw) V (w 2?wT V ( w)(? ) ? arctg 2 ? w ? arctg[? ] 2 [1 ? (Tw) 2 ] ( w) ?Tw) 2 ? (2 U 1 ? (Tw)

当w=0
w=1/T

A(w)=1 ? (w) ? 0?
1 A( 1 ) ? T 2?

w
ξ =0.3

? ( 1T ) ? ?90?

w→∞ A(w)=0

? (?) ? ?180?

当 ? 小到一定程度时其振幅会有峰值出现,称这个峰值为谐 振峰值Mr,所对应的频率为谐振频率wr。
dA( w) d 1 ? [ ] ?0 2 2 2 dw dw [1 ? (Tw) ] ? (2?Tw) w? w
r



w ? wn

1 ? wr ? 1 ? 2? 2 ? wn 1 ? 2? 2 T

系统幅相频率特性为:

谐振峰值出现的条件( ? ? 0.707 )
M r ? A( wr ) ? 1 [1 ? (Tw) ] ? (2?Tw)
2 2 2 w ? wr

1 G( jwn ) ? ? j 2?
1
2

?

2? 1 ? ?

幅角为-90

当 ? ? 0 w ? wn 时,A(w)=∞ 当? ? 0 w ? wn 时, A( w) ?

1 2?

7.二阶微分
传递函数

G(s) ? T 2 s 2 ? 2?Ts ? 1
2 2

频率特性 G( jw) ? T ( jw) ? 2?Tjw ? 1
A( w) ? U 2 ( w) ? V 2 ( w) ? [1 ? (Tw) 2 ] 2 ? (2?Tw) 2

ξ1<ξ2 <ξ3

? ( w) ? arctg

V ( w) 2?wT ? arctg U ( w) 1 ? (Tw) 2

jV
ξ
3

w
ξ
2

当w=0 w=1/T w→∞

A(w)=1 ? (w) ? 0?
A( 1 ) ? 2? ? ( 1 ) ? 90? T T

ξ 1

A(w)= ∞ ? (?) ? 180

?

(1,j0)

U

8.延时环节
传递函数 G(s) ? e ??s 频率特性 G( jw) ? e ??jw ? cosTw ? j sin Tw

U (w) ? cosTw
V ( w) ? ? sin Tw
A( w) ? U ( w) ? V ( w) ? 1
2 2

jV

(0.5,j0) (1,j0)

U

V ( w) ? ( w) ? arctg ? ?Tw U ( w)

w

s Eg1. 已知系统传递函数为 G ( s ) ? ?,? 1 试画其奈氏曲线图 Ts ? 1

解:将传递函数化为频率特性

1 ? T?w2 ? j (? ? T ) w G( jw) ? ? Tjw ? 1 1 ? (Tw) 2
1 ? T?w2 U ( w) ? 1 ? (Tw) 2
2 2

?jw ? 1

V ( w) ?

(? ? T ) w Tjw ? 1 1 ? (Tw) 2 ?

?jw ? 1

jV w τ >T

A( w) ? U ( w) ? V ( w) ?

1 ? (?w) 2 1 ? (Tw) 2

(1,j0)
w τ <T

? ( w) ? arctg

V ( w) (? ? T ) w ? ? arctg?w ? arctg(?Tw) 2 U ( w) 1 ? T?w

U

当w=0 A(w)=1 ? (w) ? 0? w→∞
A( w) ?

?
T

? (?) ? 0?

要画准确的奈氏曲线需计算不同频率下的幅值和相位,或实 部和虚部得到相应的各点,将各点顺次连接得到奈氏曲线。 若系统传递函数是由多个环节组成,幅频特性曲线其幅值 是各环节幅值的乘积,相角是各环节相位相加。

A(w) ? A1 (w) ? A2 (w) ? ??? An (w)

? (w) ? ?1 (w) ? ? 2 (w) ? ?? ? ? n (w)

二.对数频率特性图(Bode)
一.概念: 奈魁斯特曲线不能表示系统各环节的单独作用,而且计算 工作量较大,因此对频率特性中的幅频特性取对数,各环节的 幅值相乘变为相加,曲线可用直线代替,这样绘出的图形简单、 方便、直观地表示各环节的作用。 1.对数幅频特性图:将幅频特性A(w)取常用对数后再乘以 20记为:L(w)=20lgA(w),单位(dB) 对数幅频特性坐标系中,横坐标采用对数分度,但标注时只 标w,纵轴采用线性分度。 横轴上频率满足的关系:若在横轴上任取两点,使两点间的频率 满足w2/w1=10,则w1与w2间距离为1=lg(w2/w1)=lg10 一个10倍频程:不论坐标轴的起点是多少,只要角频率w变化 10倍,在横轴上线段长度均为1个单位(dec)

二 典型环节的Bode图
1.比例环节 G( jw) ? K
A( w) ? U 2 ( w) ? V 2 ( w) ? K
L(w)/dB

20lgK

w
φ (w)°

L(w) ? 20lg A(w) ? 20lg K
V ( w) ? ( w) ? arctg ? 0? U ( w)

w

不改变曲线的形状,只改变L(w)的大小

2.积分环节
G( jw) ? 1 1 ??j jw w

L(w)/dB

20

-20dB/dec

L( w) ? 20 lg A( w) ? 20 lg

1 ? ?20 lg w w

0.1

1

w

φ (w)°

? ( w) ? arctg

V ( w) ? ?90? U ( w)
-90°

w

3.微分环节
G( jw) ? jw
L(w)/dB

0.1

1 w
20dB/dec

L(w) ? 20lg A(w) ? 20lg w
V ( w) ? ( w) ? arctg ? 90? U ( w)

-20

φ (w)°

90°

w

4.惯性环节 1 1 ? jTw G( jw) ? ? Tjw ? 1 1 ? (Tw) 2
A(w) ? U (w) ? V (w) ?
2 2

1 1 ? (Tw) 2

L(w) ? 20lg A(w) ? 20lg

1 1 ? (Tw) 2

? ?20lg 1 ? (Tw) 2

V ( w) ? ( w) ? arctg ? ?arctg(Tw) U ( w)

当wT<<1 (低频) L(w)=0

L( w2 ) ? L( w1 ) ? ?20 lg Tw2 ? 20 lg Tw1 ? ?20 ? 20 lg Tw1 ? 20 lg Tw1 ? ?20 dB

wT>>1(高频)L(w)≈-20lgTw w=1/T
? ( 1T ) ? ?45?
L(w)/dB 1/T

L(w) ? ?20lg 1 ?1 ? ?20lg 2 ? ?3dB
0

当w2/w1=10 时(频率变化 10倍幅值变化多少)

w
-20dB/dec

wT=1/T时曲线误差最大为 -3dB,称wT为转折频率。 惯性环节具有低通滤波的作 用

φ (w)°

1/T

w

-45° -90°

5.一阶微分

G( jw) ? Tjw ? 1

L(w)/dB

20dB/dec 0 1/T φ (w)°

w

L( w) ? 20 lg A( w) ? 20 lg 1 ? (Tw) 2

90°

? ( w) ? arctg

V ( w) ? arctg(Tw) U ( w)

45°
1/T w

6.振荡环节
1 1 G( s) ? 2 ? 2 T ( jw) ? 2?T ( jw) ? 1 1 ? (Tw) 2 ? j 2?Tw 1 ? (Tw) 2 ? j 2?Tw ? [1 ? (Tw) 2 ]2 ? (2?Tw) 2

L(w) ? 20lg A(w) ? 20lg

1 [1 ? (Tw) ] ? (2?Tw)
2 2 2

V ( w) 2?wT ? ( w) ? arctg ? arctg[? ] 2 U ( w) 1 ? (Tw)

当wT<<1 (低频)

L(w)=0

? (w) ? 0?
L(w)/dB 0
1/T

wT>>1(高频) L(w)≈-20lg(Tw)2=-40lgTw W=1/T=Wn时,高频段L(w)≈0
? ( 1T ) ? ?90?

w
-40dB/dec

φ (w)°

1/T

w

当w2/w1=10 时(频率变化10 倍幅值变化多少)
?L(w) ? L(w2 ) ? L(w1 ) ? ?40lg Tw2 ? 40lg Tw1 ? ?40 ? 40lg Tw1 ? 40lg Tw1 ? ?40 dB

-90°
-180°

7.二阶微分
G( jw) ? T 2 ( jw) 2 ? 2?Tjw ? 1
L(w)/dB

L( w) ? 20 lg A( w) ? 20 lg [1 ? (Tw) 2 ] 2 ? (2?Tw) 2
0

40dB/dec

1/T

w

V ( w) 2?wT ? ( w) ? arctg ? arctg U ( w) 1 ? (Tw) 2

φ (w)°

180°
90° 1/T

w

8.延时环节

G( jw) ? e

??jw

? cosTw ? j sin Tw
L(w)/dB

L(w) ? 20lg A(w) ? 0
V ( w) ? ( w) ? arctg ? ?Tw U ( w)

w
φ (w)°

w

三.绘制伯德图的步骤
(1)将传递函数G(s)化为由典型环节组成的形式
(2)令s=jw,求得频率特性G(jw) (3)找出各环节的转折频率,并作各环节的渐近线 (4)将各环节的对数幅值相加得到系统幅频特性曲线 (5)作各环节相位曲线,然后相加得到系统相频曲线 (6)如要得到精确曲线,对各渐近线进行修正

Eg3 作传递函数为 G ( s) ? 24(0.25s ? 0.5) 的Bode图 (5s ? 2)(0.05s ? 2) 解:将传递函数化为典型环节
24 ?245(0.5(0.5s ? 1) 0. ? s ? 1) G ( s) jw) ? G( ? 2 ? 2(?.2(2?5s ? 1)(0.s ? 1s ? 1) 2 2 5s . 1)(0.025025) 3(035sj 0.1) ? 1) . ( ? 5w ?? (2(5s ? 1)(? .025s.? 1) w ? 1) . j 2.5w 0 1)( j 0 025
L(w)/dB 20 [-20] 10 2 0
0.4 1 20dB/dec 10 40 100

[0]
[-20]
1

w

L1(w)=20lg3=9.5dB 各环节的转折频率 j0.5w+1 w1=1/T=2 1/(j2.5w+1) w2=1/T=0.4 1/(j0.025w+1) w3=1/T=40

-20
φ (w)°

-20dB/dec

φ 0.4

45° φ φ
-90°
2

φ

w
3

-45°

Eg4 作传递函数为
解:化为标准传递函数

G( s) ?

10( s ? 3) s( s ? 2)(s 2 ? s ? 2)

的Bode图

10 ? 3( 1 s ? 1) 3 G (s) ? 2 ? 2s (0.5s ? 1)(0.5s 2 ? 0.5s ? 1) 7.5( 1 s ? 1) 3 ? s (0.5s ? 1)(0.5s 2 ? 0.5s ? 1)
7.5( 1 jw ? 1) 3 G ( jw) ? jw(0.5 jw ? 1)(0.5( jw) 2 ? 0.5( jw) ? 1)

比例环节的幅值 和各转折频率 L1(w)=20lg7.5=17.5 (1/3jw+1) w1=1/T=3

L(w)/dB 60

40
17.5

[-20]
[-60] 3 10 [-80]

0.1

1

2

w

(1/jw) 过(1,j0)点
1/(0.5jw+1) w2=1/T=2 1/(0.5(jw)2+0.5jw+1)
φ (w)°
-90°
-180° -225° -270°

[-60]
-20dB/dec

w φ

w3 ? 1 ? 1 ? 2 T 0.5

5.3 控制系统的闭环频响
一.由开环频率特性估计闭环频率特性
开环频率特性是指开环传递函数用s=jw代入所得的频率特性。 设开环频率特性为G(jw)H(jw),而闭环频率特性为

X 0 ( s) G( jw) ? X i ( s) 1 ? G( jw) H ( jw)

Xi(s)

+—

G(s) H(s)

X0(s)

设系统为单位反馈控制系统,则有H(jw)=1,系统传递函数为

X 0 ( jw) G( jw) ? X i ( jw) 1 ? G( jw)

在低频段时 G( jw) ?? 1 ,则有:
X 0 ( jw) G( jw) ? ?1 X i ( jw) 1 ? G( jw)

在高频段时 G( jw) ?? 1 ,则有:

X 0 ( jw) G( jw) ? ? G( jw) X i ( jw) 1 ? G( jw)

在单位反馈系统中(最小相位)如果输入是低频信 号,则输入与输出近似认为相同,而在高频时,闭 环频率特性与开环频率特性相似

二.频率特性的性能指标
1.截止频率wb和带宽wBw
L(w)/dB 20lgMr Wb 0 Wr WBW

-3dB

w

截止频率(wb):指闭环对数幅值L(w)下降到-3dB 时对应的频率

系统带宽(wBw或频关):指闭环系统的对数幅值不低 于-3dB时所对应的频率范围( 0 ? WBW ? Wb )

2.谐振峰值Mr和谐振频率Wr 谐振峰值Mr :闭环频率特性幅值的最大值 只与阻尼比有关.
标志系统相对稳定性的一个指标
Mr ? 1 2? 1 ? ? 2

谐振频率Wr:系统发生谐振峰值处的频率称为谐振频率
表征了系统的响应速度,Wr越大系统带宽越宽响应速度越快

三.最小相位系统
1.最小相位系统:在复平面[s]右半部分无零点或极 点的传递函数称为最小相位传递函数,该传递函数所 描述的系统称为最小相位系统 2.非最小相位系统:控制系统的传递函数中存在零、极 点位于复平面[s]的右半部分,这样的系统称为非最小相 位系统
1 ? T1 s G1 ( s) ? 1 ? T2 s
1 ? T1 s G2 ( s) ? 1 ? T2 s
-1/T1

jw

jw

-1/T2

σ

-1/T2

1/T1

σ

L(w)/dB

A1 ( w) ?

1 ? (T1 w) 2 1 ? (T2 w) 2

20
[-20] 0 W2 W1 w

?1 (w) ? arctgT w ? arctgT2 w 1
1 ? (T1 w)
2

-20
φ (w)°

-20dB/dec

[0]

A2 ( w) ?

1 ? (T2 w) 2
-90°

φ1 φ
-180°

w

? 2 (w) ? arctg(?T1 w) ? arctgT2 w

2

四.由实验确定系统传递函数 建立系统数学模型方法有: (1)采用数学公式推导 (2)由实验方法 1.系统类型和增益K的确定
设系统频率特性为:
k (1 ? j? 1 w)(1 ? j? 2 w) ??(1 ? j? m w) G( jw) ? ( jw) ? (1 ? jT1 w)(1 ? jT21 w)(1 ? jT3 w)??(1 ? jTn w)

? 为串联积分环节的数目 lim G( jw) ? k 当 w?0

( jw) ?

根据 ?
(1)当 G(jw)=k

来确定系统的类型

? ?0

时,称为零型系统 L(w)=20lg|G(jw)|=20lgk

L(w)/dB

20lgk [-20]

0

w

0型系统

(2)当

? ?1

时,称为Ⅰ型系统

G(jw)=k/jw

L(w)=20lg|G(jw)|=20lgk-20lgw

频率特性低频段为-20dB/dec,渐近线或延长线与0dB交点处有

20lgk-20lgw=0
L(w)/dB

解得:

k/w=1

即k=w

L(w)/dB

[-20]
0 w

[-20]

w

0

W

w

Ⅰ型系统

Ⅰ型系统

(3)当

??2

时,称为Ⅱ型系统

G(jw)=k/(jw)2

L(w)=20lg|G(jw)|=20lgk-40lgw

该线段或延长线与0dB的交点处有

20lgk-40lgw=0
L(w)/dB

?w? k
L(w)/dB



K=w2

[-40]
0 w w 0

[-40]

w

w

Ⅱ型系统

Ⅱ型系统

系统类型(type)与系统的阶数(order)的区别

Eg5.已知由实验得最小相位系统的幅频特性如图所 示,求其系统传递函数。
已知各转折频率 W1=1, W2=2, W3=8
L(w)/dB 60 40 [-20] 20 0.1 2

低频段由比例加积 分环节组成 K/s k=10
G1 ( s) ? 1 1 ? T1 s ? 1 s ? 1 ( w1 ? 1)

[-40]
6 8 10 1
[-60]

w

[-20] 1 G2 ( s) ? T2 s ? 1 ? s ? 1 ( w2 ? 2) 2 系统传递函数为 1 1 G ( s) ? 2 2 ? 10 1 1 2 ? (s 1 ? ?( )? 2 T s ? 2?Ts ? 1 64 1 s ) ? 2? ? 1 ? s ?) ? ( 8 8 s s ? 1 2s ? 1 s

s22 ? 88s ? 2? 2 ? 6 wr ? wn 1 ? 2? ? 1 ? 64

G ( s) ?

64 ? 8s ? 64

? ? ? 0.5

320( s ? 2) ? s ( s ? 1)(s 2 ? 8s ? 64)

Eg6.已知由实验得最小相位系统的幅频特性如图所 示,求系统传递函数 解:系统由比例 环节和两个积分 环节及惯性环节 组成
L(w)/dB

[-40]

W1=50 100 W2=100 50 K=(W1)2=502 =250 系统传递函数为 250 1 250 ? ( s) ? 2 ? ? 2 0.001s ? 1 s (0.001s ? 1) s

w [-60]

5.5 几何稳定判据
一、奈魁斯特稳定判据
线性系统稳定
充要条件 闭环特征方程式的根必须都位于S的

左半平面。

若闭环系统稳定则有:Z=0 (Z=P-N)
P:开环右极点数;N:奈氏曲线包围(-1,j0)点圈数

(1) 闭环系统稳定的充要条件是:奈氏曲线包 围(-1,j0)点的圈数N=P (2)若开环稳定的情况下(P=0)则闭环系统稳 定的充要条件是N=P=0,即奈氏曲线不包围 (-1,j0)点;若N≠P则闭环系统不稳定,则闭 环右极点为:Z=P-N w:-∞→+∞变化

判断系统稳定性的表达式Z=P-N可简化为 Z=P-2N N 顺时针为负, Im 逆时针为正 W=-∞ 奈氏判据的结论: 当w从0→+∞变化时, 开环频率特性曲线 G(jw)H(jw)包围 (-1,j0) (-1,j0)点的次数N等 W=0 于开环右极点数的一半 W=+∞ (即N=P/2),则闭环 系统稳定,否则闭环系 统不稳定。 N=N++N—

Re

2.应用奈氏判据注意事项 ① 确定开环右极点数目P时,开环极点若在虚轴上 则按左极点处理(积分环节出现) ② 若开环频率特性的奈氏曲线刚好通过(-1,j0)点, 这种情况表明闭环极点位于虚轴上,系统属于临界稳 定状态,列入不稳定系统

③ N为开环频率特性奈氏曲线包围(-1,j0)点圈数 时,奈氏曲线穿过负实轴方向的不同

穿越:开环奈氏曲线穿过(-1,j0)点左侧的实轴(有正负) 正穿越:奈氏曲线由上而下(沿逆时针方向)穿过(-1,j0)点 左侧的实轴(N+ 表示) 负穿越:奈氏曲线由下而上(沿顺时针方向)穿过(-1,j0)点 左侧的实轴(N- 表示)
Im

Im

(-1,j0)
(-1,j0) Re

Re

正穿越

负穿越

半次穿越:若奈氏曲线始于或终止于(-1,j0)点左侧的实轴, 称为半次穿越(有正负) 正半次穿越:奈氏曲线沿逆时针方向起始于或终止于(-1,j0) 点左侧的实轴,称为正半次穿越 N+=1/2 负半次穿越:奈氏曲线沿顺时针方向起始于或终止于(-1,j0) 点左侧的实轴,称为半次穿越 N-=-1/2
Im

Im

(-1,j0)
Re

(-1,j0) Re

正半次穿越

负半次穿越

奈魁斯特稳定判据应用

case1 开环中无s=0极点(即传递函数无积分环节) Case2 开环中含有积分环节(s=0的极点) Case3 开环频率特性较复杂时

eg1 设闭环系统的开环传递函数为:
K H ( s)G ( s) ? (T1s ? 1)(T2 s ? 1)
Im K (-1,j0) Re

H ( j? )G( j? )
A( w) ? K 1 ? (T1 w) 2 1 ? (T2 w) 2

? (w) ? ?arctgT w ? arctgT2 w 1

开环频率特性轨迹如图所示。
H ( s)G( s) 在右半s平面内没有任何极点P=0,并且
H ( j? )G( j? )

的轨迹不包围(-1,j0)点,有N=0,所以

对于任何值有Z=P-2N=0,该系统闭环稳定。

eg2.开环传递函数为 判断闭环系统的稳定性。
? (w) ? ?arctgT w ? arctgT2 w ? arctgT w 1 3

K H ( s)G( s) ? (T1 s ? 1)(T2 s ? 1)(T3 s ? 1)

Im

A( w) ?

K 1 ? (T1 w) 2 1 ? (T2 w) 2 1 ? (T3 w) 2
K 1 K2 (-1,j0) Re

当w=0时,A(w)=k,

? (w) ? 0

?

当w→+∞时A(w)=0, 奈氏曲线为K=K2 (K值 较大), N=-1,P=0, 奈氏曲线K=K1(K值较 小),N=0,P=0, Z=p-2N=0, 闭 Z=p-2N=2, 闭环系统 环系统稳定。 不稳定。

? (w) ? ?270?

Case2 开环中含有积分环节(s=0的极点) eg3 设系统具有下列开环传递函数:
K H ( s)G( s) ? s(T1s ? 1)(T2 s ? 1)

试确定以下两种情况下,系统的稳定性: ?增益K较小 ?增益K较大。
解:开环右极点 闭环右极点
A( w) ? K w 1 ? (T1 w) 2 1 ? (T2 w) 2
?

P=0 Z=P-2N

? (w) ? ?90 ? arctgT w ? arctgT2 w 1

A( w) ?

K w 1 ? (T1 w) 2 1 ? (T2 w) 2
Im

系统中含有积分环节奈氏曲 线的起始点不是坐标轴上的 点,曲线不封闭,因此不能 用包围的概念来判断。
Im

(-1,j0)

Re (-1,j0)

Re

小K值时有: N=0 Z=P-2N=0 故闭环系统稳定

大K值时有 N=-1 Z=P-2N=2 故闭环系统不稳定

Eg4.单位反馈系统开环传递函数如下,试判断闭环 系统的稳定性。
10 H ( s)G( s) ? 2 s (0.15s ? 1)

H ( s)G( s) ?

10(2.5s ? 1) s 2 (0.15s ? 1)

A( w) ? w

10
2

1 ? (0.151 w)

2

Im

? (w) ? ?180? ? arctg0.15w
(-1,j0) Re

N=-1,P=0, Z=p-2N=2, 闭环系统不稳定。

10(2.5s ? 1) H (s)G(s) ? 2 s (0.15s ? 1)

? (w) ? ?180? ? arctg0.15w ? arctg2.5w
A( w) ? 10 1 ? (2.5w) 2 w 2 1 ? (0.151 w) 2
(-1,j0) Im

N=0,P=0, Z=p-2N=0, 闭环系统稳定

Re

Case3 开环频率特性较复杂时
Im
W=0 K (-1,j0) P=2 Re

P=2 N+=2 N-=0 N=N++N-=2 Z=P-2N=-2 故闭环系统稳定

二、对数稳定判据
(Bode stability criterion)
奈氏稳定判据应用开环奈氏曲线来判断闭环系统的稳 定性,对数稳定性判据应用系统的开环伯德图判别闭 环系统的稳定性。 (1) 奈氏图上的单位圆, 在Bode图对数幅频特性图 Im 上对应零分贝线 A(w)=1 L(w)=20lgA(w)=0dB
(-1,j0) Re

w

(2)奈氏图负实轴上的 点对应Bode图相频特性 曲线的-180°水平线。

? (w) ? ?180? (2)奈氏图上满足穿越的条件:A(w)>1,

当A(w)<1时不称为穿越 故开环伯德图上满足穿越的条件:在L(w)>0dB时, 相频穿过-180°线一次称其为一次穿越

L(w)/dB
60

[-20]

[-60]
2 3 0.1 1

10 [-80] [-60] w

正负穿越

φ (w)°

w
-90°
-180° -270°

(+)

(-)

L(w)/dB
60

正负半次穿越
[-20] [-60] 2 3
0.1

10 [-80] [-60]

临界稳定点
w

1

若L(w)=0dB 时相位曲线 恰好通过
? (w) ? ?180?
w

φ (w)°

-90°
-180° -270°

系统此时为 临界稳定状 态。

正穿越:伯德图上幅频特性曲线在L(w)>0dB段 内,相频特性曲线穿过-180°线时角度逐渐增大 (由下向上)为正穿越; 负穿越:伯德图上幅频特性曲线在L(w)>0dB段 内,相频特性曲线穿过-180°线时角度逐渐减小 (由上向下)为负穿越。 三.应用开环Bode图判断系统稳定性充要条件: 开环伯德图上,在L(w)>0dB的所有段内,相频特性 曲线在 -? 线上正负穿越次数之和(N=N++N-)满足 Z=P-2N=0,则闭环系统稳定,否则系统不稳定。

L(w)/dB 60

[-20]

P=2

w

φ (w)° w
-90°
-180° -270°

判断系统是否稳定 N+=2 N-=-1 N=N++N- =1 P=2 Z=P-2N=0 闭环系统稳定(开环 系统不稳定)

(-)

(+)

)

5.6 控制系统的相对稳定性
系统出现不稳定的因素: 1.建模时忽略次要因素 2.列写元件方程时采用线性化方法 3.很难获得准确的系统参数(质量,阻尼,放大 系数,时间常数) 4.若采用实验法建模,则有仪器精度,数据处 理等不准确性

从奈氏曲线上可知,当P=0时,开环奈氏曲线离临界 点越远,闭环稳定性越好,稳定裕量越大;反之越 差。系统的稳定程度一般是通过奈氏曲线对临界点 (-1,j0)的靠近程度来描述,用幅值裕量Kg和相位 裕量γ 来表示

一.相位裕量γ

Wg相位穿越频率:开环 奈氏曲线与负实轴交点 处的频率 Wc幅值穿越频率:开环 奈氏曲线与单位圆相交 时的频率 相位裕量γ :在幅值穿 越频率ω c上,使系统 达到不稳定边缘所需附 加的相角滞后量

Im

1/Kg

Wg (-1,j0) γ φ (wc) Re

Wc w

? ? ? (wc ) ? (?180? ) ? 180? ? ? (wc ) γ越小稳定性越差,
一般取30°~60° ? (wc ) 为幅值穿越频率的相角 为宜。 最小相位系统稳定时应有正的相位裕量

二.幅值裕量Kg
幅值裕量Kg :在相位穿越频率Wg处,开环频率特 性幅值的倒数. 可记为:

1 1 Kg ? ? G( jwg ) H ( jwg ) A(wg )
在伯德图上以分贝值表示为: L(wg)=Kg(dB)=20lg(1/A(wg))=-20lgA(wg)

Im

1/Kg

Wg (-1,j0) γ

正相角裕量 正幅值裕量
φ (wc)
Re

Wc
w

L(w)/dB

Wc

w
Kg>0

正相角裕量 正幅值裕量

φ (w)°
w -90°
180° 270°

γ

wg

Im Wc

γ

wg

(-1,j0) φ (wc)

Re

负相角裕量 负幅值裕量

1/Kg w

L(w)/dB

Kg<0

Wc

w

负相角裕量 负幅值裕量

φ (w)°
-90°
-180° -270°

w wg γ

Eg. 设系统控制系统如图所示,其中

G ( s) ?

K s( s ? 1)(s ? 5)

试求当增益K分别为K=10和K=100时系统的幅值 裕量Kg和相位裕量γ
Xi(s)

解: 开环传递函数

+


G(s)

X0(s)

K K G( s) H ( s) ? 5 A( w) ? s( s ? 1)(s ? 5) w 1 ? w 2 1 ? (0.2w) 2 标准形式 K 5 G( s) H ( s) ? ? (w) ? ?90? ? arctgw? arctg0.2w s(s ? 1)( 1 s ? 1) 5

L(w)/dB K=100 26 [-20]

A(wc ) ? 1
K=10
Kg=-10.5

K=10 [-40] 5 10 Wc

6
0.1 1

Wc

w Kg=9.5

wc 40 lg ? 6 ? wc ? 1.4 1

? ? 180? ? ? (wc ) ? 21?

φ (w)°

[-60]
w

K=100
wc 40 lg ? 26 ? wc ? 4.5 1

-90° -135° -180° γ =21? -225° -270°

Wg

γ =-30?

? ? 180? ? ? (wc ) ? ?30?

?(wg ) ? ?180

?

?(wg ) ? ?90? ? arctgwg ? arctg0.2wg ? ?180?
arctgwg ? arctg0.2wg ? 90? ? arctgwg ? 90? ? arctg0.2wg 1 ? wg ? ? wg ? 5 0.2wg

K=100
10 A( w g ) ? 3
Kg ? ?20lg A(wg ) ? ?20(1 ? lg 3) ? ?10.5

Kg ? ?20lg A(wg )
K=10
1 A( wg ) ? 3

Kg ? ?20lg A(wg ) ? 20lg 3 ? 9.5


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