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宁夏银川一中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析


宁夏银川一中 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(每题 4 分,共计 48 分) 1. (4 分)在直角坐标系中,直线 x+ y+1=0 的倾斜角是() A.30° B.60° C.120°

D.150°

2. (4 分)在空间给出下面四个命题(其中 m、n 为不同的两条直线,α、β 为不同的两个平面)

①m⊥α,n∥α?m⊥n ②m∥n,n∥α?m∥α ③m∥n,n⊥β,m∥α?α⊥β ④m∩n=A,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β?α∥β 其中正确的命题个数有() A.1 个 B .2 个 C.3 个 D.4 个 3. (4 分)已知直线 l1:x﹣2y+1=0 与 l2:2x+ky+3=0 平行,则 k 的值是() A. B .﹣ C.﹣4 D.4

4. (4 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M、N 分别是 BB1BC 的中点,则图中阴影 部分在平面 ADD1A1.上的投影为图中的()

A.

B.

C.

D.

5. (4 分)圆(x﹣2) +y =4 过点 P(1,

2

2

)的切线方程是()

A.x+ y+2=0

y﹣2=0

B.x+

y﹣4=0

C.x﹣

y+4=0

D.x﹣

6. (4 分) 如图, 正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, E, F 分别为棱 AB, CC1 的中点, 在平面 ADD1A1 内且与平面 D1EF 平行的直线()

A.不存在

B .有 1 条
2 2

C.有 2 条

D.有无数条

7. (4 分)过点 (2,1)的直线中,被圆 x +y ﹣2x+4y=0 截得的最长弦所在直线的方程是() A.3x﹣y﹣5=0 B.3x+y﹣7=0 C.x+3y﹣5=0 D.x﹣ 3y+1=0 8. (4 分)半径 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为() A. πR
3

B.

πR

3

C.

πR

3

D.

πR

3

[来源:Zxxk.Com] 9. (4 分)如图,点 P 在正方形 ABCD 所在平面外,PD⊥平面 ABCD,PD=AD,则 PA 与 BD 所成角的度数为()

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

10. (4 分)已知三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC 且 AB=BC=1,SA= ,则球 O 的表面积是()

A.4π

B. π

C.3π

D. π

11. (4 分)如图边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 交于点 G,已知△ A′DE 是△ ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形,则下列命题中正确的是() ①动点 A′在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上; ②BC∥平面 A′DE; ③三棱锥 A′﹣FED 的体积有最大值.

A.① 12. (4 分)曲线 值范围是() A.

B.①②

C.①②③

D.②③

与直线 l:y=k(x﹣2)+4 有两个不同的交点,则实数 k 的取

B.

C.

D.

二、填空题(每小题 4 分,共计 16 分) 13. (4 分)点 P(2,7)关于直线 x+y+1=0 的对称点的坐标为. 14. (4 分)设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为 m)则该几何体的体积为 m .
3

15. (4 分)在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,﹣2) ,B(1,﹣3,1) ) ,点 M 在 y 轴 上,且|MA|=|MB|,则 M 的坐标是. 16. (4 分)在平面直角坐标系中,圆 C 的方程为 x +y ﹣8x+12=0,若直线 y=kx﹣2 上至少存 在一点,使得以该点为圆心,2 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的取值范围是. [来源:学科网]
2 2

三、解答题(本大题共计 56 分) 17. (8 分)已知在平面直角坐标系中,△ ABC 三个顶点坐标分别为 A(1,3) ,B(5,1) ,C (﹣1,﹣1) (Ⅰ)求 BC 边的中线 AD 所在的直线方程; (Ⅱ)求 AC 边的高 BH 所在的直线方程. 18. (8 分)已知圆 C1:x +y = 2 和圆 C2,直线 l 与 C1 切于点 M(1,1) ,圆 C2 的圆心在射 线 2x﹣y=0(x≥0)上,且 C2 经过坐标原点,如 C2 被 l 截得弦长为 . (1)求直线 l 的方程; (2)求圆 C2 的方程. 19. (10 分)在四棱锥 P﹣ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点,PA=2AB=2. (1)求四棱锥 P﹣ABCD 的体积 V; (2)若 F 为 PC 的中点,求证 PC⊥平面 AEF; (3)求证 CE∥平面 PAB.
2 2

20. (10 分)如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 是棱 AB 上一点 (Ⅰ)当点 E 在 AB 上移动时,三棱锥 D﹣D1CE 的体积是否变化?若变化,说明理由;若不 变,求这个三棱锥的体积 (Ⅱ) 当点 E 在 AB 上移动时,是否始终有 D1E⊥A1D,证明你的结论.

21. (10 分)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC⊥BC,AB⊥BB1,AC=BC=BB1,D 为 AB 的中点,且 CD⊥DA1. (1)求证:BC1∥平面 DCA1; (2)求 BC1 与平面 ABB1A1 所成角的大小.

22. (10 分)已知圆 M 的半径为 3,圆心在 x 轴正半轴上,直线 3x﹣4y+9=0 与圆 M 相切 (Ⅰ)求圆 M 的标准方程; (Ⅱ)过点 N(0,﹣3)的直线 L 与圆 M 交于不同的两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,而且满 足 + = x1

x2,求直线 L 的方程.

宁夏银川一中 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每题 4 分,共计 48 分) 1. (4 分)在直角坐标系中,直线 x+ y+1=0 的倾斜角是() A.30° B.60° C.120° 考点: 专题: 分析: 解答: 直线的倾斜 角. 直线与圆. 利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出. 解:设直线 x+ y+1=0 的倾斜角为 θ,θ∈[0°,180°) . , ,

D.150°

直线化为 ∴tanθ=﹣

∴θ=150°, 故选:D. 点评: 本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系,属于基础题. 2. (4 分)在空间给出下面四个命题(其中 m、n 为不同的两条直线,α、β 为不同的两个平面) ①m⊥α,n∥α?m⊥n ②m∥n,n∥α?m∥α ③m∥n,n⊥β,m∥α?α⊥β ④m∩n=A,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β?α∥β 其中正确的命题个数有() A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个

考点: 命题的真假判断与应用;平面与平面之间的位置关系. 专题: 综合题. 分析: 根据线面垂直、线面平行的性质,可判断①;由 m∥n,n∥α?m∥α 或 m?α 可判断 ②; ③根据两平行线中的一个垂直于平面,则另一个也垂直于平面及面面垂直的判定定理可判断 ③ ④由已知可得平面 α,β 都与直线 m,n 确定的平面平行,则可得 α∥β,可判断④ 解答: 解:①由线面垂直及线面平行的性质,可知 m⊥α,n⊥α 得 m∥n,故①正确; ②m∥n,n∥α?m∥α 或 m?α,故②错误 ③根据线面垂直的性质;两平行线中的一个垂直于平面,则另一个也垂直于平面可知:若 m∥n,n⊥β,则 m⊥β,又 m∥α?α⊥β,故③正确 ④由 m∩n=A,m∥α,n∥α,m∥β,n∥β 可得平面 α,β 都与直线 m,n 确定的平面平行, 则可得 α∥β,故④正确 综上知,正确 的有①③④ 故选 C 点评: 本题的考点是间中直线一直线之间的位置关系,考查了线线平行与线线垂直的条件, 解题的关键是理解题意,有着较强的空间想像能力,推理判断的能力,是高考中常见题型,其 特点是涉及到的知识点多,知识容量大. 3. (4 分)已知直线 l1:x﹣2y+1=0 与 l2:2x+ky+3=0 平行,则 k 的值是() A. B. ﹣ C . ﹣4 D.4

考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: 直接由两直线平行与系数间的关系列式求得 k 的值. 解答: 解:∵直线 l1:x﹣2y+1=0 与 l2:2x+ky+3=0 平行, ∴ ,解得:k=﹣4.

故选:C. 点评: 本题考查了直线的一般式方程与直线的平行关系,关键是对公式的记忆与应用,是 基础题. 4. (4 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M、N 分别是 BB1BC 的中点,则图中阴影 部分在平面 ADD1A1.上的投影为图中的()

A.

B.

C.

D.

考点: 平行投影及平行投影作图法. 专题: 综合题. 分析: 根据正方体的性质, 可以分别看出三个点在平面 ADD1A1 上的投影, 有一个特殊点 D, 它的投影是它本身,另外两个点的投影是通过垂直的性质做出的,连接三个投影点,得到要求 的图形. 解答: 解:由题意知 D 点在投影面上, 它的投影就是它本身, N 在平面上的投影是 AD 棱的中点, M 在平面上的投影是 AA1 的中点, 故选 A. 点评: 本题考查平行投影及平行投影作图法,考查面面垂直的性质,考查正方体的特点, 是一个基础题,也是一个容易得分的题目. 5. (4 分)圆(x﹣2) +y =4 过点 P(1, A.x+ y﹣2=0 B.x+ y﹣4=0 考点: 圆的切线方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 先求出 kCP=
2 2 2 2

)的切线方程是() C.x﹣ y+4=0

D.x﹣

y+2=0

=﹣

,再求出圆(x﹣2) +y =4 过点 P(1, )的切线方程. =﹣

2

2

)的切线斜率,

即可求出圆(x﹣2) +y =4 过点 P(1,
2 2

解答: 解:圆(x﹣2) +y =4 的圆心为 C(2,0) ,则 kCP= ∴圆(x﹣2) +y =4 过点 P(1, ∴圆(x﹣2) +y =4 过点 P(1, 故选:D.
2 2 2 2



)的切线斜率为

, = (x﹣1) ,即 x﹣
2 2

)的切线方程是 y﹣

y+2=0,

点评: 本题主要考查圆的切线方程,考查学生的计算能力,确定圆(x﹣2) +y =4 过点 P (1, )的切线斜率是解答本题的关键. 6. (4 分) 如图, 正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, E, F 分别为棱 AB, CC1 的中点, 在平面 ADD1A1 内且与平面 D1EF 平行的直线()

A.不存在

B. 有 1 条

C. 有 2 条

D.有无数条

考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 计算题. 分析: 由已知中 E, F 分别为棱 AB, CC1 的中点, 结合正方体的结构特征易得平面 ADD1A1 与平面 D1EF 相交, 由公理 3, 可得两个平面必有交线 l, 由线面平行的判定定理在平面 ADD1A1 内,只要与 l 平行的直线均满足条件,进而得到答案. 解答: 解:由题设知平面 ADD1A1 与平面 D1EF 有公共点 D1, 由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共线 l, 在平面 ADD1A1 内与 l 平行的线有无数条,且它们都不在平面 D1EF 内, 由线面平行的判定定理知它们都与面 D1EF 平行, 故选:D 点评: 本题考查的知识点是平面的基本性质,正方体的几何特征,线面平行的判定定理, 熟练掌握这些基本的立体几何的公理、 定理, 培养良好的空间想像能力是解答此类问题的关键. 7. (4 分)过点 (2,1)的直线中,被圆 x +y ﹣2x+4y=0 截得的最长弦所在直线的方程是() A.3x﹣y﹣5=0 B.3x+y﹣7=0 C.x+3y﹣5=0 D.x﹣3y+1=0 考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 计算题;直线与圆. 2 2 分析: 确定圆心坐标,可得过(2,1)的直径的斜率,即可求出被圆 x +y ﹣2x+4y=0 截得 的最长弦所在直线的方程. 解答: 解:xx +y ﹣2x+4y=0 的圆心坐标为(1,﹣2)[来源:Z&xx&k.Com] 故过(2,1)的直径的斜率为 k=3, 2 2 因此被圆 x +y ﹣2x+4y=0 截得的最长弦所在直线的方程是 y﹣1=3 (x﹣2) , 即为 3x﹣y﹣5=0. 故选:A. 点评: 本题考查直线与圆相交的性质,考查学生的计算能力,比较基础. 8. (4 分)半径 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为() A. πR
3 2 2 2 2

B.

πR

3

C.

πR

3

D.

πR

3

考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 计算题.[来源:学。科。网] 分析: 求出扇形的弧长,然后求出圆锥的底面周长,转化为底面半径,求出圆锥的高,然 后求出体积.

解答: 解:2πr=πR,所以 r= ,则 h=

,所以 V=

故选 A 点评: 本题是基础题,考查圆锥的展开图与圆锥之间的计算关系,圆锥体积的求法,考查 计算能力. 9. (4 分)如图,点 P 在正方形 ABCD 所在平面外,PD⊥平面 ABCD,PD=AD,则 PA 与 BD 所成角的度数为()

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 本题求解宜用向量法来做,以 D 为坐标原点,建立空间坐标系,求出两直线的方向 向量,利用数量积公式求夹角即可 解答: 解:如图,以 D 为坐标原点,DA 所在直线为 x 轴,DC 所在线为 y 轴,DP 所在线 为 z 轴,建立空间坐标系, ∵点 P 在正方形 ABCD 所在平面外,PD⊥平面 ABCD,PD=AD,令 PD=AD=1 ∴A(1,0,0) ,P(0,0,1) ,B(1,1,0) ,D(0,0,0) ∴ =(1,0,﹣1) , = =(﹣1,﹣1,0)

∴cosθ=

故两向量夹角的余弦值为 ,即两直线 PA 与 BD 所成角的度数为 60°. 故选 C 点评: 本题考查异面直线所角的求法,由于本题中所给的背景建立空间坐标系方便,故采 取了向量法求两直线所成角的度数,从解题过程可以看出,此法的优点是不用作辅助线,大大 降低了思维难度. 10. (4 分)已知三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC 且 AB=BC=1,SA= ,则球 O 的表面积是()

A.4π

B. π

C . 3π

D. π

考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离;球. 分析: 由三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,可得 SA⊥AC,SB⊥BC,则 SC 的中点为球心,由勾股定理解得 SC,再由球的表面积公式计算即 可得到. 解答: 解:如图,三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, ∵SA⊥平面 ABC,SA= ,AB⊥BC 且 AB=BC=1, ∴AC= = , ∴SA⊥AC,SB⊥BC, SC= = =2,

∴球 O 的半径 R= SC=1, ∴球 O 的表面积 S=4πR =4π. 故选 A.
2

点评: 本题考查球的表面积的求法,合理地作出图形,确定球心,求出球半径,是解题的 关键. 11. (4 分)如图边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 交于点 G,已知△ A′DE 是△ ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形,则下列命题中正确的是() ①动点 A′在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上; ②BC∥平面 A′DE; ③三棱锥 A′﹣FED 的体积有最大值.

A.①

B.①②

C.①②③

D.②③

考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、 棱锥、棱台的体积. 专题: 阅读型.

分析: 对于①根据面 A′FG⊥面 ABC, 可得点 A′在面 ABC 上的射影在线段 AF 上, 对于②, 根据 BC∥DE,满足线面平行的判定定理可对于③当面 A′DE⊥面 ABC 时,三棱锥 A′﹣FDE 的体积达到最大,符合条件. 解答: 解:①中由已知可得面 A′FG⊥面 ABC, ∴点 A′在面 ABC 上的射影在线段 AF 上. ②BC∥DE,根据线面平行的判定定理可得 BC∥平面 A′DE. ③当面 A′DE⊥面 ABC 时,三棱锥 A′﹣FDE 的体积达到最大. 故选 C 点评: 本题主要考查了直线与平面平行的判定,以及三棱锥的体积的计算,考查对基础知 识的综合应用能力和基本定理的掌握能力. 12. (4 分)曲线 值范围是() A. B. C. D. 与直线 l:y=k(x﹣2)+4 有两个不同的交点,则实数 k 的取

考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 要求的实数 k 的取值范围即为直线 l 斜率的取值范围,主要求出斜率的取值范围,方 法为:曲线 表示以(0,1)为圆心,2 为半径的半圆,在坐标系中画出相应的

图形,直线 l 与半圆有不同的交点,故抓住两个关键点:当直线 l 与半圆相切时,圆心到直线 的距离等于圆的半径, 利用点到直线的距离公式列出关于 k 的方程, 求出方程的解得到 k 的值; 当直线 l 过 B 点时,由 A 和 B 的坐标求出此时直线 l 的斜率,根据两种情况求出的斜率得出 k 的取值范围. 解答: 解:根据题意画出图形,如图所示:

由题意可得:直线 l 过 A(2,4) ,B(﹣2,1) , 又曲线 图象为以(0,1)为圆心,2 为半径的半圆,

当直线 l 与半圆相切,C 为切点时,圆心到直线 l 的距离 d=r,即 网] 解得:k= ;

=2,[来源:学。科。

当直线 l 过 B 点时,直线 l 的斜率为

= , .

则直线 l 与半圆有两个不同的交点时,实数 k 的范围为 故答案为:

点评: 此题考查了直线与圆相交的性质,涉及的知识有:恒过定点的直线方程,点到直线 的距离公式,以及直线斜率的求法,利用了数形结合的思想,其中抓住两个关键点是解本题的 关键. 二、填空题(每小题 4 分,共计 16 分) 13. (4 分)点 P(2,7)关于直线 x+y+1=0 的对称点的坐标为(﹣8,﹣3) . 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 设点 P(2,7)关于直线 x+y+1=0 的对称点的坐标为(a,b) ,可得
[来源:Zxxk.Com]

,解出即可.

解答: 解:设点 P(2,7)关于直线 x+y+1=0 的对称点的坐标为(a,b) ,





解得



故答案为: (﹣8,﹣3) . 点评: 本题考查了对称点的求法、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式,考查 了计算能力,属于基础题. 14. (4 分)设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为 m)则该几何体的体积为 4m .
3

考点: 专题: 分析: 解答:

由三视图求面积、体积. 计算题;压轴题. 由三视图可知几何体是三棱锥,明确其数据关系直接解答即可. 解:这是一个三棱锥,高为 2,底面三角形一边为 4,这边上的高为 3,

体积等于 ×2×4×3=4 故答案为:4 点评: 本题考查三视图求体积,三视图的复原,考查学生空间想象能力,是基础题. 15. (4 分)在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,﹣2) ,B(1,﹣3,1) ) ,点 M 在 y 轴 上,且|MA|=|MB|, 则 M 的坐标是(0,﹣1,0) . 考点: 专题: 分析: 解答: 可得 空间两点间的距离公式. 空间位置关系与距离. 设出点 M(0,y,0) ,由|MA|=|MB|,建立关于参数 y 的方程,求 y 值即可. 解:设设 M(0,y,0) ,由|MA|=|MB|, ,即 y +5=(y+3) +2,解得:y=﹣1.
2 2

M 的坐标是(0,﹣1,0) .[来源:学科网 ZXXK] 故答案为: (0,﹣1,0) . 点评: 本题考点是点、线、面间的距离计算,空间两点距离公式的应用,考查计算能力. 16. (4 分)在平面直角坐标系中,圆 C 的方程为 x +y ﹣8x+12=0,若直线 y=kx﹣2 上至少存 在一点,使得以该点为圆心,2 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的取值范围是[0, ].
2 2

考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 直线与圆. 分析: 将圆 C 的方程整理为标准形式,找出圆心 C 的坐标与半径 r,由题意可得以 C 为圆 心,2 为半径的圆与直线 y=kx﹣2 有公共点,即圆心到直线 y=kx﹣2 的距离小于等于 2,利用 点到直线的距离公式列出关于 k 的不等式求出不等式的解集,即可得到 k 的范围.[来源:学科 网 ZXXK] 2 2 解答: 解:将圆 C 的方程整理为标准方程得: (x﹣4) +y =4,∴圆心 C(4,0) ,半径 r=2, ∵直线 y=kx﹣2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点, ∴只需圆 C: (x﹣4) +y =4 与 y=kx﹣2 有公共点, ∵圆心(4,0)到直线 y=kx﹣2 的距离 d= ≤2,求得 0≤k≤ ,
2 2

故答案为:[0, ]. 点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:圆的标准方程,点到直线的距离 公式,其中当 d<r 时,直线与圆相交;当 d>r 时,直线与圆相离;当 d=r 时,直线与圆相切 (d 为圆心到直线的距离,r 为圆的半径) .

三、解答题(本大题共计 56 分) 17. (8 分)已知在平面直角坐标系中,△ ABC 三个顶点坐标分别为 A(1,3) ,B(5,1) ,C (﹣1,﹣1) (Ⅰ)求 BC 边的中线 AD 所在的直线方程; (Ⅱ)求 AC 边的高 BH 所在的直线方程. 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系;直线的两点式方程. 专题: 直 线与圆. 分析: (Ⅰ)由中点坐标公式求得 BC 中点坐标,再由两点式求得 BC 边的中线 AD 所在的 直线方程; (Ⅱ)求出 AC 的斜率,由垂直关系求得 BH 的斜率,再由直线方程的点斜式求得 AC 边的高 BH 所在的直线方程. 解答: 解: (Ⅰ)BC 中点 D 的坐标为(2,0) , ∴直线 AD 方程为: (Ⅱ)∵ ∴ , ,即 x+2y﹣7=0. ,3x+y﹣6=0; ,BH⊥AC,

∴直线 BH 方程为:

点评: 本题考查了直线方程的求法,考查了中点坐标公式的应用,是基础题. 18. (8 分)已知圆 C1:x +y =2 和圆 C2,直线 l 与 C1 切于点 M(1,1) ,圆 C2 的圆心在射线 2x﹣y=0(x≥0)上,且 C2 经过坐标原点,如 C2 被 l 截得弦长为 . (1)求直线 l 的方程; (2) 求圆 C2 的方程. 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 计算题. 分析: (1)欲求切线的方程,关键是求出切线的斜率,由直线 OM 的斜率可得切线 l 的斜 率,最后利用点斜式写出直线 l 的方程. (2)先根据圆 C2 的圆心在射线 2x﹣y=0(x≥0)上,故设圆 C2 的圆心(a,2a) , (a>0) .C2 2 2 2 经过坐标原点,可设 圆 C2 的方程设为: (x﹣a) +(y﹣2a) =5a ,利用数形结合求得 C2 被 l 截得弦长建立关于 a 的方程,从而求得 a 值即得. 解答: 解: (1)直线 OM 的斜率为: =1,
2 2

∴切线 l 的斜率 k=﹣1, 直线 l 的方程:y﹣1=﹣(x﹣1) 即 x+y﹣2=0.即为直线 l 的方程. (2)∵圆 C2 的圆心在射线 2x﹣y=0(x≥0)上 ∴设圆 C2 的圆心(a,2a) , (a>0) . 且 C2 经过坐标原点,

∴圆 C2 的方程设为: (x﹣a) +(y﹣2a) =5a , 圆心(a,2a)到直线 l 的距离为:d= ∴C2 被 l 截得弦长为:2× = ,

2

2

2


2

?a=2 或 a=﹣14(负值舍去)
2

∴圆 C2 的方程: (x﹣2) +(y﹣4) =20. 点评: 本小题主要考查直线和圆的位置关系、直线和圆的方程的应用、点到直线的距离公 式等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题. 19. (10 分)在四棱锥 P﹣ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=6 0°,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点,PA=2AB=2. (1)求四棱锥 P﹣ABCD 的体积 V; (2)若 F 为 PC 的中点,求证 PC⊥平面 AEF; (3)求证 CE∥平面 PAB.

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题. 分析: (1) 利用直角三角形中的边角关系求出 BC、 AC、 CD, 由 求得底面的面积, 代入体积公式进行运算. (2)证明 AF⊥PC,再由 CD⊥平面 PAC 证明 CD⊥PC,由 EF∥CD,可得 PC⊥EF,从而得 到 PC⊥平面 AEF. (3)延长 DC,AB,设它们交于点 N,证明 EC 是三角形 DPN 的中位线,可得 EC∥PN,从 而证明 EC∥平面 PAB.[来源:学&科&网 Z&X&X&K] 解答: 解: (1)在 Rt△ ABC 中,AB=1,∠BAC=60°,∴ ,AC=2. 在 Rt△ ACD 中,AC=2,∠ACD=60°,∴ ∴ 则 . = . .

(2)证明:∵PA=CA,F 为 PC 的中点,∴AF⊥PC. ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥CD,∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面 PAC,∴CD⊥PC. ∵E 为 PD 中点,F 为 PC 中点,∴EF∥CD,则 EF⊥PC,∵AF∩EF=F,∴PC⊥平面 AEF. (3)证明:延长 DC,AB,设它们交于点 N,连 PN.∵∠NAC=∠DAC=60°,AC⊥CD, ∴C 为 ND 的中点.∵E 为 PD 中点,∴EC∥PN.∵EC?平面 PAB,PN?平面 PAB, ∴EC∥平面 PAB. 点评: 本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法,求棱锥的体积,证明 CE∥平面 PAB 是 解题的难点. 2 0. (10 分)如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AD=AA1=1, AB=2,点 E 是棱 AB 上一点 (Ⅰ)当点 E 在 AB 上移动时,三棱锥 D﹣D1CE 的体积是否变化?若变化,说明理由;若不 变,求这个三棱锥的体积 (Ⅱ) 当点 E 在 AB 上移动时,是否始终有 D1E⊥A1D,证明你的结论.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: ( I)由于△ DCE 的体积不变,点 E 到平面 DCC1D1 的距离不变,因此三棱 锥 D﹣ D1CE 的体积不变. (II)利用正方形的性质、线面垂直的判定余弦值定理可得 A1D⊥平面 AD1E,即可证明. 解答: 解: ( I)三棱锥 D﹣D1CE 的体积不变, ∵S△ DCE= ∴ = = = =1,DD1=1. = .

( II)当点 E 在 AB 上移动时,始终有 D1E⊥A1D, 证明:连接 AD1,∵四边形 ADD1A1 是正方形, ∴A1D⊥AD1, ∵AE⊥平面 ADD1A1,A1D?平面 ADD1A1, ∴A1D⊥AB. 又 AB∩AD1=A,AB?平面 AD1E, ∴A1D⊥平面 AD1E, 又 D1E?平面 AD1E, ∴D1E⊥A1D.

点评: 本题考查了正方形的性质、线面面面垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公 式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 21. (10 分)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC⊥BC,AB⊥BB1,AC=BC=BB1,D 为 AB 的中点,且 CD⊥DA1. (1)求证:BC1∥平面 DCA1; (2)求 BC1 与平面 ABB1A1 所成角的大小.

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题;综合题. 分析: (1) 连接 AC1 与 A1C 交于点 K, 连接 DK. 根据三角形中位线定理, 易得到 DK∥BC1, 再由线面平行的判定定理得到 BC1∥平面 DCA1; (2) 方法一: 由 AC=BC, D 为 AB 的中点, 取 A1B1 的中点 E, 又 D 为 AB 的中点, 得到 DCC1E 是平行四边形,则∠EBC1 即为 BC1 与平面 ABB1A1 所成角的二面角,解三角形即可求出答 案. 方法二: 由 AC=BC, D 为 AB 的中点, 取 DA1 的中点 F, 则∠KDF 即 BC1 与平面 ABB1A1 所成的角.解三角形即可求出答案. 解答: 证明: (1)如图一,连接 AC1 与 A1C 交于点 K,连接 DK.[来源:学科网] 在△ ABC1 中,D、K 为中点,∴DK∥BC1、 (4 分) 又 DK?平面 DCA1,BC1?平面 DCA1,∴BC1∥平面 DCA1、 (6 分)

(2)证明: (方法一)如图二,∵AC=BC,D 为 AB 的中点,∴CD⊥AB、

又 CD⊥DA1,AB∩DA1=D,∴CD⊥平面 ABB1A1、 (8 分) 取 A1B1 的中点 E,又 D 为 AB 的中点,∴DE、BB1、CC1 平行且相等, ∴DCC1E 是平行四边形,∴C1E、CD 平行且相等. 又 CD⊥平面 ABB1A1,∴C1E⊥平面 ABB1A1,∴∠EBC1 即所求角、 (10 分) 由前面证明知 CD⊥平面 ABB1A1,∴CD⊥BB1, 又 AB⊥BB1,AB∩CD=D,∴BB1⊥平面 ABC,∴此三棱柱为直棱柱. 设 AC=BC=BB1=2,∴ , ,∠EBC1=30°、 (12 分)

(方法二)如图三,∵AC=BC,D 为 AB 的中点,∴CD⊥AB、 又 CD⊥DA1,AB∩DA1=D,∴CD⊥平面 ABB1A1、 (8 分) 取 DA1 的中点 F,则 KF∥CD,∴KF⊥平面 ABB1A1. ∴∠KDF 即 BC1 与平面 ABB1A1 所成的角. (10 分) 由前面证明知 CD⊥平面 ABB1A1,∴CD⊥BB1, 又 AB⊥BB1,AB∩CD=D,∴BB1⊥平面 ABC,∴此三棱柱为直棱柱. 设 AC=BC=BB1=2,∴ , ,∴∠KDF=30°、 (12 分)

点评: 本题考查的知识点是直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定,其中(1)的关 键是得到 DK∥BC1, (2)的关键是求出 BC1 与平面 ABB1A1 所成角的平面角.本小题在能力 方面主要考查立体几何的相关知识及空间想象能力, 具体涉及到线面的平行关系、 线面角的求 法. 22. (10 分)已知圆 M 的半径为 3,圆心在 x 轴正半轴上,直线 3x﹣4y+9=0 与圆 M 相切 (Ⅰ)求圆 M 的标准方程; (Ⅱ)过点 N(0,﹣3)的直线 L 与圆 M 交于不同的两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,而且满 足 + = x1

x2,求直线 L 的方程. 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 直线与圆. 分析: (I)设圆心为 M(a,0) (a>0) ,由直线 3x﹣4y+9=0 与圆 M 相切可求出 a 值,进 而可得圆 M 的标准方程; (Ⅱ)当直线 L 的斜率不存在时,直线 L:x=0,满足条件,当直线 L 的斜率存在时,设直线 L:y=kx﹣3,联立直线与圆的方程,利用韦达定理,可求出满足条件的 k 值,进而得到直线 L 的方程,最后综合讨论结果,可得答案. 解答: 解: (I)设圆心为 M(a,0) (a>0) , ∵直线 3x﹣4y+9=0 与圆 M 相切 ∴ =3.

解得 a=2,或 a=﹣8(舍去) , 2 2 所以圆的方程为: (x﹣2) +y =9﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) (II)当直线 L 的斜率不存在时,直线 L:x=0,与圆 M 交于 A(0, ) ,B(0,﹣ ) ,

此时

+

=

x1 x2=0,所以 x=0 符合题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) 当直线 L 的斜率存在时,设直线 L:y=kx﹣3, 由
2 2

消去 y,得(x﹣2) +(kx﹣3) =9,

2

2

整理得: (1+k )x ﹣(4+6k)x+4=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1) 所以 由已知 整理得: 7k ﹣24k+17=0, ∴
2

得: ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (10

分) 2 2 2 把 k 值代入到方程(1)中的判别式△ =(4+6k) ﹣16(1+k )=48k+20k 中, 判别式的值都为 正数,所以 ,所以直线 L 为: ,

即 x﹣y﹣3=0,17x﹣7y﹣21=0 综上:直线 L 为:x﹣y﹣3=0,17x﹣7y﹣21=0,x=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 点评: 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系,圆的标准方程,是直线与圆的综合应用, 难度中档.


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