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江苏省扬州中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文


江苏省扬州中学 2015—2016 学年第二学期期中考试 高二数学试卷(文科)
本卷满分:160 分 考试时间:120 分钟 一、填空题:每题 5 分,14 小题,满分 70 分 1.已知 x ??0,1, x? ,则实数 x 的值是________.
2

2016.4

开始 k←1

2.已知复

数 z ? (1 ? i )(2 ? i ), 则|z|=


S←1

3.若函数 f (2 x ? 1) ? x 2 ? 2 x ,则 f (3) =________.
S←S+(k-1)
2

k←k+1
N

4.函数 f ( x) ?

2 ? x ? x ? 2 的定义域是

____ .
S>6 Y 输出 k 结束

5.命题“ ?x ? ?1,2?, 使x 2 ? a ? 0 ”是真命题,则 a 的范 围 是 __ . 6.执行如右图所示的流程图,则输出的 k 的值为 .

7.对于函数 f ( x) 定义域中任意的 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,有如 下结论: ① f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) f ( x2 ) ② f ( x1 x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ③

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0. x1 ? x2
x

当 f ( x) ? e 时,上述结论中正确结论的序号是___

__.

8 .已知函数 y ? f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ? x? ? x ? 2 ,那么不等式

2 f ( x) ? 1 ? 0 的解集是
2 9.若 f ( x) ? ? x ? 2ax 与 g ( x ) ?



a 在区间 [1,2] 上都是减函数,则实数 a 的取值范 x ?1

围是

____ .

10.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? ?
x x

?3 x ?1 , x ? 0 则 f (2 016)=________. ? f ( x ? 3 ), x ? 0 ?
_ .

11.当 x ? ? ??,1? ,不等式 1 ? 2 ? 4 ? a ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围为

-1-

12.若关于 x 的函数 f ? x ? ?

tx 2 ? 2 x ? t 2 ? sin x ( t ? 0 )的最大值为 M ,最小值为 N ,且 x2 ? t


M ? N ? 6, ,则实数 t 的值为

13.如图.小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动,小正六边形的边长是大正六边 形的边长的一半.如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置,在 这 个 过 程 中 ,向 量 OA 围 绕 着 点 O 旋 转 了 θ 角 , 其 中 O 为 小 正 六 边 形 的中 心 ,则

sin

θ θ + cos = 6 6

.

14. 设函数 f ( x) ? kx2 ? 2 x ( k 为实常数) 为奇函数, 函数 g ( x) ? a f ( x ) ? 1(a ? 0且a ? 1) . 当

a ? 2 时, g ( x) ? t 2 ? 2mt ? 1 对所有的 x ?[?1,1] 及 m ? [?1,1] 恒成立,则实数 t 的取值
范围________. 二、解答题:6 小题,满分 90 分. 15. (本小题满分 14 分) 已知复数 z1 ?

3 ? (a 2 ? 3)i , z2 ? 2 ? (3a ? 1)i ( a ? R , i 是虚数单位) . a?2

(1)若 z1 ? R ,求 a 的值; (2)若复数 z1 ? z2 在复平面上对应点落在第一象限,求实数 a 的取值范围.

16. (本小题满分 14 分)
2 2 2 已知 p : x ? 7 x ? 10 ? 0 , q : x ? 4mx ? 3m ? 0 ,其中 m ? 0 .

(1)若 m ? 4 ,且 p ? q 为真,求 x 的取值范围; (2)若 ?q 是 ?p 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围.

-2-

17. (本小题满分 14 分) 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ?

? 2x ? b 是奇函数. 2 x ?1 ? a
1 . 4

(1)求 a , b 的值; (2)解不等式 f ( x) ?

18. (本小题满分 16 分)
2 设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a, b, c ? R) 满足下列条件:

①当 x ? R 时,其最小值为 0,且 f ( x ? 1) ? f ( ? x ? 1) 成立; ②当 x ? (0,5) 时, x ? f ( x) ? 2 | x ? 1| ?1 恒成立. (1)求 f (1) 的值; (2)求 f ( x) 的解析式; (3)求最大的实数 m(m ? 1) ,使得存在 t ? R ,只要当 x ? [1, m] 时,就有 f ( x ? t ) ? x 成立.

19. (本题满分 16 分) 某油库的设计容量为 30 万吨,年初储量为 10 万吨,从年初起计划每月购进石油 m 万吨, 以满足区域内和区域外的需求, 若区域内每月用石油 1 万吨, 区域外前 x 个月的需求量 y(万 吨)与 x 的函数关系为 y ? 2 px ( p ? 0,1 ? x ? 16, x ? N ) ,并且前 4 个月,区域外的需
*

求量为 20 万吨. (1)试写出第 x 个月石油调出后,油库内储油量 M (万吨)与 x 的函数关系式; (2)要使 16 个月内每月按计划购进石油之后,油库总能满足区域内和区域外的需求,且每 月石油调出后,油库的石油剩余量不超过油库的容量,试确定 m 的取值范围.

-3-

20. (本小题满分 16 分) 设函数 f ? x ? ? a x ? ? k ?1? a? x ? a ? 0且a ? 1? 是定义域为 R 的奇函数. (1)求 k 值;
2 (2) 若 f ?1? ? 0 , 试判断函数单调性,并求使不等式 f x ? tx ? f ? 4 ? x ? ? 0 恒成立时 t 的

?

?

取值范围; (3)若 f ?1? ?

3 , g ? x ? ? a2 x ? a?2 x ? 2mf ? x ? 且 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上的最小值为 ?2 ,求实 2

数 m 的值.

江苏省扬州中学 2015—2016 学年第二学期期中考试 高二数学试卷(文科)参考答案 一、填空题 1. ?1 2. 10 3. ? 1 4. {2} 5. a ? 1 6. 4 7. ①③ 8.( ?

3 3 , ) 2 2

9. 0 ? a ? 1

10.

1 3

11. a ? ?

3 4

12. 3

13. -1 【解析】从图中得出,第一个到第二个 OA 转过了 60 度,第二个到第三个转过了 120 度,依 次类推每一次边上是 60 度转角是 120 度,共有 6 个转角一共就是 1080 度,所以

θ θ sin + cos = sin 180? ? cos180? ? ?1. 6 6
考点:推理与证明,观察图形特点的能力. 14. t ? (??, ?2] ? {0} ? [2, ??)
2 2 【解析】由 f (? x) ? ? f ( x) 得 kx ? 2 x ? ?kx ? 2 x ,

-4-

∴ k ? 0 .∵ g ( x) ? a f ( x ) ? 1 ? a2 x ? 1 ? (a2 ) x ? 1 ① 当 a 2 ? 1 ,即 a ? 1 时, g ( x) ? (a2 ) x ? 1 在 [?1,2] 上为增函数,

? g ( x) 最大值为 g (2) ? a4 ? 1 .
②当 a 2 ? 1 ,即 0 ? a ? 1 时, ∴ g ( x) ? (a2 ) x 在 [?1,2] 上为减函数,

?a 4 ? 1, a ? 1 1 ? ∴ g ( x) 最大值为 g (?1) ? 2 ? 1 .∴ g ( x) max ? ? 1 a ? 2 ?1 , 0 ? a ? 1 ?a
由(2)得 g ( x) 在 x ? [?1,1] 上的最大值为 g (1) ? ( 2)2 ? 1 ? 1 ,
2 2 ∴ 1 ? t ? 2mt ? 1 即 t ? 2mt ? 0 在 [?1,1] 上恒成立分

令 h(m) ? ?2mt ? t 2 ,

?h(?1) ? t 2 ? 2t ? 0, ? ?? 2 ? ?h(1) ? t ? 2t ? 0,

即?

?t ? ?2或t ? 0, ?t ? 0或t ? 2.

所以 t ? (??, ?2] ? {0} ? [2, ??) .

考点: (1)函数的奇函数. (2)指数函数的性质. (3)恒成立问题及函数思想. 二、解答题 15. (本小题满分 14 分) 已知复数 z1 ?

3 ? (a 2 ? 3)i , z2 ? 2 ? (3a ? 1)i ( a ? R , i 是虚数单位) . a?2

(1)若 z1 ? R ,求 a 的值; (2)若复数 z1 ? z2 在复平面上对应点落在第一象限,求实数 a 的取值范围. 【答案】 (1) a ? ? 3; (2) ?2 ? a ? ?1 . 【解析】试题分析:(1) a ? ? 3; (2)由条件得, z1 ? z2 ? (

3 ? 2) ? (a 2 ? 3a ? 4)i a?2

1 ? 3 ? ?2 ?0 ??2 ? a ? ? ? 因为 z1 ? z2 在复平面上对应点落在第一象限,故有 ? a ? 2 ∴? 2 解得 2 ? ?a ? 3a ? 4 ? 0 ?a ? 4或a ? ?1 ?
?2 ? a ? ?1
-5-

考点:复数方程 16. (本小题满分 14 分)已知 p : x 2 ? 7 x ? 10 ? 0 , q : x 2 ? 4mx ? 3m2 ? 0 ,其中 m ? 0 . (1)若 m ? 4 ,且 p ? q 为真,求 x 的取值范围; (2)若 ?q 是 ?p 的充分不必要条件,求实 数 m 的取值范围. 【答案】 (1) 4 ? x ? 5 ; (2)

5 ? m ? 2. 3

【解析】 试题分析: (1) 化简 p : 2 ? x ? 5 ; 化简 q : m ? x ? 3m , 当 m ? 4 时,q : 4 ? x ? 12 , 又 p ? q 为真, p, q 都为真,所以 4 ? x ? 5 ; ( 2 )由 ?q 是 ?p 的充分不必要条件,即

?q ? ?p , 其逆否命题为 p ? q ,结合(1)可得

5 ? m ? 2. 3

2 试题解析: (1)由 x ? 7 x ? 10 ? 0 ,解得 2 ? x ? 5 ,所以 p : 2 ? x ? 5 ;
2 2 又 x ? 4mx ? 3m ? 0 ,因为 m ? 0 ,解得 m ? x ? 3m ,所以 q : m ? x ? 3m .

当 m ? 4 时, q : 4 ? x ? 12 ,又 p ? q 为真, p, q 都为真,所以 4 ? x ? 5 . ( 2 ) 由 ?q 是 ?p 的 充 分 不 必 要 条 件 , 即 ?q ? ?p , ?p ?? ?q , 其 逆 否 命 题 为

?m ? 2 5 ? p ? q, q ?? p ,由(1) p : 2 ? x ? 5 , q : m ? x ? 3m ,所以 ?3m ? 5 ,即: ? m ? 2. 3 ?m ? 0 ?
考点:1、充分条件与必要条件;2、逻辑联接词及不等式的解法.

? 2x ? b 17. (本小题满分 14 分)已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? x ?1 是奇函数. 2 ?a
(1)求 a , b 的值; (2)解不等式 f ( x) ?

1 . 4

【答案】 (1) a ? 2, b ? 1 ; (2) x x ? ? log 2 3? . 【解析】试题分析: (1)利用 f (0) ? 0 , f (?1) ? f (1) 求出 a , b 的值; (2)由 f ( x) ? 求出 x 的范围. 试题解析: (1)由 f (0) ? 0 , f (?1) ? f (1) ,即 ? ? 2 ?1 ? b

?

1 化简 4

b ? 1 ? 0, ? 2 ? b ,得 a ? 2, b ? 1 , ? 0 ? 22 ? a ? 2 ?a ? ?

当 a ? 2, b ? 1 时, f ( x) ?

? 2x ?1 ,此式恒有 f (? x) ? f ( x) ,∴ a ? 2, b ? 1 . 2 x ?1 ? 2
-6-

由 f ( x) ?

1 ? 2x ?1 1 1 ? x ?1 ? ? ?2 x ? 2 ? 4 ? 2 x ?1 ? 2 ,化简得 2 x ? , 3 4 2 ?2 4

两边取以 2 为底的对数得 x ? ? log2 3 ,所以解集为 x x ? ? log 2 3? . 考点:奇函数性质和指数型不等式解法.
2 18. (本小题满分 16 分)设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a, b, c ? R) 满足下列条件:

?

①当 x ? R 时,其最小值为 0,且 f ( x ? 1) ? f ( ? x ? 1) 成立; ②当 x ? (0,5) 时, x ? f ( x) ? 2 | x ? 1| ?1 恒成立. (1)求 f (1) 的值; (2)求 f ( x) 的解析式; (3)求最大的实数 m(m ? 1) ,使得存在 t ? R ,只要当 x ? [1, m] 时,就有 f ( x ? t ) ? x 成立.

1 ( x ? 1) 2 ; (3)9. 4 【解析】试题分析: (1)特殊值法在②中令 x ? 1 即可; (2)由①知二次函数的开口向上且关 1 于 x ? ?1 对称,可设些二次函数为 f ( x) ? a( x ? 1)2 (a ? 0) ,又由 f (1) ? 1 代入求得 a ? , 4
【答案】 (1) f (1) ? 1 ; (2) f ( x) ? 即可求出; (3)假设存在 t ? R ,只要 x ? [1, m] ,就有 f ( x ? t ) ? x 。取 x ? 1 ,有 f (t ?1 ) ? 1 , 解得 ?4 ? t ? 0 , 对固定的 t ? [?4,0] ,取 x ? m ,有 f (t ? m) ? m ,即 故 m ? 1 ? t ? ?4t ? 1 ? (?4) ? ?4(?4) ? 9 . 试题解析: (1)在②中令 x ? 1 ,有 1 ? f ( x) ? 1 ,故 f (1) ? 1 ; (2)由①知二次函数的开口向上且关于 x ? ?1 对称,故可设些二次函数为

1 1 1 (t ? m) 2 ? (t ? m) ? ? m, 4 2 4

f ( x) ? a( x ? 1)2 (a ? 0) ,又由 f (1) ? 1 代入求得 a ?

1 1 2 .故 f ( x) ? ( x ? 1) . 4 4

(3) 假设存在 t ? R ,只要 x ? [1, m] ,就有 f ( x ? t ) ? x 。

1 1 1 (t ? 1) 2 ? (t ? 1) ? ? 1, 解得 ?4 ? t ? 0 4 2 4 1 1 1 2 对固定的 t ? [?4,0] ,取 x ? m ,有 f (t ? m) ? m ,即 (t ? m) ? (t ? m) ? ? m, 4 2 4
取 x ? 1 ,有 f (t ? 1) ? 1,即 化简得 m ? 2(t ? 1)m ? (t ? 2t ? 1) ? 0, 解得 1 ? t ? ?4t ? m ? 1 ? t ? ?4t ,
2 2

故 m ? 1 ? t ? ?4t ? 1 ? (?4) ? ?4(?4) ? 9 ,

-7-

1 1 t ? ?4 时,对任意的 x ? [1,9] ,恒有 f ( x ? 4) ? x ? ( x 2 ? 10 x ? 9) ? ( x ? 1)( x ? 9) ? 0 4 4

m 的最大值为 9.
(若用函数图像解答,酌情给分)考点:1、特殊值法;2、函数的综合应用. 19. (本小题满分 16 分) 某油库的设计容量为 30 万吨,年初储量为 10 万吨,从年初起计划每月购进石油 m 万吨,以 满足区域内和区域外的需求,若区域内每月用石油 1 万吨,区域外前 x 个月的需求量 y (万 吨)与 x 的函数关系为 y ? 2 px ( p ? 0,1 ? x ? 16, x ? N ) ,并且前 4 个月,区域外的需求
*

量为 20 万吨. (1)试写出第 x 个月石油调出后,油库内储油量 M (万吨)与 x 的函数关系式; (2)要使 16 个月内每月按计划购进石油之后,油库总能满足区域内和区域外的需求,且每 月石油调出后,油库的石油剩余量不超过油库的容量,试确定 m 的取值范围. 【答案】 (1) M ? mx ? x ? 10 x ? 10 , (1 ? x ? 1 6 ,

7 19 ; (2) ? m ? . x ? N* ) 2 4

【解析】试题分析:本题属于函数的应用,目的就是列出函数解析式,然后利用函数式解决 问题, 列式时所需的等量关系一般题中已经给出, 也可能是常识性的知识, 已知中有 x ? 4 时,

y ? 20 ,由此可求得 2 p ? 100 ,本题等量关系是油库内储油量 M 等于进货量+年初储量-
( 1 ? x ? 16, x ? N* ) ; 区域内用量-区域外的需求量,即 M ? mx ? x ? 10 x ? 10 , (2)按要求就是 0 ? M ? 30 ,即 ?

? ? 10 ? mx ? x ? 10 x ? 0 ? ?10 ? mx ? x ? 10 x ? 30

?1 ? x ? 16, x ? N ? 恒成立,转
*

10 10 ? m ? ? ? ?1 ? x 7 19 x ? 化为 ? 1 ? x ? 16, x ? N* ? 恒成立,由此就能求得 ? m ? . ? 2 4 ? m ? 20 ? 10 ? 1 ? x x ?
试题解析: (1)由条件得 20 ?

2 p ? 4 ? 2 p ? 100 ,所以 y ? 10 x (1 ? x ? 16, x ? N* )
. x ? N* )

(1 ? x ? M ? mx ? x ? 10 x ? 10 , 1 6 , (2)因为 0 ? M ? 30 , 所以 ?

? ? 10 ? mx ? x ? 10 x ? 0 ?10 ? mx ? x ? 10 x ? 30 ?

?1 ? x ? 16, x ? N ? 恒成立
*

10 10 ? m?? ? ?1 ? x x ? ?? 1 ? x ? 16, x ? N* ? 恒成立 ? ? m ? 20 ? 10 ? 1 ? x x ?


1 x

? t ,则:

?m ? ?10t 2 ? 10t ? 1? 1 1 ? ? t ?1? ? ? t ? 1? 恒成立, ? 2 4 ? ? m ? 20t ? 10t ? 1 ? 4
-8-

由 m ? ?10t 2 ? 10t ? 1 ? ?10(t ? ) 2 ?

1 2

7 7?1 ? ? ? t ? 1? 恒成立得 m ? 2 ( x ? 4 时取等号) 2?4 ?

19 7 19 ?1 ? ( x ? 16 时取等号)所以 ? m ? . m ? 20t 2 ? 10t ? 1? ? t ? 1? 恒成立得 m ? 4 2 4 ?4 ?
20. (本小题满分 16 分)设函数 f ? x ? ? a x ? ? k ?1? a? x ? a ? 0且a ? 1? 是定义域为 R 的奇函 数. (1)求 k 值;
2 (2)若 f ?1? ? 0 ,试判断函数单调性并求使不等式 f x ? tx ? f ? 4 ? x ? ? 0 恒成立时 t 的

?

?

取值范围; (3)若 f ?1? ? 数 m 的值. 【答案】 (1)2; (2) ?3 ? t ? 5 ; (3)2 【解析】 试题分析: (1) 根据奇函数的性质可得 f (0) =0, 由此求得 k 值; (2) 由 f ? x? ? a ? a
x ?x

3 , g ? x ? ? a2 x ? a?2 x ? 2mf ? x ? 且 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上的最小值为 ?2 ,求实 2

( a > 0 且 a≠1) , f ( 1 )< 0 ,求得 1 > a > 0 , f ( x )在 R 上单调递减,不等式化为

f ? x 2 ? tx ? ? f ? x ? 4 ? ,即 x2 ? ?t ?1? x ? 4 ? 0 恒成立,由△<0 求得 t 的取值范围; (3)
由 f ?1? ?

3 x ?x x ?x 求得 a 的值, 可得 g (x) 的解析式, 令 t ? f ? x? ? 2 ? 2 , 可知 f ? x ? ? 2 ? 2 2

为增函数,t≥f(1) ,令 h ? t ? ? t 2 ? 2mt ? 2 ? t ?

? ?

3? ? ,分类讨论求出 h(t)的最小值,再由 2?

最小值等于 2,求得 m 的值 试题解析: (1)∵f(x)是定义域为 R 的奇函数,∴f(0)=0,∴1-(k-1)=0,∴k=2,
x ?x (2) f ( x) ? a ? a (a ? 0且a ? 1), ? f (1) ? 0,? a ?

1 ? 0, 又a ? 0, 且a ? 1,? 0 ? a ? 1 a

? a x 单调递减, a ? x 单调递增,故 f(x)在 R 上单调递减。
2 2 2 不等式化为 f x ? tx ? f ? x ? 4 ? , ? x ? tx ? x ? 4,即x ? (t ?1) x ? 4 ? 0恒成立

?

?

? ? ? (t ? 1) 2 ? 16 ? 0 ,解得 ?3 ? t ? 5
(3)? f (1) ?

3 1 3 1 ,? a ? ? ,即2a 2 ? 3a ? 2 ? 0, ? a ? 2或a ? ? (舍去) 2 2 a 2
2

? g ? x ? ? 22 x ? 2?2 x ? 2m ? 2 x ? 2? x ? ? ? 2 x ? 2? x ? ? 2m ? 2 x ? 2? x ? ? 2

令t ? f ? x ? ? 2x ? 2? x ,由(1)可知 f ? x ? ? 2x ? 2? x 为增函数,? x ? 1,? t ? f ?1? ? ,

3 2

-9-

令 h(t)=t -2mt+2=(t-m) +2-m (t≥ 若 m≥

2

2

2

3 ) 2

3 2 ,当 t=m 时,h(t)min=2-m =-2,∴m=2 2 3 3 17 25 3 若 m< ,当 t= 时,h(t)min= -3m=-2,解得 m= > ,舍去 2 2 4 12 2
综上可知 m=2. 考点:1.指数函数综合题;2.函数奇偶性的性质

- 10 -


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