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陕西省长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学五校2012届高三第一次模拟考试数学(理)试题


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陕西省长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中 学五校 2012 届高三第一次模拟考试数学(理)试题
注意事项: (1)本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,总分 150 分,考试时 间 150 分钟. (2)答题前,考生须将自己的学校、班级、姓名、学

号填写在本试卷指定的位置上. (3)选择题的每小题选出答案后,用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上. (4)非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答.超出答题区域 或在其他题的答题区域内书写的答案无效;在草稿纸、本试题卷上答题无效. (5)考试结束,将本试题卷和答题卡一并交回.

第 I 卷(选择题

共 50 分)

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的(本大 题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) . 1.复数 z1 ? 3 ? i , z2 ? 1 ? i ,则复数 z1 ? A.2 B. 2i C.
1 的虚部为( z2
3 2 3 D. i 2



2.已知集合 M ? {x ? R | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0}和 N ? {x ? R | x2 ? x ? 0},则集合 M 是 集合 N 的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) D.3

3.函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? ln x 在定义域内的零点的个数为( A.0 B.1 C.2

4.过点 P(1,2)的直线 l 平分圆 C: x2 ? y 2 ? 4x ? 6 y ? 1 ? 0 的周长,则直线 l 的 斜率为( 5 A. 3 ) B.1 C.
8 5 4 3

D.

5.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长和底面边长均 为 2,且侧棱 AA1 ? 底面 ABC,其正(主)视图是 边长为 2 的正方形,则此三棱柱侧(左)视图的面 积为( )
A A1

C1 B1

1 2

1

C B

正(主)视图

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A. 2 2 B.4

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D. 2 3

C. 3

6.2011 年西安世园会组委会要派五名志愿者从事翻译、导游、礼仪三项工作, 要求每项工作至少有一人从事,则不同的派给方案共有( ) A.25 种 B.600 种 C.240 种 D.360 种

? x ? y ? 1≥ 0, ? a 8 ( ) (a ? 0) 展开式中, 7. x ? 中间项的系数为 70. 若实数 x, y 满足 ? x ? y ≥ 0, x ? x ≤ a, ?
则 z ? x ? 2 y 的最小值是( A. ? 1 B.
1 2

) C.5 D.1
An 2n ? 1 ,则 ? Bn n ? 3

8.已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别是 An 和 Bn ,且
a9 等于( b9

) B.
7 4

A.2

C.

19 12

D.

9.设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ( )

?
2

13 21 ? ? ? ? ) 的最小正周期为 ? ,则

? A. f ( x) 在 (0, ) 单调递减 2 ? C. f ( x) 在 (0, ) 单调递增 2
10 . 椭 圆

? B. f ( x) 在 (0, ) 单调递增 4 ? D. f ( x) 在 (0, ) 单调递减 4

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1)上 存 在 一 点 P , 使 得 它 对 两 个 焦 点 F1 , F2 张 角 a2

?F1 PF2 ?

?
2

,则该椭圆的离心率的取值范围是(
2 ,1) 2
1 C. (0, ] 2


1 D. [ ,1) 2

A. (0,

2 ] 2

B. [

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wx.jtyjy.com 共 100 分)

第 II 卷(非选择题

二、填空题:把答案填在相应题号后的横线上(本大题共 5 小 题,每小题 5 分,共 25 分) . 11. 如图, 有一个算法流程图. 在集合 A ? {x ? R | ?10 ? x ? 10} 中 随机地取一个数值做为 x 输入,则输出的 y 值落在区间
(?5, 3) 内的概率值为
y: x?3
y : x ?5



12. 某校为了解高一学生寒假期间学习情况, 抽查了 100 名同学, 统计他们每天平均学习时间,绘成频率分布直方图(如 图) 则这 100 名同学中学习时间在 6 至 8 小时之间的 . 人数为 . 13.设 a,b,c 为单位向量,a,b 的夹角为 600, 则(a + b + c) 的最大值为 ·c . 14. 给定集合 An ={1,2,3,?,n}( n ? N? ), 映射 f: An ? An 满 足: ①当 i, j ? An , i ? j 时, f (i) ? f ( j ) ; ②任取 m ? An , 若 m ? 2 ,则有 m ?{ f (1), f (2),?, f (m)} .则称映射 f: An ? An 是一个“优映 射” .例如:用表 1 表示的映射 f: A3 ? A3 是一个“优映射” . 表1 i f(i) i f(i) 1 2 2 3 3 1 1 2 3 表2 3 4

(1)已知表 2 表示的映射 f: A4 ? A4 是一个“优映射” ,请把表 2 补充完整. (2)若映射 f: A10 ? A10 是“优映射” ,且方程 f (i) ? i 的解恰有 6 个,则这样 的“优映射”的个数是 . 15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 评分) A.(几何证明选讲选做题)如图,已知 Rt ? ABC 的两条直角
D B

边 AC,BC 的长分别为 3cm,4cm,以 AC 为直径作圆与斜边 AB 交于点 D,则 BD 的长为= ;
A · O C

B . ( 不 等 式 选 讲 选 做 题 ) 关 于 x 的 不 等 式

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| x ?1| ? | x ? 2 |? a2 ? a ? 1 的 解 集 为 空 集 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围
是 ; C.(坐标系与参数方程选做题)已知极坐标的极点在直角坐标系的原点 O 处, 极轴与 x 轴的正半轴重合, 曲线 C 的参数方程为

?

x ? 3cos ? ( ? 为参数) , y ? sin ?

? 直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? ) ? 6 .点 P 在曲线 C 上,则点 P 到直线 l 3 的距离的最小值为 .
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题, 共 75 分) . 16. (本小题满分 12 分) 三角形的三个内角 A、B、C 所对边的长分别为 a 、 b 、 c ,设向量
m ? ( c ? a, b? a), n ( a b c ? ? , ,若 m // n . )
? ?
? ?

(I)求角 B 的大小; (II)求 sin A ? sin C 的取值范围. 17. (本小题满分 12 分) 如图,FD 垂直于矩形 ABCD 所在平面,CE//DF,?DEF ? 90 .
0

F

(Ⅰ )求证:BE//平面 ADF; (Ⅱ )若矩形 ABCD 的一个边 AB = 3 ,EF = 2 3 ,则另一边 BC 的长为何值时,二面角 B-EF-D 的大小为 450?
A D B E C

18 . 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 点 P 的 坐 标 为 ( x0 , y0 ) , 直 线 l 的 方 程 为 (
Ax ? By ? C ? 0 .请写出点 P 到直线 l 的距离,并加以证明.

19. (本小题满分 12 分) 有甲、 乙两种相互独立的预防措施可以降低某地区某灾情的发生.单独采用 甲、乙预防措施后,灾情发生的概率分别为 0.08 和 0.10,且各需要费用 60 万元 和 50 万元.在不采取任何预防措施的情况下发生灾情的概率为 0.3.如果灾情发 生,将会造成 800 万元的损失. (设总费用=采取预防措施的费用+可能发生灾情 损失费用) (I)若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用,他们各自总费用是多 少? (II)若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用, 请确定预防方案使总费用最少的那个方案.
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20. (本小题满分 13 分) 已知圆 C1 的方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1,定直线 l 的方程为 y ? ?1 .动圆 C 与圆 C1 外切,且与直线 l 相切. (Ⅰ)求动圆圆心 C 的轨迹 M 的方程; (II)斜率为 k 的直线 l 与轨迹 M 相切于第一象限的点 P,过点 P 作直线 l 的垂线恰好经过点 A(0,6) ,并交轨迹 M 于异于点 P 的点 Q,记 S 为轨迹 M 与直线 PQ 围成的封闭图形的面积,求 S 的值.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=
1 x-ax + (a-1) ln x , a ? 1 . 2

(I)讨论函数 f ( x) 的单调性; (II)若 a ? 2 ,数列 {an } 满足 an ?1 ? f (an ) . (1) 若首项 a1 ? 10 ,证明数列 {an } 为递增数列; (2) 若首项为正整数,数列 {an } 递增,求首项的最小值.

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长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学

高 2012 届第一次模拟考试

数学(理)答案
第 I 卷(选择题
一、选择题: CDCA DBAB DB

共 50 分)

第 II 卷(非选择题
二、填空题: 11. 0.8 15.A. ;12. 30

共 100 分)

;13. 3 ? 1 ;14. (1) 2,4,1 , (2) 84 ;

16 ;B. (?1, 0) ;C. 6 ? 3 . 5

三、解答题: 16. (本小题满分 12 分) ? ? c?a b?a ? 解(I)由 m // n 知 ,即得 b2 ? a2 ? c2 ? ac ,据余弦定理知 a?b c 1 ? c o s ? ,得 B ? B ——————6 分 2 3 ? (II) sin A ? sin C ? sin A ? sin( A ? B) ? sin A ? sin( A ? ) 3
1 3 3 3 ? sin A ? sin A ? cos A ? sin A ? cos A 2 2 2 2
? 3 sin( A ?
因为 B ?

?
6

)

————————9 分

2? 2? ,得 A ? (0, ) ————10 分 3 3 3 ? ? 5? ? 1 所以 A ? ? ( , ) ,得 sin(A ? )? ( ,1],即得 sin A ? sinC 的取值范围为 6 6 6 6 2

?

,所以 A ? C ?

(

3 , 3] . 2

————————12 分

17. (本小题满分 12 分) 解(Ⅰ )法 1:过点 E 作 CD 的平行线交 DF 于点 M,连接 AM.
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因为 CE//DF, 所以四边形 CEMD 是平行四边形. 可得 EM = CD 且 EM //CD, 于是四边形 BEMA 也是平行四边形,所以有 BE//AM,而直线 BE 在平面 ADF 外,所以 BE//平面 ADF. ————— —6 分 法 2:以直线 DA 为 x 轴,直线 DC 为 y 轴,直线 DF 为 z z 轴 , 建立空间直角坐标系.则 平面 ADF 的一个法向量为
F
?

n ? (0, 1, 0) .

设 AB = a,BC = b,CE = c,则点 B、E 的坐标分别为(b, a , 0 ) 和 ( 0 , a , c ) 那 么 向 量 BE ? (?b, 0, c) . 可 知 ,
? ?

M

E C B

n? BE ? (0,1, 0) ? (?b, 0, c) ? 0 , n ?E 得 B

?

?

?

D

, 而直线 BE 在平面 ADF x

A

y

的外面,所以 BE//平面 ADF. (Ⅱ )由 EF = 2 3 ,EM = AB = 3 ,得 FM = 3 且 ?MFE ? 300 . 由 ?DEF ? 900 可得 FD = 4,从而得 CE =1. ——————8 分

设 BC = a, 则点 B 的坐标为 (a, 3 , . 0) 又点 E、 的坐标分别为 F (0, 3 , 1)和(0,0,4) ,所以 EB ? (a, 0, ?1) , EF ? (0, ? 3,3) .
? ?ax1 ? z1 ? 0 ? 设平面 BEF 的一个法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , ? 则 , 解得一组解 ?? 3 y1 ? 3 z1 ? 0 ?

?

?

为 (1, 3a, a) ,所以 n1 ? (1, 3a, a) . 易知平面 DEF 的一个法向量为 n2 ? (1, 0, 0) ,可得
?

?

——————10 分

cos ? n1 , n2 ??
? ?

?

?

n1 ? n2
?

?

?

?

?

1 4a 2 ? 1
1 4a ? 1
2

| n1 || n2 |

由于此时 ? n1 , n2 ? 就是二面角 B-EF-D 的大小,所以
a? 1 . 2

?

1 ,可得 2

所以另一边 BC 的长为 18. (本小题满分 12 分)

1 时,二面角 B-EF-D 的大小为 450.————12 分 2

解:点 P 到直线 l 的距离公式为 d ?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2



————3 分

证法 1:过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为 H.若 A = 0,则直线 l 的方程为
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y?? C B
2

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l 可 的 距 离 为 | y0 ? 知 结 论
C | , 而 B

, 此 时 点
?

P

到 直 线 ,

| Ax0 ? By ? C | 0 A ?B
2

| By ? C | C 0 ?| y0 ? | |B| B







的.

————5 分 B B 若 A ? 0 ,则直线 PH 的斜率为 ,方程为 y ? y0 ? ( x ? x0 ) ,与直线 l 的方 A A 程联立可得
B2 Ax ? By0 ? ( x ? x0 ) ? C ? 0 A

解得 x ?

B 2 x0 ? ABy0 ? AC Ax ? By ? C Ax ? By ? C ? x0 ? A 0 2 0 2 , y ? y0 ? B 0 2 0 2 2 2 A ?B A ?B A ?B

————9 分 据两点间距离公式得

d ? (A

Ax0 ? By0 ? C 2 Ax ? By ? C Ax ? By0 ? C ) ? ( B 0 2 0 2 )2 ?| 0 |. 2 2 A ?B A ?B A2 ? B2

————12 分 C 证法 2:若 B = 0,则直线 l 的方程为 x ? ? ,此时点 P 到直线 l 的距离为 A
d ?| ? | Ax0 ? C | Ax 0? By 0 C | | ? C ; ? x0 |? ? 2 2 A A A ?B 2
C ,此时点 P 到直线 l 的距离为 B

若 A ? 0 ,则直线 l 的方程为 y ? ?
d ?| ?

| By0 ? C | | Ax0 ? By0 ? C | C ; ? y0 |? ? B B2 A2 ? B 2

若 B ? 0 , A ? 0 ,过点 P 作 y 轴的垂线,交直线 l 于点 Q,过点 P 作直线 l 于 y 轴的垂线,交直线 l 于点 Q,设直线 l 的倾斜角为 ? ,则 d ?| PQ | sin ? . 因为 | PQ |?| xQ ? x0 |?| ?
Ax ? By0 ? C B C y0 ? ? x0 |?| 0 |, A A A

A | 1 | tan ? | B sin ? ? ? ? ? 1 1 ? tan 2 ? A2 1? 1? 2 tan 2 ? B |

| A| A 2 B ?


2

所以, d ?

| Ax0 ? By0 ? C | A ?B
2 2

.综上, d ?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2



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证法3:过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为 H.则直线 PH 的一个方向向量对 应于直线 l 的一个法向量, 而直线 l 的一个法向量为 ( A, B) , 又线段 PH 的长为 d, 所以
?

PH ? d

?

PH
?

?

d A ?B
2
?

| PH |

2

( A, B) 或 PH ? ?

?

d A ? B2
2

( A, B)

设点 H 的坐标为 ( x, y ) ,则 PH ? ( x ? x0 , y ? y0 ) ,可得
x ? x0 ? dA A2 ? B 2 , y ? y0 ? dB A2 ? B 2

把点 H 的坐标代入直线 l 的方程得
A( x0 ? dA A ?B
2 2

) ? B( y0 ?

dB A2 ? B 2

)?C ? 0 Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

整理得 ? d A2 ? B 2 ? Ax0 ? By0 ? C ? 0 ,解得 d ?|

|.

证法4:过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为 H.在直线 l 上任取一点 Q ( x, y ) , 直线 PH 的一个方向向量为 v ? ( A, B) ,据向量知识,向量 PQ 在向量 v 上的投影 的绝对值恰好是线段 PH 的长,因此
?

?

?

d ?|

PQ? v
?

?

?

|?

| (x ? x0 y ? y 0 ? A( B , , ) A ?B
2 2

|v|
因 为 ( x ? 0x ) A ( y 0 ? ?
A x ? B?y 0? , 所 以 C

) | x ?|x( 0 A ? y ? y (0 ) B ? 2 2 A ?B

)

|

y ? ) B

( , A x ?B y , A ) x 点 Bx yy ? (0 ? 而 0

满 足 )

A ? x

B? y 0 (

A 0x ? )

?( ?0 B y

? A.x 因 B y ) ? 此 0

C

d ?|

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

|.

19. (本小题满分 12 分) 解(I)若单独采用甲预防措施,可能发生灾情的损失费用的期望值为
0? 0 . 9 ? 2 800 ? 0 ?0 (万元) . 8 64 ;
0? 1(万元) . 80 .

————2 分 ————4 分 ————6 分

若单独采用乙预防措施,可能发生灾情的损失费用的期望值为
0 ? 0 . 9 8 0?0 ?

所以, 单独采用甲预防措施的总费用为 124 万元,单独采用乙预防措施的总 费用为 130 万元. (II)若实施联合采用方案,设可能发生灾情的损失费用为 X,则 X = 0 和
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800,且 P( X ? 800) ? 0.08 ? 0.1 ? 0.008 , P( X ? 0) ? 1 ? P( X ? 800) ? 0.992 . 所以,可能发生灾情的损失费用的期望值为 6.4 万元,因此总费用为 116.4 万元. ————9 分 若不采取措施,则可能发生灾情的损失费用的期望值为
0 ? 0 . 7 8 0?0 ? 0? 3 万元. . 240

可知此时的总费用为 240 万元. 综上,选择联合预防措施的方案总费用最少. 20. (本小题满分 13 分)

————11 分 ————12 分

解(Ⅰ)设动圆圆心 C 的坐标为 ( x, y ) ,动圆半径为 R,则
| CC1 |? x 2 ? ( y ? 2) 2 ? R ? 1 ,且 | y ? 1|? R

————2 分

可得

x 2 ? ( y ? 2) 2 ?| y ? 1| ?1 .

由于圆 C1 在直线 l 的上方,所以动圆 C 的圆心 C 应该在直线 l 的上方,所 以有 y ? 1 ? 0 ,从而得 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? y ? 2 ,整理得 x2 ? 8 y ,即为动圆圆心 C 的 轨迹 M 的方程. 分 (II)如图示,设点 P 的坐标为 ( x0 ,
x0 2 ) ,则切线的斜 8
y
Q F

————5

A

x 4 率为 0 ,可得直线 PQ 的斜率为 ? ,所以直线 PQ 的方 4 x0
O

P A x

x 4 程为 y ? 0 ? ? ( x ? x0 ) .由于该直线经过点 A(0,6) ,所 8 x0
以有 6 ?

2

B

x0 2 ? 4 , x02 ? 16 . 得 因为点 P 在第一象限, 所以 x0 ? 4 , P 坐标为 点 (4,2) , 8

直线 PQ 的方程为 x ? y ? 6 ? 0 .

——————9 分

把直线 PQ 的方程与轨迹 M 的方程联立得 x 2 ? 8x ? 48 ? 0 , 解得 x ? ?12 或 4, 可得点 Q 的坐标为 (?12,18) .所以

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S ? ? (? x ? 6 ?
?12 4

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x2 x2 x 3 )dx ? (? ? 6 x ? ) |412 ? 8 2 24

? (? 8? 2 ? 4

8 256 ?) ? ( ? 2 ? 7 2 ? 7 2 ). 7 3 3

——————13 分

21. (本小题满分 14 分) 解(I)可知 f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,且
a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? 1)( x ? 1 ? a) . ? ? x x x 2 当 a ? 1 ? 1 即 a ? 2 ,则 f / ( x) ? ( x ? 1) ? 0 ,得 f ( x) 在 (0, ??) 单调增加. ————1 x f / ( x) ? x ? a ?

分 当 a ? 1 ? 1 ,而 a ? 1 ,即 1 ? a ? 2 时,若 x ? (a ? 1,1) ,则 f / ( x) ? 0 ;若 x ? (0, a ? 1) 或
x ? (1, ??) ,则 f / ( x) ? 0 .

此时 f ( x) 在 (a ? 1,1) 单调减少,在 (0, a ? 1), (1, ??) 单调增加; 分

————3

当 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 2 ,可得 f ( x) 在 (1, a ? 1) 单调减少,在 (0,1), (a ? 1, ??) 单调增 加. 综上, 1 ? a ? 2 时, 当 函数 f ( x) 在区间 (a ? 1,1) 上单调递减, 在区间 (0, a ? 1) 和
(1, ??) 上单调递增;当 a ? 2 时,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增;当 a ? 2 时,函

数 f ( x) 在区间 (1, a ? 1) 上单调递减,在区间 (0,1) 和 (a ? 1, ??) 上单调递增. —————6 分 (II)若 a ? 2 ,则 f ( x) = 单调递增. (1)因为 a1 ? 10 ,所以 a2 ? f (a1 ) ? f (10) ? 30 ? ln10 ,可知 a2 ? a1 .



1 x-2x + ln x ,由(I)知函数 f ( x) 在区间 (0, ??) 上 2

假 设 0 ? ak ? ak ?1 , 因 为 函 数 f ( x) 在 区 间 (0, ??) 上 单 调 递 增 , 所 以

f (ak ?1 ) ? f (ak ) ,即得 ak ?2 ? ak ?1 ? 0 .
所以,由数学归纳法可得 an ? an ?1 .因此数列 {an } 为递增数列.—————9
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(2)由(1)知:当且仅当 0 ? a1 ? a2 ,数列 {an } 为递增数列. 所以,题设即 由
1 a1-2 a1 + ln a1 > a1,且 a1 为正整数. 2

1 1 a1-2 a1 + ln a1 > a1,得 a12 ? 3a1 ? ln a1 ? 0 . 2 2

1 1 2 / 令 g ( x) ? x ? 3x ? ln x( x ? 1) , 则 g ( x) ? x? 3 ? , 可 知 函 数 g ( x) 在 区 间 x 2
[ 3,?? ) 递 增 . 由 于 g (1) ? ? 3 ? 0 , g (2) ? 2 ? 6 ? ln 2 ? ln 2 ? 4 ? 0 ,
5 g (5) ? ? ? ln 5 ? 0 , g (6) ? ln 6 ? 0 .所以,首项 a1 的最小值为 6. ————— 2 1 2

———14 分

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